Faisceaux coh´ erents et cohomologie

6.1. Faisceaux

La th´eorie des faisceaux permet de formaliser de fa¸con maniable plusieurs des notions d´efinies dans les num´eros pr´ec´edents, en particulier celle de diviseur (d´ef.

5.10) ainsi que la d´efinition 5.3 des fibr´es en droites par des fonctions de transition.

L’id´ee de d´epart est de d´efinir une certaine classe de fonctions sur un espace topologique par des propri´et´es locales. Nous donnerons la d´efinition, qui paraˆıtra sans doute un peu formelle, et nous l’expliquerons imm´ediatement par de nombreux exemples, qui vous montrerons que vous avez en fait d´ej`a utilis´e des faisceaux !

D´efinition 6.1. Soient X un espace topologique. On appelle faisceau F sur X la donn´ee

– pour chaque ouvertU deX, d’un ensembleF(U);

– pour chaque inclusion d’ouverts V ⊂ U, d’une restriction r_{V U} : F(U) → F(V); satisfaisant les conditions suivantes :

a) (restriction) pour toutes inclusions W ⊂V ⊂U, on ar_{W U} =r_{W V} ◦ r_{V U};

b) (recollement)si(Ui)_i∈I est une famille d’ouverts d’unionU et si l’on se donne pour chaquei un ´el´ement si deF(Ui)v´erifiant

r_Ui∩Uj,Ui(s_i) =r_Ui∩Uj,Uj(s_j),

il existe un unique ´el´ement s de F(U) v´erifiant r_Ui,U(s) = s_i pour chaquei.

Pour chaque ouvertU, on note aussi Γ(U,F) l’ensemble F(U) ; ses ´el´ements sont appel´es lessectionsdeF surU. Les ´el´ements de Γ(X,F) sont souvents appel´es sections globales deF. On notera aussis|V au lieu der_{V U}(s) la restriction d’une sections`a un ouvertV.

On peut se limiter `a d´efinir un faisceauF sur une base d’ouverts (U_i)_i∈I de X : il suffit de poser, pour tout ouvertU deX,

F(U) ={(si)∈ Y

Ui⊂U

F(Ui)|si|Ui∩Uj =sj|Ui∩Uj pour toutiet j dansI} . On rencontre fr´equemment des faisceaux de fonctions, pour lesquels F(U) est un sous-ensemble de l’ensemble des fonctions de U dans un ensemble fix´e K. La propri´et´e de restriction est alors automatique et l’unicit´e dans le recollement aussi : la fonctionfexiste toujours comme fonction deUdansK, il s’agit de v´erifier qu’elle est dansF(U).

Si u:X →Y est une application continue etF un faisceau sur X, on d´efinit un faisceauu_∗F surY en posant, pour tout ouvertU deY,

u_∗F(U) =F u⁻¹(U) .

63

Exemples6.2. 1) SiKest un ensemble, on peut prendre pourF(U) l’ensemble des fonctions localement constantes deU dansK; on note le faisceau correspondant K. Si K est un espace topologique, on peut aussi prendre pour F(U) l’ensemble des fonctionscontinues deX dansK.

2) Soient x un point de X et K un ensemble avec un point fix´e 0 (souvent un groupe ab´elien) ; le faisceau gratte-ciel K_x est d´efini en prenant pour K_x(U) l’ensemble des fonctions deU dansK valant 0 hors dex.

3) Les fonctions r´eguli`eres sur une vari´et´e alg´ebrique X forment un faisceau not´e OX. On note OX<sup>∗</sup> le sous-faisceau des fonctions qui ne s’annulent pas. On d´efinit le faisceau KX des fonctions rationnelles surX en prenant pourKX(U) le corps (total) de fractions de l’anneau OX(U), c’est-`a-dire le localis´e en l’ensemble des ´el´ements non diviseurs de z´ero. LorsqueU est irr´eductible, OX(U) est int`egre etKX(U) est simplement le corps de fractions de l’anneauOX(U).

