G´EOM´ETRIE ALG´EBRIQUE ET ESPACES DE MODULES - FEUILLE D’EXERCICES 2

G´ EOM´ ETRIE ALG´ EBRIQUE ET ESPACES DE MODULES - FEUILLE D’EXERCICES 2

ANDREAS H ¨ ORING

L’objet principal du deuxi`eme TD sera de traiter les exercices 1 `a 4 (l’exercice 4 est dur, mais cette construction est fondamentale). L’exercice 5 ne sera pas corrig´e en TD, vous trouvez la r´eference pour la solution ` a la fin

.

Morphismes entre fibr´ es vectoriels

1.) Soit X un sch´ema alg´ebrique d´efini sur un corps k alg´ebriquement clos. Soient M et N des fibr´es vectoriels sur X et soit α : M → N un morphisme de O X - modules. Montrer que pour tout entier s, le lieu

X s := {x ∈ X | rg α ≤ s}

est un sous-sch´ema ferm´e de X. En d´eduire que X _s ⁰ := {x ∈ X | rg α = s}

est un sous-sch´ema localement ferm´e de X .

Indication : localement, le morphisme α est donn´e par une matrice `a coefficents dans O X .

Fibr´ es vectoriels sur les courbes

2.) Soit C une courbe projective, connexe, lisse d´efinie sur un corps k alg´ebri- quement clos. Soit V un fibr´e vectoriel sur C de rang r. On d´efinit le degr´e de V comme le degr´e du fibr´e en droites det V := V r

V . (a) Montrer qu’on peut ´ecrire V comme une extension

0 → L → V → Q → 0

o` u L est un fibr´e en droites et Q un fibr´e vectoriel de rang r − 1.

(b) (Lemme de Grothendieck) Supposons maintenant que C ≃ P ¹ . Montrer qu’on peut ´ecrire V comme somme de fibr´es en droites, c’est-` a-dire

V ≃ ⊕ ^r _i=1 O _P

(a i )

o` u a i ∈ Z. Cette d´ecompositon est unique ` a permutation pr`es.

Indication : montrer qu’on peut se ramener au cas o` u H <sup>0</sup> (P <sup>1</sup> , V ) 6= 0 et H <sup>0</sup> (P <sup>1</sup> , V (−1)) = 0. Puis on proc`ede par r´ecurrence sur le rang r, le cas r = 1

´etant connu.

Remarque : cet ´enonc´e est faux pour les courbes de genre au moins un (cf.

exercice 5 pour un exemple).

Date: 21 janvier 2008.

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Si vous avez des questions, contactez hoering@math.jussieu.fr.

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Fibr´ es vectoriels en dimension sup´ erieure 3.) Suite exacte d’Euler

Soit P ⁿ := P ⁿ (k) l’espace projectif de dimension n sur k un corps alg´ebriquement clos et notons Ω _P

son fibr´e cotangent. Alors on a une suite exacte

0 → Ω _P

→ O _P

(−1) ^⊕n+1 → O _P

→ 0.

De fa¸con ´equivalente, le fibr´e tangent de P ⁿ peut ˆetre ´ecrit comme 0 → O _P

→ O _P

(1) ^⊕n+1 → T _P

→ 0.

4.) La construction de Serre

La situation locale

Dans cette premi`ere partie, on travaille sur un anneau commutatif noeth´erien local A. On rappelle que la dimension homologique dh(M ) d’un A-module M est la longueur minimale d’une r´esolution par des modules libres.

(a) Soit M un A-module tel que dh(M ) ≤ 1. Si Ext ¹ (M, A) = 0, alors M est libre.

(b) Soit M un A-module tel que dh(M ) ≤ 1 et soit ζ ∈ Ext(M, A). Soit E ζ

l’extension de M par A correspondant ` a ζ. Alors E ζ est libre si et seulement si ζ engendre le A-module Ext ¹ (M, A).

(c) Soit I un A-module tel que dh(I) ≤ 1 et I est de rang un. Alors I peut ˆetre engendr´e par deux ´el´ements si et seulement si le A-module Ext ¹ (I, A) est monog`ene.

(d) Soit I un id´eal dans A tel que dh(I) ≤ 1 et I peut ˆetre engendr´e par deux

´el´ements. Supposons qu’il existe un ´el´ement ζ de Ext ¹ (I, A) qui n’est pas nul. Alors l’extension correspondante est un A-module libre.

La situation globale

Soit X une vari´et´e projective lisse d´efinie sur un corps k alg´ebriquement clos. Soit Y un sous-sch´ema de X de codimension deux. Rappelons que le faisceau dualisant [Har77, III,7] de Y est donn´e par la formule

ω Y = E xt ² (O Y , ω X ).

Supposons que Y est localement intersection compl`ete, c’est-` a-dire le faisceau d’id´eaux peut ˆetre localement engendr´e par deux ´el´ements. Supposons en plus qu’il existe un fibr´e en droites L tel que

h ¹ (X, L ^∗ ) = h ² (X, L ^∗ ) = 0 et un isomorphisme

φ : L ⊗ ω X ⊗ O Y → ω Y .

Montrer qu’il existe un fibr´e vectoriel E de rang deux tel qu’on a une suite exacte 0 → L ^∗ → E → I Y → 0.

Indication : utiliser la suite exacte 0 → I Y → O X → O Y → 0 pour obtenir une identification de Ext ¹ (I Y , L ^∗ ) avec Hom(L ⊗ ω X ⊗ O Y , ω Y ). Appliquer la premi`ere partie pour montrer que E est localement libre.

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La classification d’Atiyah

5.) Soit C une courbe projective, connexe, lisse de genre 1 d´efinie sur un corps k alg´ebriquement clos. Soit V un fibr´e vectoriel sur C de rang 2. Supposons que V n’est pas une somme de fibr´es en droites.

Supposons d’abord que V s’´ecrit comme extension 0 → O C → V → L → 0

et que H ⁰ (C, V ⊗ Q ^∗ ) = 0 pour tout fibr´e en droites Q de degr´e strictement positif.

(i) Montrer que 0 ≤ deg L ≤ 2.

(ii) Supposons que deg L = 0. Montrer que L ≃ O C .

(iii) Supposons que deg L = 1. On sait que C × Z ≃ Pic(C), donc L ≃ O C (p) avec p un point dans C. Montrer que si

0 → O C → V ^′ → O C (p ^′ ) → 0

est une extension non-triviale avec p ^′ 6= p un point dans C, alors il existe un fibr´e en droites D de degr´e z´ero tel que

V ^′ ≃ V ⊗ D.

(iv) Montrer que le cas deg L = 2 est exclu.

Application. D´eduire une classification des fibr´es vectoriels de rang 2 sur C.

Pour la correction de cet exercice, cf. [Har77, V, Ch. 2]. L’article d’Atiyah [Ati57]

est ´egalement tr`es int´eressant.

R´ ef´ erences

[Ati57] M. F. Atiyah. Vector bundles over an elliptic curve. Proc. London Math. Soc. (3), 7 :414–

452, 1957.

[Har77] Robin Hartshorne. Algebraic geometry. Springer-Verlag, New York, 1977. Graduate Texts in Mathematics, No. 52.

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