Introduction `a la g´eom´etrie alg´ebrique Olivier Debarre

Introduction ` a la g´ eom´ etrie alg´ ebrique

Olivier Debarre

Table des mati` eres

Introduction 1

Chapitre 1. Vari´et´es affines 3

1.1. Sous-vari´et´es affines 3

1.2. Id´eal d’une sous-vari´et´e affine 4

1.3. Irr´eductibilit´e 4

1.4. Le Nullstellensatz 5

1.5. Applications r´eguli`eres 6

1.6. Exercices 8

Chapitre 2. Vari´et´es projectives 11

2.1. L’espace projectif 11

2.2. Vari´et´es projectives 12

2.3. Id´eal d’une vari´et´e projective 13

2.4. Le Nullstellensatz projectif 14

2.5. Applications r´eguli`eres 15

2.6. Applications rationnelles 17

2.7. Produits de vari´et´es 19

2.8. Eclatements 20

2.9. Image d’une application r´eguli`ere 21

2.10. Exercices 23

Chapitre 3. Dimension 27

3.1. D´efinition de la dimension 27

3.2. Dimension des vari´et´es alg´ebriques 27

3.3. Dimension et nombre d’´equations 29

3.4. Applications g´en´eriquement finies 30

3.5. Applications r´eguli`eres et dimension 32

3.6. Cas des applications ferm´ees 34

3.7. Applications 35

3.8. Applications finies 36

3.9. Exercices 37

Chapitre 4. Points et applications r´eguli`eres lisses 41

4.1. Espace tangent de Zariski 41

4.2. Points lisses et points singuliers 42

4.3. Le th´eor`eme principal de Zariski 45

4.4. Application tangente, applications r´eguli`eres lisses 48

4.5. Th´eor`emes de Bertini 50

4.6. Exercices 51

iii

Chapitre 5. Diviseurs sur une vari´et´e alg´ebrique 53

5.1. Fibr´es en droites 53

5.2. Diviseurs 55

Chapitre 6. Faisceaux coh´erents et cohomologie 63

6.1. Faisceaux 63

6.2. Cohomologie des faisceaux 68

6.3. Faisceaux coh´erents 70

6.4. Cohomologie des faisceaux coh´erents sur une vari´et´e projective 77 6.5. Faisceaux inversibles amples et tr`es amples 79

Chapitre 7. Nombres d’intersection 85

7.1. D´efinition 85

7.2. Cˆone des courbes 93

7.3. Caract´erisation des faisceaux amples par leurs nombres d’intersection 94 Chapitre 8. Caract´erisations num´eriques des faisceaux inversibles nefs et

amples 97

8.1. Faisceaux inversibles nefs 97

8.2. Etre nef est une propri´ˆ et´e num´erique 98 8.3. Une caract´erisation num´erique de l’amplitude 99 8.4. Une forme faible du th´eor`eme de Riemann-Roch 100

8.5. Exercices 101

Bibliographie 103

Introduction

Ces notes sont celles de deux cours de D.E.A. de 20 heures chacun donn´es

`

a l’Universit´e Louis Pasteur en 1999/2000. Je me suis inspir´e des ouvrages [H], [Ha], [M], [P] et [S], mon but ´etant de donner une id´ee des r´esultats et concepts de base de la g´eom´etrie des vari´et´es alg´ebriques quasi-projectives sur un corps k alg´ebriquement clos.A part les d´` efinitions de base, nous avons admis les r´esultats suivants d’alg`ebre commutative :

• Nullstellenstaz :soitI un id´eal dek[X1, . . . , Xn] ; on aI(V(I)) =√ I.

• Hauptidealsatz :soientAunek-alg`ebre int`egre de type fini,f un ´el´ement non nul deAet pun id´eal premier minimal contenantf. On a

deg.tr._kK(A/p) = deg.tr._kK(A)−1.

• Factorialit´e des anneaux r´eguliers :toutek-alg`ebre locale de type finiA dont l’id´eal maximal peut ˆetre engendr´e par dimA´el´ements est un anneau factoriel.

1

CHAPITRE 1

Vari´ et´ es affines

On fixe un corps k et un entier n. On note A l’anneau k[T1, . . . , Tn] des po- lynˆomes `anind´etermin´ees `a coefficients dansk.

1.1. Sous-vari´et´es affines

Si F(T1, . . . , Tn) est un ´el´ement de A, on dit qu’un pointx= (x1, . . . , xn) de kⁿ est unz´erodeF siF(x1, . . . , xn) = 0.

D´efinition1.1. SoitS une partie de l’anneau de polynˆomesA. On noteV(S) le sous-ensemble de kⁿ form´e des z´eros communs `a tous les ´el´ements de S. Les sous-ensembles de kⁿ de ce type sont lessous-vari´et´es affinesdekⁿ.

Exemples 1.2. 1) On aV(1) =∅et V(∅) =V(0) =kⁿ : le vide et l’espace tout entier sont des sous-vari´et´es affines dekⁿ.

2) Un point dekⁿest une sous-vari´et´e affine, puisqueV(T₁−x₁, . . . , T_n−x_n) = {(x1, . . . , xn)}.

3) Dans k², on a V(T²) = V(T) : c’est l’axe des y. Des parties diff´erentes peuvent donner la mˆeme sous-vari´et´e affine.

4) Tout sous-espace affine dekⁿ est une sous-vari´et´e affine.

Remarquons que S⁰ ⊂ S entraˆıne V(S) ⊂ V(S⁰) (les inclusions changent de sens). D’autre part, si hSi est l’id´eal engendr´e par S (c’est-`a-dire l’ensemble des sommes finies PF_iG_i, avec F_i dans S, et G_i quelconque dans A), on a V(S) = V(hSi). L’anneauA´etant noeth´erien, l’id´eal hSiest engendr´e par un nombre fini de polynˆomes F1, . . . , Fr, de sorte que

V(S) =V(hSi) =V(F1, . . . , Fr).

En d’autres termes, toute sous-vari´et´e affine dekⁿ peut ˆetre d´efinie par un nombre fini d’´equations.

Proposition 1.3. a)Toute intersection de sous-vari´et´es affines dekⁿ est une sous-vari´et´e affine.

b)Toute r´eunion finie de sous-vari´et´es affines dekⁿest une sous-vari´et´e affine.

D´emonstration. Pour a), il suffit de remarquer queT

αV(Sα) =V(S

αSα).

Pour b), il suffit de remarquer que la r´eunionV(S1)∪V(S2) est ´egale `aV(S1S2), o`uS1S2 d´esigne l’ensemble des produits d’un ´el´ement deS1avec un ´el´ement deS2

(six /∈V(S1)∪V(S2), il existeF1 dansS1 etF2 dansS2avecF1(x) etF2(x) non nuls, de sorte queF₁F₂(x) est non nul, etx /∈V(S₁S₂)).

En particulier, tout sous-ensemble fini dekⁿ est une sous-vari´et´e affine.

La proposition permet de d´efinir unetopologie, dite de Zariski, sur l’ensemble kⁿ, en prenant comme ferm´es les sous-vari´et´es affines. C’est une topologie tr`es

3

diff´erente des topologies usuelles ; en particulier, elle n’est pas s´epar´ee. Pire : si k est infini, deux ouverts non vides quelconques se rencontrent (cf.cor. 1.9 ; sik est fini, la topologie de Zariski est la topologie discr`ete et ne pr´esente aucun int´erˆet).

En gros, les ouverts sont tr`es gros, et les ferm´es tr`es petits. Par exemple, dansk, les ferm´es sont∅, k, et les sous-ensembles finis.

On munit toute sous-vari´et´e affine dekⁿde la topologie induite par la topologie de Zariski dekⁿ.

1.2. Id´eal d’une sous-vari´et´e affine

On a vu qu’une mˆeme sous-vari´et´e affine V pouvait ˆetre d´efinie par des par- ties diff´erentes de A (en d’autres termes, par des ´equations diff´erentes). Il existe cependant un moyen naturel d’associer un id´eal deA `aV.

D´efinition1.4. SoitV un sous-ensemble dekⁿ; on appelle id´eal deV, et l’on noteI(V), l’ensemble des polynˆomes nuls sur V.