La d´efinition des fonctions rationnelles est beaucoup plus naturelle dans le cadre du formalisme des faisceaux (comparer avec la d´ef. 2.24) : une fonction rationnelle est tout simplement une section du faisceauKX.

LorsqueX est irr´eductible de corps de fonctions rationnellesK(X), le faisceau KXn’est autre que le faisceauK(X) des fonctions localement constantes deU dans K(X).

4) SoitLun fibr´e en droites sur une vari´et´e alg´ebriqueX. On d´efinit un faisceau en associant `a tout ouvertU de X l’espace vectoriel Γ(U, L) des sections de Lsur U. On l’appellefaisceau des sectionsdeL.

D´efinition 6.3. Soient X un espace topologique et F etG des faisceaux sur X. On appelle morphisme f de F dans G la donn´ee, pour chaque ouvert U de X, d’une application f|U : F(U) → G(U). Ces applications doivent avoir des propri´et´es de compatibilit´e ´evidentes vis-`a-vis des restrictions.

On d´efinit de fa¸con ´evidente les faisceaux de groupes ab´eliens (on demande que chaqueF(U) soit un groupe ab´elien et que les restrictions soient des morphismes de groupes) et les morphismes entre tels faisceaux. On d´efinit de mˆeme les faisceaux d’anneaux ou dek-alg`ebres.

On peut d´efinir le noyau d’un tel morphismef :F →G en posant Ker(f)(U) = Ker(f|U).

Pour l’image, c’est plus difficile, car lesf(U) ne forment en g´en´eral pas un faisceau (la propri´et´e de recollement n’est en g´en´eral pas satisfaite ; cf. l’exemple 2) ci-dessous). On d´efinit le faisceau Imf comme suit : un ´el´ement t de G(U) est dans (Imf)(U) s’il existe un recouvrement ouvert (Ui)i∈I de U et des ´el´ement si de F(Ui) tels que f(si) =t|Ui pour tout i. En d’autres termes, c’est l’ensemble des sections deG qui proviennent localementde sections deF.

Exemples6.4. 1) Les fonctions diff´erentiables sur une vari´et´e diff´erentiableX forment un faisceau de R-alg`ebres. Si on r´efl´echit un peu, on se rend compte que l’on peut tr`es bien, mˆeme si ce n’est pas l’approche habituelle, d´efinirune vari´et´e diff´erentiable comme un espace topologique muni d’un faisceau de fonctions locale-ment isomorphe `a un ouvert de Rⁿ muni du faisceau des fonctions diff´erentiables sur cet ouvert.

2) SoientX une vari´et´e alg´ebrique irr´eductible etLun fibr´e en droites surX. Toute sectionsdeLnon identiquement nulle induit un morphisme de faisceaux de

6.1. FAISCEAUX 65

k-alg`ebres

OX

−→s L

qui est injectif. En effet, siU est un ouvert non vide deX etf une fonction r´eguli`ere sur U telle que la section f s de L sur U soit nulle, alors f est nulle sur l’ouvert dense deU o`usne s’annule pas, donc est nulle.

3) Soient X une vari´et´e alg´ebrique et x1, . . . , xr des points distincts de X. L’´evaluation des fonctions r´eguli`eres enx<sub>1</sub>, . . . , x<sub>r</sub> est un morphisme de faisceaux dek-alg`ebres

OX

−→ev kx₁⊕ · · · ⊕kx_r

qui est surjectif. On remarquera que les ev(U) ne forment en g´en´eral pas un faisceau : sir= 2 etU_i=X {xi}, la fonctionX →kqui vaut 1 enx₁ et 0 ailleurs est dans ev(U₁) et dans ev(U₂), mais pas dans ev(U₁∪U₂) lorsqueXest projective (puisque les fonctions r´eguli`eres surX sont alors constantes par le corollaire 2.38).

Son noyau est un faisceaux d’id´eaux deOX, not´eIx1,...,xr. On dit qu’on a une suite exacte de faisceaux

0→Ix₁,...,x_r →OX→kx₁⊕ · · · ⊕kx_r →0. La suite correspondantes des sections globales

0→Γ(X,Ix1,...,xr)→Γ(X,OX)→Γ(X,k_x1⊕ · · · ⊕k_xr)'k^r

est exacte, mais la fl`eche de droite n’est pas surjective en g´en´eral (lorsque X est projective par exemple).

4) L’exemple pr´ec´edent se g´en´eralise ainsi. SoitY une sous-vari´et´e d’une vari´et´e X. Les fonctions r´eguli`eres surXqui s’annulent surY forment un faisceau d’id´eaux deOX not´eIY et on a une suite exacte de faisceaux

0→IY →OX→OY →0.

6.5. Faisceaux quotients. La d´efinition du faisceau quotientF/G d’un faisceau F de groupes ab´eliens par un faisceau G de sous-groupes est un peu alambiqu´ee (heureusement, nous nous n’en servirons qu’une fois, ci-dessous). Soit U un ou-vert de X; on peut d´efinir une section de F/G sur U avec le vocabulaire de la d´efinition 5.10 : on dit qu’une famille (U_i, s_i), o`u (U_i) est un recouvrement ouvert deU etsi∈Γ(Ui,F), est admissible si

si|U_i∩Uj −sj|U_i∩Uj ∈G(Ui∩Uj)

pour toutiet toutj. De telles familles sont ´equivalentes si leur r´eunion est encore admissible. Un ´el´ement de (F/G)(U) est alors une classe d’´equivalence de familles admissibles. On a bien une suite exacte de faisceaux

0→G →F →F/G →0.

Exemple 6.6. Soit X une vari´et´e alg´ebrique irr´eductible. Le groupe des di-viseurs de X n’est autre que le groupe des sections du faisceau quotient KX^∗/OX^∗

(cela r´esulte de la d´efinition mˆeme).

6.7. D´efinition des vari´et´es alg´ebriques. Le premier service que va nous rendre la th´eorie des faisceaux est de nous fournir un cadre pour ´enoncer enfin une d´efinition de la notion de vari´et´e alg´ebrique ind´ependante de tout plongement (dans un espace projectif ou ailleurs).

D´efinition6.8. Une vari´et´e alg´ebrique est un couple form´e d’un espace topo-logiqueX quasi-compact et d’un faisceau d’anneaux OX (le faisceau desfonctions r´eguli`eres) localement isomorphe `a une vari´et´e affine munie du faisceau de ses fonc-tions r´eguli`eres.

On copie ainsi la d´efinition des vari´et´es diff´erentiables donn´ee dans l’exemple 1) ci-dessus. Le lecteur int´eress´e pourra v´erifier que les vari´et´es quasi-projectives

(c’est-`

a-dire celles que l’on consid´erait exclusivement jusqu’`a maintenant) sont toujours des vari´et´es dans le nouveau sens. Il faut prendre garde que cette d´efinition, pour s´eduisante qu’elle soit, permet aussi des objets tr`es ´etranges, comme par exemple la vari´et´e obtenue en identifiant les ouvertsk^∗ de deux copies dek!

Il faut reconnaˆıtre que si cette d´efinition est satisfaisante du point de vue conceptuel, dans la pratique, la plupart des vari´et´es que nous rencontrerons seront de toute fa¸con quasi-projectives.

Etant donn´´ ee une vari´et´e alg´ebrique (X,OX), unOX-module est un faisceau de groupes ab´eliensF sur X tel que pour tout ouvertU, le groupe F(U) est un OX(U)-module, avec des propri´et´es de compatibilit´e ´evidentes vis-`a-vis des restric-tions.

Si F et G sont des OX-modules, on laisse au lecteur le soin de d´efinir les OX-modulesF ⊕G, F⊗_OXG (simplement not´eF ⊗G) etHom(F,G).

Exemple 6.9. Soit L un fibr´e en droites sur une vari´et´e alg´ebrique X. Le faisceauL des sectionsdeLest unOX-modulelocalement libre de rang1, c’est-` a-dire queX est recouvert par des ouverts affinesU sur lesquelsL est isomorphe `a OU.