On a les propri´et´es suivantes :

1) V ⊂V(I(V)), avec ´egalit´e si et seulement si V est affine. En fait,V(I(V)) est l’adh´erence deV (pour la topologie de Zariski).

2) S ⊂I(V(S)), mais il n’y a en g´en´eral pas ´egalit´e, mˆeme lorsqueS est un id´eal ; par exempleI(V((T²)) = (T). La relation entreIetI(V(I)) est l’objet du Nullstellensatz, que nous verrons plus bas.

1.5. On peut traduire le fait que l’anneauAestnoeth´eriende fa¸con g´eom´etrique : toute suite d´ecroissante de sous-vari´et´es affines est stationnaire. En effet, si (Vi) est une telle suite, la suite d’id´eaux (I(Vi)) est croissante, donc stationnaire. Il en est de mˆeme de la suite (V_i) par la propri´et´e 1) ci-dessus. En particulier, toute sous-vari´et´e affine estquasi-compacte.

1.3. Irr´eductibilit´e

La sous-vari´et´e affine de k² d´efinie par T₁T₂ = 0 se d´ecompose en la r´eunion des axes de coordonn´ees, qui sont eux-mˆemes affines, mais qu’on ne peut, sik est infini, d´ecomposer `a leur tour en une r´eunion finie d’affines. C’est cette remarque que l’on veut g´en´eraliser.

D´efinition 1.6. On dit qu’un espace topologique E est irr´eductible s’il n’est pas vide et qu’il n’est pas r´eunion de deux ferm´es distincts deE.

On v´erifie facilement que siE est non vide,E est irr´eductible si et seulement si deux ouverts non vides quelconques se rencontrent, c’est-`a-dire si et seulement si tout ouvert non vide est dense.

Le th´eor`eme suivant fournit une traduction en termes alg´ebriques de l’irr´educti- bilit´e d’une sous-vari´et´e affine.

Th´eor`eme 1.7. Pour qu’une sous-vari´et´e affine soit irr´eductible, il faut et il suffit que son id´eal soit premier.

D´emonstration. SoitV une sous-vari´et´e affine irr´eductible ; consid´erons des polynˆomesF et Gtels queF Gs’annule surV. On aV ⊂V(F G) =V(F)∪V(G), de sorte que V est la r´eunion des ferm´es V ∩V(F) et V ∩V(G). Comme V est irr´eductible, l’un d’eux est ´egal `a V, de sorte que soitF, soit Gs’annule surV.

1.4. LE NULLSTELLENSATZ 5

SupposonsI(V) premier, et supposonsV r´eunion de deux ferm´es propresV1 et V2. CommeVi V, il existe un polynˆomeFi nul sur Vi mais pas surV, de sorte queFi∈/I(V), maisF1F2∈I(V), ce qui contredit le fait queI(V) est premier.

1.8. On peut aussi exprimer la condition du th´eor`eme en demandant que l’alg`ebre quotientA(V) =A/I(V), ditealg`ebre de V, soitint`egre.

Corollaire1.9. Sikest infini, kⁿ est irr´eductible.

D´emonstration. Puisquek est infini, tout polynˆome nul surkⁿ est nul, de

sorte queI(kⁿ) = (0), qui est premier.

Th´eor`eme1.10. Toute sous-vari´et´e affine non vide se d´ecompose de fa¸con uni- que (`a permutation pr`es) en une r´eunion finie de sous-vari´et´es affines irr´eductibles, non contenues l’une dans l’autre.

D´emonstration. Existence : supposons qu’il existe une sous-vari´et´e V non vide qui ne se d´ecompose pas en une r´eunion finie d’irr´eductibles ; d’apr`es (1.5), l’ensemble de ces sous-vari´et´es admet un ´el´ement minimal V, qui est forc´ement r´eductible. On ´ecrit V =V<sub>1</sub>∪V<sub>2</sub>, avecV<sub>i</sub> ferm´e non vide distinct deV. Par mini- malit´e,V<sub>i</sub>est r´eunion finie d’irr´eductibles, d’o`u la contradiction. L’unicit´e est laiss´ee

au lecteur en exercice.

Les sous-vari´et´es irr´eductibles V1, . . . , Vr apparaissant dans la d´ecomposition du th´eor`eme sont appel´ees les composantes irr´eductibles de la sous-vari´et´e affine V. On a I(V) =T

iI(Vi), et les id´eaux I(Vi) sont premiers. C’est un exemple de d´ecomposition primaire d’un id´eal deA.

1.4. Le Nullstellensatz

C’est un premier r´esultat fondamental. Je r´ef`ere par exemple `a [H] pour diverses d´emonstrations. SiI est un id´eal deA, l’id´eal

√

I={F ∈A| ∃m∈N^∗ F^m∈I}

est appel´eradical deI. Les sous-vari´et´esV(I) etV(√

I) co¨ıncident. On dit qu’un id´eal I est radical s’il est ´egal `a √

I. Un id´eal premier est radical. Un id´eal I deA est radical si et seulement si le seul ´el´ement nilotent deA/I est 0. L’id´eal d’une sous-vari´et´e affine est radical. En particulier, on a

√

I⊂I(V(I)). Le Nullstellensatz pr´ecise cette relation.

Th´eor`eme 1.11 (Nullstellensatz). On suppose k alg´ebriquement clos. Pour tout id´eal I deA, on aI(V(I)) =√

I.

En particulier,V(I) est vide si et seulement siI=A.

Corollaire1.12. L’applicationV 7→I(V)r´ealise une bijection d´ecroissante, de r´eciproqueI7→V(I)entre

a) les sous-vari´et´es affines dekⁿ et les id´eaux radicaux deA;

b) les sous-vari´et´es affines irr´eductibles de kⁿ et les id´eaux premiers deA; c) les points dekⁿ et les id´eaux maximaux de A.

Un cas particulier important est le suivant.

D´efinition 1.13. On appelle hypersurface de kⁿ toute sous-vari´et´e affine d´e- finie par un polynˆome non constant.

Ce sont donc les sous-vari´et´es du type V(F), avec F ∈ A. Si F est irr´e- ductible, l’id´eal (F) est premier, et le Nullstellensatz entraˆıne que lorsque k est alg´ebriquement clos,V(F) est irr´eductible (comparer avec l’exercice 1.6.8)b)). Comme Aest factoriel, on peut d´ecomposerF de fa¸con unique en un produitF =Q

iF_iⁿⁱ, avecFiirr´eductible. En particulier, lesV(Fi) sont les composantes irr´eductibles de V(F).

On peut ´etendre la correspondance du corollaire aux sous-vari´et´es d’une sous- vari´et´e affine quelconque. Pour cela, consid´erons des sous-vari´et´es affines W et V avec W ⊂ V. On a I(V) ⊂ I(W), de sorte que I(W) est l’image inverse par la surjectionπ:A→A(V) d’un id´eal deA(V), que l’on noteI_V(W).

Th´eor`eme1.14. On supposekalg´ebriquement clos. SoitV une vari´et´e affine.

L’application W 7→ I_V(W) r´ealise une bijection d´ecroissante, de r´eciproque I 7→

V(π⁻¹(I))entre

a) les sous-vari´et´es affines deV et les id´eaux radicaux de A(V);

b) les sous-vari´et´es affines irr´eductibles de V et les id´eaux premiers deA(V); c) les points deV et les id´eaux maximaux deA(V).

D´emonstration. Soitxun point de V; l’id´eal I_V(x) (souvent not´em_x) des polynˆomes nuls enxest maximal dansA(V) : c’est le noyau du morphismeA(V)→ kqui `a [F] associeF(x). Cela d´emontre une partie de c). Pour le reste, il suffit de remarquer qu’un id´eal I deA(V) est radical (resp. premier) (resp. maximal) si et seulement si π⁻¹(I) l’est, puisque ces propri´et´es se lisent sur le quotient A(V)/I,

qui est isomorphe `a A/π⁻¹(I).

1.15. En particulier, les composantes irr´eductibles deV correspondent aux id´eaux premiers minimaux deA(V), et celles deW aux id´eaux premiers minimaux deA(V) contenantIV(W).

Mentionnons un exemple important d’application du Nullstellensatz. C’est l’ana- logue des partitions de l’unit´e en analyse.

Proposition 1.16. On suppose kalg´ebriquement clos. Soient V une sous-va- ri´et´e affine et f1, . . . , fr des ´el´ements de A(V) sans z´ero commun. Il existe des

´

el´ementsg1, . . . , gr deA(V)tels queP

figi= 1(dans A(V)).

D´emonstration. En d’autres termes, des ´el´ements de A(V) sans z´ero com- mun engendrentA(V). SoientFr+1, . . . , Fsdes g´en´erateurs deI(V). Les polynˆomes F1, . . . , Fr, Fr+1, . . . , Fs(o`uFj est un polynˆome de classefj pourj≤r) n’ont pas de z´ero commun danskⁿ; le Nullstellensatz entraˆıne que le radical de l’id´eal qu’ils engendrent estA, donc contient 1. Il existe donc des polynˆomesG1, . . . , Gstels que Ps

i=1FiGi= 1. Il suffit de consid´erer cette ´egalit´e moduloI(V).

1.5. Applications r´eguli`eres

Comme nous avons d´efini une topologie sur les sous-vari´et´es affines, celle de Zariski, on pourrait croire que les applicationscontinuespour cette topologie jouent un rˆole important. Il n’en est rien. Consid´erons une “courbe” plane irr´eductibleC, c’est-`a-dire le lieu des z´eros d’un polynˆome irr´eductible `a deux variables. Il ressort de l’exercice 1.6.8) que les ferm´es deCsontC,∅, et les sous-ensembles finis deC.

1.5. APPLICATIONS R ´EGULI `ERES 7

Cette topologie ne refl`ete pas la g´eom´etrie deC : deux telles courbes sont toujours hom´eomorphes, puisque toute bijection est continue.

Les applications qui nous int´eressent sont les suivantes.

D´efinition 1.17. Soient V ⊂ kⁿ et W ⊂ k^m des sous-vari´et´es affines ; une application V →W est dite r´eguli`ere si c’est la restriction `a V d’une application kⁿ→k^mdont les composantes sont des fonctions polynomiales.

On en d´eduit imm´ediatement que l’alg`ebreA(V), d´efinie en (1.8), s’identifie `a l’ensemble des fonctions r´eguli`eres deV dansk. Siu:V →W est une application r´eguli`ere, on lui associe un morphisme de k-alg`ebres u<sup>∗</sup> : A(W) → A(V) par la r`eglef 7→f◦u.

Exemples1.18. 1) Toute application affine est r´eguli`ere.

2) Toute application r´eguli`ere est continue pour la topologie de Zariski.

3) Supposons k infini. Soit C l’hypersurface plane d’´equation Y = X²; on v´erifie que le polynˆomeX²−Y est irr´eductible, ce qui entraˆıneI(C) = (X²−Y) (utiliser l’exercice 1.6.8)b), ou le Nullstellensatz lorsquekest alg´ebriquement clos).

L’applicationf :C→kd´efinie parf(x, y) =xest r´eguli`ere et bijective. Son inverse x7→(x, x<sup>2</sup>) est aussi r´eguli`ere : on dit que f est un isomorphisme. Le morphisme f^∗:k[T]→k[X, Y]/(X²−Y) est d´efini parf^∗(T) =X.

4) Supposons toujourskinfini. SoitCl’hypersurface plane d’´equationX²=Y³ (c’est une cubique `a point de rebroussement) ; l’application u : k → C d´efinie paru(t) = (t<sup>3</sup>, t<sup>2</sup>) est r´eguli`ere bijective, mais on verra plus loin que ce n’est pas un isomorphisme. On v´erifie que l’id´eal de C est (X² −Y³) (exerc. 1.6.7)a) ; le morphismeu^∗ :k[X, Y]/(X²−Y³)→k[T] est d´efini par u^∗(X) =T³ et u^∗(Y) = T².

5) On suppose k alg´ebriquement clos de caract´eristique p > 0. L’application u : k → k d´efinie par u(x) = x^p (dite de Frobenius) est r´eguli`ere bijective, mais n’est pas un isomorphisme , comme on le verra plus loin. Le morphisme de k-alg`ebresu^∗:k[T]→k[T] est d´efini paru^∗(T) =T^p.

Proposition1.19. SoientV etW des sous-vari´et´es affines ; l’applicationu7→

u^∗ r´ealise une bijection entre l’ensemble des applications r´eguli`eres de V dans W et l’ensemble des morphismes de k-alg`ebres de A(W) dans A(V). En particulier, pour queV et W soient isomorphes, il faut et il suffit que les k-alg`ebres A(V) et A(W)le soient.

D´emonstration. Supposons V ⊂ kⁿ et W ⊂ k^m. On peut reconstruire u

`

a partir de u^∗ de la fa¸con suivante : si y₁, . . . , y_m sont les fonctions coordonn´ees sur k^m, on a u= (u^∗(y₁), . . . , u^∗(y_m)). Cela montre que l’applicationu7→ u^∗ est injective.

On peut faire cette construction en partant de n’importe quel morphisme dek- alg`ebresϕ:A(W)→A(V). On obtient ainsi une application r´eguli`ereu:V →k^m, dont on v´erifie qu’elle est `a valeurs dansW : pour tout polynˆomeF nul surW, on a

F(u(x)) =F(ϕ(y1)(x), . . . , ϕ(ym)(x)) =ϕ(F(y1, . . . , ym))(x) = 0

puisqueF est nul dansA(W). Cela montre que l’applicationu7→u^∗est surjective.

Dans l’exemple 1.18.3),f^∗est bien un isomorphisme, d’inverse donn´e parX 7→

T etY 7→T². En revanche, dans les exemples 4) et 5),u^∗n’est pas surjectif, puisque T n’est pas atteint, etun’est pas un isomorphisme.

L’anneauA(V) est donc un invariant `a isomorphisme pr`es de la vari´et´eV. On a vu dans le th´eor`eme 1.14 qu’il existe une bijection entre les id´eaux maximaux de A(V) et les points deV ; la donn´ee deA(V) permet donc de reconstruire l’ensemble V, mais il manque encore sa topologie.

Pour terminer, on peut lire certaines des propri´et´es de l’application u sur le morphismeu^∗.

D´efinition 1.20. Une application r´eguli`ere u:V →W est ditedominante si son image est dense.

Proposition 1.21. a) Pour qu’une application r´eguli`ere u:V →W soit do- minante, il faut et il suffit queu^∗ soit injectif.

b)Si u^∗ est surjectif, uest injective.

D´emonstration. Siuest dominante etf dans le noyau deu^∗, alorsf◦uest nulle, de sorte quef s’annule suru(V), donc sur son adh´erenceW. R´eciproquement, siun’est pas dominante, le ferm´eu(V) est distinct deW; il existe donc une fonc- tion r´eguli`ere f : W → k nulle sur u(V) mais pas sur W. Elle est donc dans le noyau deu^∗, ce qui prouve a).

Soientxetydes points distincts deV ; il existe une fonction r´eguli`eref :V →k nulle enxmais pas eny (prendre par exemple une fonction coordonn´ee). Siu<sup>∗</sup> est surjective, il existe une fonction r´eguli`ere g:W →k telle quef =u^∗(g) =g◦u; elle ne prend pas les mˆemes valeurs enu(x) et u(y), qui sont donc distincts.

Il s’ensuit que si u: V → W est une application r´eguli`ere dominante et que V est irr´eductible,W est irr´eductible, puisqueA(W) s’identifie `a une sous-alg`ebre de l’alg`ebre int`egreA(V) donc est int`egre (cela peut aussi se voir directement ;cf.

exerc. 1.6.3)).

Remarques 1.22. Dans a), un’est pas n´ec´essairement surjective (consid´erer par exemple la projection de l’hyperboleXY = 1 sur l’axe desx).