6.10. Qu’est-ce qu’un sch´ema ? Nous avonc tous les ingr´edients n´ecessaires pour d´efinir ces ´etranges objets, alors profitons-en pour le faire, sans bien sˆur couvrir toute la th´eorie. Nous aurons de toute fa¸con bientˆot besoin de la flexibilit´e qu’elle apporte.

Rappelons que les vari´et´es affines sont en correspondance bijectives avec les k-alg`ebres de type fini r´eduites par les op´erations

V A= Γ(V,OV) A V ={id´eaux maximaux deA}. L’id´ee est d’´etendre cette correspondance `a tous les anneaux, en attachant `a un anneau A l’ensemble Spec(A) de tous ses id´eaux premiers, muni de la topologie dont les ferm´es sont les

V(I) ={p∈Spec(A)|p⊃I} ,

pour tout id´ealIdeA. Attention : non seulement, cette topologie n’est pas s´epar´ee, mais il y a en g´en´eral des points qui ne sont pas ferm´es ! Plus pr´ecis´ement, le point de Spec(A) correspondant `a un id´eal premier de Aest ferm´e si et seulement si cet id´eal est maximal.

En particulier, mˆeme quand A est unek-alg`ebre de type fini r´eduite, l’espace topologique Spec(A) n’est pas la vari´et´e affineV associ´ee `a A comme ci-dessus : on a adjoint `a X des points non ferm´es, un pour chaque sous-vari´et´e irr´eductible de X. Le fait d’avoir des points non ferm´es est un obstacle de nature essentielle-ment psychologique, ampleessentielle-ment compens´e par l’unit´e, la flexibilit´e et l’efficacit´e du nouveau point de vue.

6.1. FAISCEAUX 67

On munit X = Spec(A) d’une structure d’espace annel´e de la fa¸con suivante.

Les

Xf =X V(f) ={p∈Spec(A)|f /∈p},

pour f d´ecrivant A, forment une base d’ouverts de X. On v´erifie (ce n’est pas imm´ediat) qu’on d´efinit un faisceau d’anneauxOX surX en posant¹

Γ(Xf,OX) =Af ,

pour toutf dansA. On copie alors la d´efinition 6.7 :un sch´ema est un couple form´e d’un espace topologiqueX et d’un faisceau d’anneauxOX localement isomorphe au spectre d’un anneau muni du faisceau d´efini ci-dessus.

Attention : les ´el´ements de Γ(X,OX) ne peuvent plus ˆetre consid´er´es comme des fonctions sur le sch´ema X en un sens naturel, mˆeme si on se restreint aux points ferm´es sur un sch´ema affineX = Spec(A). Tout au plus, on peut dire qu’une section s∈Γ(X,OX) prend ses valeurs dans le corpsA/m au point ferm´e m, mais ce corps peut varier avec le point. Si k est un corps alg´ebriquement clos et A une k-alg`ebre de type fini, alors ces corps r´esiduels sont bien ´egaux<sup>2</sup>`a k et on est tr`es proche de la situation g´eom´etrique habituelle. Cependant, il faut garder dans l’esprit que l’anneau des sections globales de OX peut contenir des ´el´ements nilpotents non nuls, qui ne sont alors pas d´etermin´es par leurs valeurs aux points ferm´es.

Avec ce vocabulaire, une vari´et´e alg´ebrique est un sch´ema de type fini sur un corpskqui estr´eduit, c’est-`a-dire localement isomorphe au spectre d’unek-alg`ebre de type fini sans ´el´ements nilpotents non nuls.

Remarquons qu’`a tout sch´emaX on peut associer un sch´ema r´eduit Xred : il suffit de le faire pour un sch´ema affine Spec(A), o`u le sch´ema r´eduit associ´e est simplement le spectre de l’anneau quotient deApar l’id´eal des ´el´ements nilpotents.

Exemples6.11. 1) SoitAl’anneauk[ε]/(εⁿ). Son seul id´eal premier est l’id´eal maximal (ε). Le sch´ema affine Spec(A) a un seul point, qui est ferm´e. Cependant, l’anneau desfonctions r´eguli`eressurXest l’anneauA, qui contient certainement des ´el´ements nilpotents non nuls.

2) Un sous-sch´ema ferm´e d’un sch´ema X est un sch´ema Y qui est un sous-ensemble ferm´e de X tel que l’inclusionι : Y →X induise unesurjectionOX → ι∗OY. On peut aussi d´efinirY par le noyau de cette surjection, qui est un faisceau d’id´eaux deOX not´eIY qui s’ins`ere dans une suite exacte deOX-modules

0→IY →OX →ι_∗OY →0

(o`u on laisse souvent tomber leι<sub>∗</sub>). SiF est un faisceau deOX-modules, on appelle restriction deF `aY le faisceauF ⊗OY deOY-modules ; nous le noterons parfois F|Y. Comme le produit tensoriel est exact `a droite, on a une suite exacte

F⊗IY →F →F|Y →0

dans laquelle la fl`eche de gauche n’est pas n´ecessairement injective. Elle l’est ce-pendant lorsqueF est localement libre (cf.exemple 6.9).

1. On rappelle que l’anneauAf est d´efini comme l’ensemble desfractions _f^gp modulo la relation d’´equivalence_f^gp∼ ^h

f^q si et seulement si il existe un entier positifrtel quef^r(gf^q−hf^p) = 0.

2. C’est une cons´equence d’un th´eor`eme de Zariski (qui d’ailleurs entraˆıne facilement le Null-stellensatz) : sikest un corps alg´ebriquement clos etKunek-alg`ebre de type fini qui est un corps, on aK=k.

Par exemple, tout id´eal I d’un anneau A d´efinit le sous-sch´ema ferm´e V(I) de Spec(A), qui est isomorphe `a Spec(A/I) (en particulier, le point ´epais Spec k[ε]/(εⁿ)

consid´er´e ci-dessus est un sous-sch´ema ferm´e de la droite affine Spec(k[ε])). R´eciproquement, on peut montrer que tout sous-sch´ema ferm´e de Spec(A) est de ce type, mais ce n’est pas facile.

3) La plupart des concepts d´efinis pour les vari´et´es s’´etendent aux sch´emas (avec parfois des difficult´es non n´egligeables). SoitX un sch´ema. Un diviseur de Cartier effectif D sur X est une classe d’´equivalence (au mˆeme sens que dans la d´efinition 5.10) de familles (Ui, fi), o`u fi est un ´el´ement de l’anneau OX(Ui) qui n’est pas diviseur de 0, etfi/fj est inversible dansOX(Ui∩Uj). Chaquefid´efinit un sous-sch´ema de Ui; ces sous-sch´emas se recollent pour d´efinir un sous-sch´ema ferm´eY deX qui ne d´epend que de D (et qui est souvent encore not´eD). L’id´eal deY dansX est localement principal : il est engendr´e sur Ui parfi. En tant que OX-module, il est donc localement libre de rang 1 (cf.ex. 6.9). Sur chaque ouvertU, une section du fibr´e en droitesOU(−D) est une famille (cf.p. 54)si∈OX(U∩Ui)

dont l’image est l’id´eal IY et qui est injectif (de nouveau parce que fi n’est pas diviseur de 0). On a donc une suite exacte

(5) 0→OX(−D)→OX→OY →0.

6.2. Cohomologie des faisceaux SoientX un espace topologique et

(6) 0−→F⁰−→^f F −→^g F⁰⁰−→0

une suite exacte de faisceaux de groupes ab´eliens surX. La suite 0−→Γ(X,F⁰)−−−−→^Γ(f) Γ(X,F)−−−−→^Γ(g) Γ(X,F⁰⁰)

est encore exacte, mais Γ(g) n’est en g´en´eral pas surjective, comme on l’a vu dans les exemples ci-dessus.