Dans b), la r´eciproque est fausse (consid´erer l’exemple 1.18.4). En fait, on peut montrer queu^∗ est surjective si et seulement siu(V) est une sous-vari´et´e ferm´ee de W et uinduit un isomorphisme deV suru(V).

1.6. Exercices

1) Montrer que le sous-ensemble{(t, e^t)|t∈C}deC² n’est pas affine.

2) Calculer l’id´eal de{(0,0),(0,1)}dansk².

3)a) SoientEun espace topologique etV une partie deE. Montrer queV (munie de la topologie induite) est irr´eductible si et seulement siV l’est.

b) SoientEetF des espaces topologiques etu:E→F une application continue dominante.

SiEest irr´eductible, montrer queF l’est aussi.

4) SoitE un espace topologique ; on suppose queE est recouvert par un nombre fini d’ouverts irr´eductibles qui se rencontrent deux `a deux. Montrer queEest irr´eductible.

5) Soitkun corpsinfini. Montrer que la sous-vari´et´e affine dek³d´efinie par les ´equationsX²=Y Z etXZ=Xa 3 composantes irr´eductibles.

1.6. EXERCICES 9

6) Soit k un corps infini; montrer que tout ensemble fini dans k² peut ˆetre d´efini par deux

´ equations.

7) Soientkun corpsinfinietCla courbe plane d’´equationX²=Y³. a) Montrer queC est irr´eductible et d´eterminer l’id´eal deC.

b) Montrer que C n’est pas isomorphe `a k(Indication : il suffit de montrer que l’anneau A(C) n’est pas isomorphe `ak[T] ; remarquer par exemple qu’il n’est pas principal).

8) SoientF etGdes ´el´ements dek[X, Y] sans facteur commun.

a) Montrer queV(F)∩V(G) est fini (Indication :utiliser le th´eor`eme de B´ezout dans l’anneau principalk(X)[Y] pour montrer l’existence de polynˆomesA(X, Y),B(X, Y) etD(X), avecDnon nul, tels queD=AF+BG).

b) En d´eduire que siF est irr´eductible et V(F)infini, on a I(V(F)) = (F) et V(F) est irr´eductible. Montrer par un exemple queV(F) peut ˆetre r´eductible, mˆeme siF est irr´eductible.

CHAPITRE 2

Vari´ et´ es projectives

On garde notre corps k et l’entier n. On note R l’anneau k[T0, . . . , Tn]. On notera maintenantAⁿ l’espace affine de dimensionnsurk.

2.1. L’espace projectif

Consid´erons la relation d’´equivalence suivante surkⁿ⁺¹ {0}: des vecteurs non nulsxety sont ´equivalents s’ils sont colin´eaires, c’est-`a-dire s’il existeλ∈k^∗ avec y=λx.

D´efinition 2.1. On appelle espace projectif de dimension n, et l’on note Pⁿ l’ensemble des classes d’´equivalence de cette relation.

En d’autres termes,Pⁿ est l’ensemble des droites vectorielles dekⁿ⁺¹. Un pointxde l’espace projectif correspond `a un vecteur non nul (x<sub>0</sub>, . . . , x<sub>n</sub>) ; on appelle ses coordonn´ees lescoordonn´ees homog`enesdex, bien qu’elles ne soient d´efinies qu’`a multiplication par un scalaire non nul pr`es. On trouve parfois la no- tation (x₀:· · ·:x_n).

Si E est un k-espace vectoriel non nul, on d´efinit de la mˆeme fa¸con l’espace projectif associ´e PE. Si F est un sous-espace vectoriel non nul de E, l’inclusion F {0} ⊂E {0}induit une inclusion PF ⊂PE. On appelle les sous-ensembles de PE ainsi obtenus lessous-espaces lin´eairesdePE.

2.2. Pour chaque i = 0, . . . , n, on d´efinit un sous-ensemble U_i de Pⁿ par

l’´equation x_i 6= 0. Chacun de ces sous-ensembles est isomorphe `a l’espace affineA<sup>n</sup>, en envoyant (x0, . . . , xn) sur (x0/xi, . . . , xn/xi), et ils recouvrentP<sup>n</sup>. Le compl´ementaire de Ui est l’espace lin´eaire PHi, o`u Hi est l’hyperplan d’´equation xi= 0 danskⁿ⁺¹. On peut donc voir l’espace projectifPⁿ comme obtenu `a partir deA<sup>n</sup> en adjoignant unhyperplan `a l’infini. Par exemple, la droite projective P¹est obtenue en adjoignant `akun uniquepoint `a l’infini. Plus g´en´eralement, le compl´ementaire dansPⁿ de n’importe quel hyperplan projectif s’identifie natu- rellement `a Aⁿ.

Consid´erons maintenant un sous-espace affine deAⁿ, par exemple un hyperplan d’´equation a0+a1x1+· · ·+anxn = 0. L’isomorphisme de Aⁿ avecU0 l’identifie

`

a une partie Λ dePⁿ; on v´erifie que le plus petit sous-espace lin´eaire qui contient Λ est l’hyperplan projectif d’´equation homog`enea₀x₀+a₁x₁+· · ·+a_nx_n= 0. On l’appelle laclˆoture projective de Λ.

Proposition2.3. Fixons un hyperplan (`a l’infini)H dansP<sup>n</sup>. On obtient une correspondance bijective entre les sous-espaces affines deA<sup>n</sup> et les sous-espaces lin´eaires deP<sup>n</sup> non contenus dansH en associant `aΛsa clˆoture projectiveΛ. Cette correspondance respecte les dimensions. Son inverse est donn´e par Λ7→Λ H.

11

La notation Λ n’est pas innocente : c’est l’adh´erence de Λ pour la topologie de Zariski surPⁿ (que l’on d´efinira plus bas).

2.4. On dit que des points de Pⁿ sont lin´eairement ind´ependants si les droites de kⁿ⁺¹ qu’ils repr´esentent sont en somme directe. En g´en´eral, d points de Pⁿ sont contenus dans un sous-espace lin´eaire de dimension au plus d−1 ; pour qu’ils soient lin´eairement ind´ependants, il faut et il suffit qu’ils ne soient pas contenus dans un sous-espace lin´eaire de dimension d−2. On dit que des points de Pⁿ sonten position g´en´eralesi, pour toutm≤n+ 1,m quelconques d’entre eux sont lin´eairement ind´ependants.

Lorsque k est R ou C, on peut munir Pⁿ de la topologie quotient de celle de kⁿ⁺¹ {0} (c’est-`a-dire qu’un sous-ensemble de Pⁿ est ferm´e, ou ouvert, si et seulement si son image inverse par la projectionkⁿ⁺¹ {0} →Pⁿ l’est). On v´erifie alors quePⁿ estcompact.

La proposition suivante illustre une des propri´et´es fondamentales de l’espace projectif : il n’y a plus de sous-espaces parall`eles, ils se rencontrent maintenant`a l’infini.

Proposition 2.5. SoientΛ etΛ⁰ des sous-espaces lin´eaires dePⁿ, de dimen- sion r et r⁰ v´erifiant r+r⁰ ≥n. L’intersection Λ∩Λ⁰ est un sous-espace lin´eaire de dimension ≥r+r⁰−n; il est en particulier non vide.

D´emonstration. Ecrivons Λ =PF, Λ⁰=PF⁰etPⁿ=PE, avec dimF =r+

1, dimF⁰=r⁰+ 1 et dimE=n+ 1. Comme dimF+ dimF⁰>dimE, l’intersection F∩F⁰ est de dimension≥r+r⁰+ 1−n >0 ; elle est donc non nulle, et Λ∩Λ⁰=

P(F∩F⁰).

Exemple 2.6. Consid´erons dans A² les droites affines parall`eles x = 1 et x= 2. PlongeonsA<sup>2</sup> dansP<sup>2</sup> comme en 2.2. Les droites projectives associ´ees sont d’´equationsx=zetx= 2z(on note (x, y, z) les coordonn´ees homog`enes dansP²) ; elles se coupent en le point`a l’infini(0,1,0).

2.2. Vari´et´es projectives

On veut une d´efinition analogue `a celle des vari´et´es affines. Le probl`eme est que les coordonn´ees (homog`enes) (x₁, . . . , x₀) d’un point n’´etant pas uniquement d´efinies, on ne peut parler de la valeur d’un polynˆome en un point. En fait, seuls lesz´eros des polynˆomes nous int´eressent. Ceux-ci seront d´efinis pour une certaine cat´egorie de polynˆomes.

D´efinition2.7. Un ´el´ementF deRest dithomog`ene de degr´edsi, pour tout

´

el´ementλ∈k, on a

F(λT0, . . . , λTn) =λ^dF(T0, . . . , Tn).

Une cons´equence imm´ediate est que, siF est homog`ene, on a, pourλnon nul, F(x₁, . . . , x₀) = 0 ⇐⇒ F(λx₀, . . . , λx_n) = 0.

On reconnaˆıt facilement un polynˆome homog`ene de degr´ed: tous ses monˆomes non nuls sont de mˆeme degr´e d. Il est clair que tout polynˆome se d´ecompose de fa¸con unique en somme de polynˆomes homog`enes.

On peut donc d´efinir le lieu des z´eros dansPⁿ d’un polynˆome homog`ene.

2.3. ID ´EAL D’UNE VARI ´ET ´E PROJECTIVE 13

D´efinition2.8. SoitS une partie deR form´ee de polynˆomes homog`enes. On noteV(S)le sous-ensemble deP<sup>n</sup> form´e des z´eros communs `a tous les ´el´ements de S. Les sous-ensembles dePⁿ de ce type sont lessous-vari´et´es projectives.

Exemples2.9. 1) Le lieu des z´eros d’un seul polynˆome homog`eneF enn+ 1 variables est une sous-vari´et´e projective de Pⁿ que l’on appelle une hypersurface.

Son degr´e est celui de F. Une hypersurface de degr´e 2 est une quadrique; une hypersurface de degr´e 3 une cubique; une hypersurface de degr´e 4 une quartique, etc. Toute sous-vari´et´e projective est par d´efinition intersection d’hypersurfaces.

2) L’image de l’applicationu:P¹→P³d´efinie par u(x0, x1) = (x³₀, x²₀x1, x0x²₁, x³₁)

est intersection des 3 quadriques d’´equationsT₀T₃=T₁T₂,T₁²=T₀T₂etT₂²=T₁T₃ (cf.exerc. 2.10.13)). On l’appelle unecubique gauche.

Si l’on veut ´etendre au cadre projectif la correspondance alg`ebre/g´eom´etrie du cas affine, le premier probl`eme que l’on rencontre est qu’un id´eal non nul de R contient toujours des polynˆomes inhomog`enes. En fait, on n’´etend la construction qu’`a un certain type d’id´eaux.

D´efinition 2.10. On dit qu’un id´eal I deR est homog`ene s’il est engendr´e par des polynˆomes homog`enes. On d´efinit alors V(I) comme le sous-ensemble de Pⁿ form´e des z´eros communs `a tous les ´el´ements homog`enes deI.

Pour qu’un id´eal I de R soit homog`ene, il faut et il suffit que pour toute d´ecompositionP =PPi d’un ´el´ementP deIen somme de polynˆomes homog`enes, on aitPi∈I pour touti.

On retrouve beaucoup de r´esultats du chapitre I (mais pas tous !) : l’application S7→V(S) est d´ecroissante pour l’inclusion ; siSest form´e de polynˆomes homog`enes, l’id´eal engendr´ehSiest homog`ene, etV(S) =V(hSi). L’anneauR´etant noeth´erien, on v´erifie que l’id´ealhSiest engendr´e par un nombre fini de polynˆomeshomog`enes F1, . . . , Fr, de sorte queV(S) =V(hSi) =V(F1, . . . , Fr). En d’autres termes, toute vari´et´e projective dansPⁿ peut ˆetre d´efinie par un nombre fini d’´equations.

Proposition 2.11. a) Toute intersection de sous-vari´et´es projectives de Pⁿ est une sous-vari´et´e projective.

b) Toute r´eunion finie de sous-vari´et´es projectives dePⁿ est une sous-vari´et´e projective.

La proposition permet de d´efinir la topologie de Zariski sur Pⁿ, en prenant comme ferm´es les vari´et´es projectives.

2.3. Id´eal d’une vari´et´e projective

D´efinition 2.12. Soit V un sous-ensemble de Pⁿ; on appelle id´eal de V, et l’on noteI(V), l’id´eal (homog`ene) engendr´e par les polynˆomeshomog`enesnuls sur V.

De nouveau, V(I(V)) est l’adh´erence de V. On en d´eduit que toute suite d´ecroissante de vari´et´es projectives est stationnaire. En particulier, toute vari´et´e projective est quasi-compacte (toute suite d´ecroissante de ferm´es est stationnaire, ou encore, de tout recouvrement ouvert, on peut extraire un recouvrement fini).

De plus, tous les r´esultats sur la d´ecomposition d’une vari´et´e affine en composantes irr´eductibles se transportent tels quels au cadre projectif.

On montre aussi (exerc. 2.10.10)) que, pour tout choix d’un hyperplan `a l’infiniH dansP<sup>n</sup>, qui permet d’identifier l’espace affineA<sup>n</sup>`a l’ouvert de Zarisiki U =Pⁿ H, la topologie induite surU par la topologie de Zariski surPⁿs’identifie

`

a la topologie de Zariski surAⁿ d´efinie au chapitre pr´ec´edent.

Exemple 2.13. La sous-vari´et´e affineC deA² d´efinie par l’´equation XY = 1 est la trace sur l’ouvertU2 de la sous-vari´et´e projectiveCdeP²d’´equationXY = Z² (on ahomog´en´eis´el’´equation). On obtientC `a partir deC en ajoutant les points`a l’infini(1,0,0) et (0,1,0).

A³.

2.4. Le Nullstellensatz projectif

La diff´erence fondamentale avec le cas affine est que si I est un id´eal deR, la vari´et´eV(I) peut ˆetre vide, sans queI soit ´egal `aR, mˆeme sikest alg´ebriquement clos : notons R⁺ l’id´eal (maximal) (T0, . . . , Tn) de R. Il est clair que V(R⁺) est vide ; en particulier, si I est un id´eal contenant une puissance de R⁺, l’ensemble V(I) est aussi vide. Le Nullstellensatz est une r´eciproque.

Th´eor`eme2.14. On supposekalg´ebriquement clos. SoitI un id´eal homog`ene deR.

a) Pour queV(I)soit vide, il faut et il suffit queI contienne une puissance de R⁺.

b) Si V(I)n’est pas vide, on aI(V(I)) =√ I.

D´emonstration. Pour tout id´eal homog`eneI deR, nous noterons provisoi- rement V(I) la sous-vari´et´e affine de Aⁿ⁺¹ d´efinie par I et I(V(I)) l’id´eal de cette vari´et´e dansR. La remarque essentielle est queV(I) co¨ıncide avec le cˆone sur V(I) en dehors de l’origineO. SiV(I) est vide, cela signifie queV(I) est contenu dans{O}. Le Nullstellensatz affine entraˆıne que le radical deI contient R⁺. Pour tout i = 0, . . . , n, il existe donc un entier mi tel que T_i^mi ∈ I; on en d´eduit que (R⁺)^m0+···+mn est contenu dansI. Ceci montre a).

SiV(I) n’est pas vide,V(I) est le cˆone surV(I), et un polynˆome homog`ene est nul surV(I) si et seulement s’il est nul surV(I), de sorte queI(V(I))⊂I(V(I)) ; le point b) r´esulte alors du Nullstellensatz affine.

Corollaire2.15. L’applicationV 7→I(V)r´ealise une bijection d´ecroissante, de r´eciproque I 7→ V(I), entre les sous-vari´et´es projectives de Pⁿ et les id´eaux radicaux homog`enes deR distincts deR⁺.

D´emonstration. Cela d´ecoule du Nullstellensatz projectif : il suffit de remar- quer que si un id´eal radical contient une puissance deR⁺, il contientR⁺. Comme dans le cas affine, on peut d´efinir une alg`ebre homog`ene S(V) = R/I(V) ; c’est unek-alg`ebre gradu´ee.

Exemple2.16. SoitF un polynˆome homog`ene d´efinissant l’hypersurfaceV(F) dans Pⁿ. Comme dans le cas affine, le Nullstellensatz entraˆıne que lorsque k est alg´ebriquement clos, V(F) est irr´eductible si et seulement si F l’est (comparer avec l’exercice 1.6.8)). Si l’on d´ecompose F en un produit F = Q

iF_iⁿⁱ, avec Fi

irr´eductible, lesFi sont homog`enes, lesV(Fi) sont les composantes irr´eductibles de V(F), etI(V(F)) = (F1, . . . , Fr).

2.5. APPLICATIONS R ´EGULI `ERES 15

2.5. Applications r´eguli`eres

Il est impossible de copier la d´efinition des fonctions r´eguli`eres donn´ee dans le cadre affine, parce qu’un polynˆome ne d´efinit pas une fonctionPⁿ →k. L’id´ee est de se ramener au cas affine en remarquant que toute vari´et´e projective est r´eunion de vari´et´es affines : siU_iest l’ouvert de Zariski dePⁿ d´efini parT_i6= 0, les ouvertsU₀, . . . , U_n recouvrentPⁿ. SiX est une sous-vari´et´e projective dePⁿ, elle est recouverte par les X∩U_i, qui par l’exercice 2.10.10) sont des vari´et´es affines.

On pourrait d´efinir une fonction r´eguli`ere surX en demandant que sa restriction

`

a chaque X∩Ui soit r´eguli`ere. Le probl`eme est que cette notion d´ependa priori du recouvrement choisi dePⁿpar des ouverts affines : on r´esoud cette difficult´e en adoptant une d´efinitionlocale, par opposition `a la d´efinition globale du chapitre I.

D´efinition 2.17. On appelle vari´et´equasi-projectivetout ouvert (de Zariski) d’une vari´et´e projective.

Toute vari´et´e affine est donc quasi-projective (cf.exerc. 2.10.10)b). Notons que toute vari´et´e quasi-projective est quasi-compacte.

Lorsque nous dirons que X est une vari´et´e, il sera toujours sous-entendu que X estquasi-projective; en revanche, lorsque nous dirons queY est unesous-vari´et´e de X, il sera toujours sous-entendu, sauf mention du contraire, que Y est ferm´ee dansX.

L’id´ee de base est que si un polynˆome, mˆeme homog`ene, ne d´efinit pas de fonction surP<sup>n</sup>, le quotientG/H de polynˆomes homog`enes de mˆeme degr´e d´efinit une fonction sur l’ouvert o`u H ne s’annule pas.

D´efinition 2.18. Soient X une sous-vari´et´e quasi-projective de Pⁿ et x un point deX. Une fonctionf :X →kest diter´eguli`ereenxs’il existe des polynˆomes homog`enes G etH de mˆeme degr´e avec H(x)6= 0 etf =G/H dans un voisinage dexdansX. On dit quef est r´eguli`ere surX si elle est r´eguli`ere en tout point de X. On noteA(X) l’anneau des fonctions r´eguli`eres surX.

Notons qu’une fonction r´eguli`ere f :X →k est continue pour la topologie de Zariski : il suffit de v´erifier que f⁻¹(a) est ferm´e pour tout a ∈ k; si x ∈ X, on peut ´ecrire f = G/H sur un voisinage U de x; sur U, la fibre f⁻¹(a) est ´egale

`

a V(G−aH), donc est ferm´ee. Comme X est quasi-compacte, on en d´eduit que f⁻¹(a) est ferm´e dansX.

SiX est un ouvert d’une vari´et´e affine dansAⁿ etxun point deX, on v´erifie qu’une fonctionf :X →kest r´eguli`ere enxs’il existe des polynˆomesGetH avec H(x)6= 0 etf =G/H dans un voisinage de xdansX.

Cette d´efinition n’est pas enti`erement satisfaisante : elle semble d´ependre de donn´ees extrins`eques comme celle du plongement de X dans Pⁿ. Mais, sans la th´eorie des faisceaux, c’est le mieux que l’on puisse faire.

La premi`ere chose `a faire est de v´erifier que l’on retrouve bien la d´efinition du chapitre I dans le cas o`u X est une vari´et´e affine.

Th´eor`eme 2.19. On supposek alg´ebriquement clos. SoitX une sous-vari´et´e affine de A<sup>n</sup>; toute fonction r´eguli`ere f : X → k est d´efinie globalement par un polynˆome `anvariables.

D´emonstration. On supposera pour simplifier queXestirr´eductible. Comme X est quasi-compacte, il existe un nombre fini d’ouverts U_i qui recouvrent X, et

des polynˆomesGi et Hi, tels queHi ne s’annule pas surUi et quef =Gi/Hi sur Ui. Pour tousietj, cela signife queGiHj−GjHiest nul sur l’ouvertUi∩Ujdense dans X, donc sur X. Les Hj n’ayant pas de z´ero commun dans X, il existe des fonctions polynomiales a_j surX telles quePa_jH_j = 1 (prop. 1.16). Notons sla fonction polynomialeP

ja_jG_j surX; on a H_is=H_i(X

j

a_jG_j) =X

j

a_jG_iH_j =G_i ,

de sorte quesco¨ıncide avecf sur chaqueU_i. Elle est donc ´egale `af. Le th´eor`eme n’est plus vrai sur un corps quelconque (comme le montre l’exemple de la fonctionf :R→Rqui `atassocie 1/(1 +t²)). Dans toute la suite, on suppose

k alg´ebriquement clos.

Passons maintenant `a la d´efinition des applications r´eguli`eres g´en´erales. Il y a de nombreuses fa¸cons ´equivalentes de la formuler. Nous donnerons la plus courte.

D´efinition 2.20. Soient X etY des vari´et´es quasi-projectives ; on dit qu’une applicationu:X→Y est r´eguli`ere si elle estcontinueet si, pour tout ouvertU de Y et toute fonction r´eguli`eref :U →k, la compos´eef◦uest r´eguli`ere suru⁻¹(U).

Cette d´efinition a l’avantage d’entraˆıner sans effort le fait que la compos´ee d’applications r´eguli`eres est encore une application r´eguli`ere. On a aussi une notion d’isomorphisme de vari´et´es quasi-projectives. Attention cependant : une application r´eguli`ereX →Y n’induit pas de morphisme entreS(Y) etS(X), de sorte que les alg`ebres homog`enes de vari´et´es isomorphes ne sont en g´en´eral pas isomorphes.

On dira maintenant qu’une vari´et´e est affine si elle est isomorphe `a une sous- vari´et´e affine d’unA<sup>n</sup>. Il peut tr`es bien arriver qu’une vari´et´e affine soit contenue dans Aⁿ comme sous-vari´et´e quasi-projective non ferm´ee, c’est-`a-dire pas comme sous-vari´et´e affine (cf.exerc. 2.10.2)). On remarquera aussi qu’il d´ecoule deloc.cit.

quetout point d’une vari´et´e quasi-projective a un voisinage affine.Enfin, il existe des vari´et´es qui ne sont ni affines, ni projectives (cf.exerc. 2.10.4)).

Exemples2.21. 1) L’applicationu:P¹→P³d´efinie dans l’exemple 2.9.2) est r´eguli`ere. Plus g´en´eralement, si on se donne des polynˆomes homog`enes F0, . . . , Fm

de mˆeme degr´e enn+1 variables, l’´egalit´eu(x) = (F0(x), . . . , Fm(x)) d´efinit une ap- plication r´eguli`ereudePⁿ V(F0, . . . , Fm) dansP^m. En particulier, siF0, . . . , Fm

ne s’annulent simultan´ement qu’en 0, l’applicationuest d´efinie sur toutPⁿ. C’est sous cette forme plus concr`ete que l’on rencontre le plus souvent une application r´eguli`ere.

2) Applications de Veronese : soient M₀, . . . , M_N tous les monˆomes de degr´edenT0, . . . , Tn, avecN = ^n+d_d

−1. Comme ils n’ont pas de z´ero commun, ils d´efinissent une application r´eguli`ere injectiveνd:Pⁿ →P^N. On peut montrer (exerc. 2.10.15)) queνd(Pⁿ) est une sous-vari´et´e projective deP^N, et queνdinduit un isomorphisme dePⁿ surνd(Pⁿ).

3) SoientE un espace vectoriel et E = F⊕G une d´ecomposition en somme directe de sous-espaces vectoriels. Les sous-espaces projectifs PF et PG de PE sont disjoints. La projection deE sur Gparall`element `a F induit une application r´eguli`erePE PF→PGencore appel´ee projection.

2.6. APPLICATIONS RATIONNELLES 17

Nous montrons maintenant qu’une application r´eguli`ere est toujours d´efinie localementcomme dans l’exemple 1) ci-dessus.

Proposition 2.22. Soient X une vari´et´e quasi-projective contenue dans P^m et u : X → Pⁿ une application r´eguli`ere. Pour tout point x<sub>0</sub> de X, il existe un voisinage ouvertU dex<sub>0</sub>dansX et des polynˆomes homog`enesF₀, . . . , F_n de mˆeme degr´e en m+ 1 variables qui ne s’annulent simultan´ement en aucun point de U, tels que, pour toutxdansU, on ait

(1) u(x) = (F₀(x), . . . , F_n(x)) en coordonn´ees homog`enes.

D´emonstration. SoitU_iun ouvert standard contenantu(x₀) ; par d´efinition, on peut ´ecrire, pour toutxdansu⁻¹(U_i),u(x) = (f₀(x), . . . , f_n(x)), o`u lesf<sub>j</sub> sont des fonctions r´eguli`eres avecfi= 1. Par d´efinition, on peut ´ecrire chaquefjcomme Gj/Hj, o`u Gj et Hj sont des polynˆomes homog`enes de mˆeme degr´e, ceci sur un voisinageU dex0 dansu⁻¹(Ui). La proposition s’en d´eduit facilement.

Comme on l’a d´ej`a expliqu´e, la formule (1) d´efinit une application r´eguli`ere l`a o`u les F_i ne s’annulent pas simultan´ement. La subtilit´e est que cette formule peut tr`es bien d´efinir une application r´eguli`ere sur tout X, sans que celle-ci ait une expression globale de ce type. Il est parfois impossible de s’en rendre compte `a premi`ere vue.

Exemple 2.23. Soit C la courbe d´efinie dans P² par l’´equation XZ = Y². L’application u : C → P¹ d´efinie par u(X, Y, Z) = (X, Y) est r´eguli`ere hors du point (0,1,0). Elle se prolonge en une application r´eguli`ere sur tout C en posant u(X, Y, Z) = (Y, Z) hors du point (1,0,0). Il n’existe pas de formule globale pour cette application.

2.6. Applications rationnelles

Etant donn´ee une vari´et´eX, on a rencontr´e `a plusieurs reprises des applications r´eguli`eres d´efinies sur un ouvert dense deX. Formalisons cette situation.

D´efinition2.24. SoientX etY des vari´et´es. On consid`ere les couples(u, U), o`u U est un ouvert dense de X et u : U → Y une application r´eguli`ere ; on dit que de tels couples(u, U)et(v, V)sont ´equivalents siuetv co¨ıncident surU∩V. On appelleapplication rationnelle deX sur Y une classe d’´equivalence pour cette relation.

On note u : X 99K Y une application rationnelle ; malgr´e son nom, ce n’est pas une application !En particulier, il n’est pas toujours possible de composer des applications rationnelles, ou de les restreindre `a des sous-vari´et´es. On dit qu’une application rationnelle u : X 99K Y est d´efinie en un point x de X s’il en existe un repr´esentant r´egulier d´efini sur un voisinage dense de x dans X. L’ensemble des points o`u uest d´efinie est un ouvert dense deX, que l’on appelle parfois son domaine de d´efinition. Une application rationnelle d´efinie en tous les points deX est r´eguli`ere.

SiX est une vari´et´e quasi-projective irr´eductible contenue dansP^m, toute ap- plication rationnelle u: X 99K Pⁿ est d´efinie selon la formule (1) par la donn´ee de polynˆomes homog`enes F₀, . . . , F_n de mˆeme degr´e en m+ 1 variables non tous

identiquement nuls surX. Elle est d´efinie au moins sur l’ouvertX V(F0, . . . , Fn), mais son domaine de d´efinition peut ˆetre plus grand.

On appellefonction rationnellesurXune application rationnelle deX `a valeurs dansk.

Proposition 2.25. SoitX une vari´et´e.

a) Les fonctions rationnelles surX forment unek-alg`ebre not´eeK(X).

b) Pour tout ouvert denseUdeX, les alg`ebresK(X)etK(U)sont isomorphes.

c) Si X est irr´eductible, K(X)est un corps.

d) SiX est affine irr´eductible, K(X)est le corps de fractions deA(X).

D´emonstration. Seul le point d) m´erite une d´emonstration. Sif /g est un

´

el´ement deK(X), on lui associe la fonction rationnelle repr´esent´ee par la fonction r´eguli`ere f /g : X V(g) → k. Inversement, si f : U → k est une fonction r´egu- li`ere, il existe une fonction r´eguli`ere hnulle sur X U. L’ouvert V des points o`u hne s’annule pas est affine d’alg`ebre A(X)h (exerc. 2.10.2)), de sorte qu’il existe un entier naturel N et un ´el´ement g de A(X) tels que f =g/h<sup>N</sup>; on associe `a f l’´el´ementg/h^N deK(X). On v´erifie que ces deux applications sont des morphismes

dek-alg`ebres inverses l’un de l’autre.

Si X₁, . . . , X_N sont les composantes irr´eductibles de X, l’alg`ebre K(X) est isomorphe au produit de corpsK(X₁)× · · · ×K(X_N).

2.26. On dit qu’une application rationnelle u : X 99K Y est dominante si elle a une repr´esentant r´egulier dominant. Si c’est le cas, et si v : Y 99K Z est une application rationnelle, on peut d´efinir la compos´eev◦u:X 99KZ. En particulier, on peut d´efinir f ◦u pour toute fonction rationnelle f sur Y, d’o`u une inclusion u^∗:K(Y),→K(X).

Proposition 2.27. SoientX etY des vari´et´es irr´eductibles.

a) L’applicationu7→u^∗ r´ealise une bijection entre l’ensemble des applications rationnellesdominantes u:X 99KY et l’ensemble desk-extensions de corps K(Y)⊂K(X).

b) Pour que u^∗ soit un isomorphisme, il faut et il suffit queuinduise un iso- morphisme d’un ouvert non vide de X sur un ouvert non vide de Y. On dit queuest uneapplication birationnelle.

D´emonstration. Soitι :K(Y)⊂K(X) unek-extension de corps ; on peut supposerX⊂A^metY ⊂Aⁿaffines. On ´ecrit alorsι(yj) =aj/bjpourj= 1, . . . , n, avecaj, bj dansA(X). On a donc une inclusion dek-alg`ebresA(Y),→A(X)b₁···bn,

`

a laquelle correspond par la proposition 1.19 et l’exercice 2.10.2) une application r´eguli`ere dominanteu:X V(b1· · ·bn)→Y. On v´erifie facilement queu<sup>∗</sup>=ι, ce qui montre a). Siιest un isomorphisme, on ´ecritxi=ι(ci/di) etbj =ι(c<sup>0</sup><sub>j</sub>/d<sup>0</sup><sub>j</sub>), d’o`u un isomorphismeA(Y)_d1···dmd⁰

1···d⁰_m 'A(X)_{b1···bnι(d1)···ι(dm)}, ce qui montre b).

2.28. La terminologie est un peu compliqu´ee `a ce point : une application bira- tionnelle est une application rationnelleX 99KY qui est un isomorphisme entre un ouvert deX et un ouvert deY (`a ce propos, on dira dans cette situation queX et Y sontbirationnellement isomorphes). Comment appeler une application r´eguli`ere qui a cette propri´et´e ? Nous dironsmorphisme birationnel.

2.7. PRODUITS DE VARI ´ET ´ES 19

2.29. On dit qu’une vari´et´e irr´eductible X est rationnelle s’il existe une appli- cation birationnelle d’un espace projectif (ou d’un espace affine) surX. De fa¸con

´

equivalente, on demande queK(X) soit une extension transcendante pure dek. On dit que X est unirationnelles’il existe une application rationnelle dominante d’un espace projectif sur X. De fa¸con ´equivalente, on demande queK(X) soit contenu dans une extension transcendante pure de k. Il est clair que toute vari´et´e ration- nelle est unirationnelle ; on ne sait que depuis une vingtaine d’ann´ees qu’il existe des vari´et´es unirationnelles qui ne sont pas rationnelles, c’est-`a-dire des extensions de kcontenues dans une extension transcendante pure qui ne sont pas transcendantes pures.

2.7. Produits de vari´et´es

Notre but est maintenant de mettre une structure de vari´et´e projective sur le produit de deux vari´et´es projectives. Commen¸cons par le cas deP^m×Pⁿ. Il existe une application injectiveu:P^m×Pⁿ→P(m+1)(n+1)−1, diteapplication de Segre, d´efinie par

u((x0, . . . , xm),(y0, . . . , yn)) = (. . . , xiyj, . . .).

On montre (exerc. 2.10.6) que l’image Σm,ndeuest la vari´et´e projective d´efinie par les ´equationsZi,jZk,l=Zi,lZj,k(c’est l’ensemble des matrices (m+ 1)×(n+ 1) de rang 1). Cela fait deP^m×Pⁿune vari´et´e projective, dont les sous-vari´et´es sont par d´efinition les images inverses parudes sous-vari´et´es deP(m+1)(n+1)−1. Remarquons par exemple que la restriction deu`a la diagonale ∆ de Pⁿ×Pⁿ n’est autre que l’applicationν2 d´efinie ci-dessus, dont on a vu que l’image est une sous-vari´et´e de P(ⁿ⁺²2 )⁻¹⊂P^(n+1)2−1. Il s’ensuit que ∆ est une sous-vari´et´e dePⁿ×Pⁿ.

On dit par ailleurs qu’un polynˆomeF(X0, . . . , Xm, Y0, . . . , Yn) estbihomog`ene de bidegr´e(d, e) s’il v´erifie, pour tousλ, µ∈k,

F(λX0, . . . , λXm, µY0, . . . , µYn) =λ^dµ^eF(X0, . . . , Xm, Y0, . . . , Yn). Il est clair qu’un tel polynˆome d´efinit un sous-ensemble deP^m×Pⁿ.

Proposition 2.30. Les sous-vari´et´es de P^m×Pⁿ sont exactement les lieux des z´eros communs de polynˆomes bihomog`enes.

D´emonstration. Les sous-vari´et´es de P^m×Pⁿ sont d´efinies par les ima- ges inverses de polynˆomes homog`enes sur P(m+1)(n+1)−1, qui sont exactement les polynˆomes bihomog`enes de bidegr´e (d, d). Il suffit de remarquer que le lieu des z´eros d’un polynˆome bihomog`eneF de bidegr´e (d, e) est aussi le lieu des z´eros communs aux polynˆomes X_i^eY_j^dF(X, Y), qui sont de bidegr´e (d+e, d+e).

Exemple 2.31. La vari´et´e Σ1,1 est la quadrique d’´equation T0T3−T1T2 dans P³. Elle contient donc la cubique gauche C, qui est son intersection avec les qua- driquesT₁² =T₀T₂ et T₂² =T₁T₃ (cf. exerc. 2.10.13)). Ces ´equations se remontent en (X₀Y₁)² = (X₀Y₀)(X₁Y₀) et (X₁Y₀)² = (X₀Y₁)(X₁Y₁) ; la cubique peut donc ˆ

etre d´efinie dans P¹×P¹ par l’unique ´equation X₁Y₀² = X₀Y₁², bihomog`ene de bidegr´e (1,2).

Prenons maintenant des vari´et´es projectivesX ⊂P^metY ⊂Pⁿ. Il est clair que X×Pⁿ etP^m×Y sont d´efinies par des polynˆomes bihomog`enes ; leur intersection X ×Y est donc une sous-vari´et´e de P^m×Pⁿ. De fa¸con similaire, le produit de vari´et´es quasi-projectives est encore une vari´et´e quasi-projective.

On montre queles projectionsX×Y →X etX×Y →Y sont des applications r´eguli`eres ; pour qu’une application Z→X×Y soit r´eguli`ere, il faut et il suffit que chacune de ses composantesZ→X et Z→Y le soit.

Exemples2.32. 1) SiX est une sous-vari´et´e deP^metu:X→Pⁿ une appli- cation r´eguli`ere, son graphe Γ<sub>u</sub>est une sous-vari´et´e deX×P<sup>n</sup>. En effet,uinduit par ce qui pr´ec`ede une application r´eguli`ere (donc continue) (u,1) :X×Pⁿ→Pⁿ×Pⁿ, et Γf est l’image inverse de la diagonale, donc est ferm´e.

2) On v´erifie que la structure de vari´et´e surA^m×Aⁿco¨ıncide avec celle obtenue par l’isomorphismeA^m×Aⁿ'A^m+n.

Attention cependant :la topologie surX×Y n’est pas la topologie produit.

2.8. Eclatements

Soient O un point de Pⁿ et H un hyperplan dans Pⁿ ne contenant pas O.

La projection π : Pⁿ 99K H depuis O est une application rationnelle d´efinie sur Pⁿ {O}.

Prenons des coordonn´ees de fa¸con queO= (0, . . . ,0,1) etH=V(x_n), de sorte queπ(x₀, . . . , x_n) = (x₀, . . . , x_n−1). Le graphe deπdansPⁿ×H est l’ensemble des (x, y) avecx6=O et x_i=y_i pour 0≤i≤n−1. On v´erifie que son adh´erencePeⁿ est d´efinie par les ´equations bihomog`enes x_iy_j=x_jy_i pour 0≤i, j≤n−1.

La premi`ere projectionε:Peⁿ →Pⁿ s’appelle l’´eclatement de O dans Pⁿ, ou encore l’´eclatement dePⁿ enO. Au-dessus d’un pointxautre queO, la fibreε⁻¹(x) est le pointπ(x) ; au-dessus deO, c’estH. L’applicationεinduit un isomorphisme de Peⁿ H sur Pⁿ {O}; c’est donc un morphisme birationnel (cf. 2.25). On a en quelque sorte retir´eO dePⁿ pour le remplacer par unPⁿ⁻¹.

Les fibres de la seconde projection q: Peⁿ →H sont toutes isomorphes `a P¹, mais Peⁿ n’est pas isomorphe au produit P¹×H. On v´erifie qu’il l’est au-dessus de chaque ouvert standard U_i de H (on dit que c’est un fibr´e projectif) : il suffit d’envoyer le point (x, y) de Peⁿ∩(Pⁿ×Ui) =q⁻¹(Ui) sur le point ((xi, xn), y) de P¹×Ui.

Il faut penser `a H comme `a l’ensemble des droites dePⁿ passant par O. De fa¸con plus g´eom´etrique, on a alors

Peⁿ={(x, `)∈P<sup>n</sup>×H |x∈`},

ce qui permet de bien comprendre les fibres des applications ε : Peⁿ → Pⁿ et q:Peⁿ →H.

Lorsque X est une vari´et´e contenue dans Pⁿ et O un point de X, on d´efinit l’´eclatement de X en O comme l’adh´erenceXe deε⁻¹(X {O}) dans ε⁻¹(X). On montre que le morphisme birationnel obtenuε:Xe →X est ind´ependant du choix du plongement X ⊂Pⁿ, ainsi que de celui deH; c’est une construction que l’on peut rendre intrins`eque.

On ´eclate en g´en´eral pour deux raisons : soit pour d´esingulariser une vari´et´e singuli`ere (voir le chapitre 4 pour la signification de ces termes), soit pour rendre une application rationnelle d´efinie partout.

Exemples2.33. 1) Consid´erons la cubique planeC d’´equation X₁²X₂=X₀²(X₂−X₀)