Nous amettrons que l’on peut d´efinir, pour tout faisceauF de groupes ab´eliens surX et tout entier q≥0, des groupes H^q(X,F), avec H⁰(X,F) = Γ(X,F), et pour tout morphisme f : F → G de faisceaux de groupes ab´eliens sur X, des morphismes de groupes H^q(f) : H^q(X,F)→ H^q(X,G), avecH⁰(f) = Γ(f), de fa¸con que pour toute suite exacte (6) on ait une suite exacte longue

(7) 0−→H⁰(X,F⁰) ^H avec des propri´et´es fonctorielles ´evidentes.

6.12. Cohomologie de Cech. Plutˆot que d’expliquer la construction de ces groupes en g´en´eral, nous allons d´etailler une construction analogue, dite cohomo-logie de Cech.

6.2. COHOMOLOGIE DES FAISCEAUX 69

On se donne un recouvrementU deX par des ouverts (Ui)i∈I, o`u l’ensembleI est bien ordonn´e. On d´efinit l’ensembleC^q(U,F) desq-cochaˆınes associ´e comme

C^q(U,F) = Y Les groupes obtenus d´ependent h´elas du recouvrement U choisi. En prenant la limite inductive sur tous les recouvrements (cf.[BT], p. 112), on d´efinit des groupes Hˇ^q(X,F), dit de cohomologie de Cech.

Exemple6.14. Le groupe de Picard d’une vari´et´e alg´ebriqueXest isomorphe `a Hˇ<sup>1</sup>(X,OX<sup>∗</sup>).En effet, consid´erons un fibr´e en droites surX associ´e `a la donn´ee d’un

Un morphisme F → G de faisceaux de groupes ab´eliens sur X induit des morphismes C^q(U,F) → C^q(U,G) qui commutent avec les diff´erentielles, donc

Ces groupes ne sont lesbonsgroupes de cohomologie que sur certains es-paces topologiques, par exemple paracompacts s´epar´es, ce qui est bien ennuyeux car la topologie de Zariski n’est pas s´epar´ee ! Il existe cependant, pour tout recou-vrement ouvertU deX, des morphismesH^q(U,F)→H^q(X,F) qui passent `a la limite pour donner un morphisme

Hˇ^q(X,F)→H^q(X,F)

qui est bijectif pourq≤1. On a en particulier, pour une suite exacte (6), une suite exacte `a six termes en cohomologie de Cech.

Exemple 6.15. SoitX une vari´et´e alg´ebrique. Consid`erons la suite exacte de faisceaux

0−→OX^∗ −→KX^∗−→KX^∗/OX^∗ −→0.

Une partie de la suite exacte longue de cohomologie associ´ee s’interpr`ete de la fa¸con suivante :

H⁰(X,OX^∗) −→ H⁰(X,KX^∗) −→ H⁰(X,KX^∗/OX^∗) −→ H¹(X,OX^∗)

f 7−→ div(f) D 7−→ [OX(D)]

6.16. Comment calculer les groupes de cohomologie d’un faisceau ? Puis-que la construction de Cech ne donne pas les groupes de cohomologie en degr´e au moins 2, nous ne sommes pas plus avanc´es pour calculer ces groupes. Nous verrons par la suite que la cohomologie de Cech permet cependant le calcul de nombreux groupes de cohomologie, mˆeme sur un espace non s´epar´e. Cela provient du th´eor`eme suivant de Leray.

Th´eor`eme 6.17. Soient X un espace topologique, F un faisceau de groupes ab´eliens sur X et U = (Ui) un recouvrement ouvert de X tel que les groupes de cohomologie H^p(Ui₁∩ · · · ∩Ui_k,F) soient nuls pour tous i1, . . . , ik et tout p > 0.

Alors le morphisme

H^q(U,F)→H^q(X,F) est bijectif pour toutq.

Nous allons voir que l’hypoth`ese du th´eor`eme de Leray est v´erifi´ee lorsque les ouverts du recouvrementU sontaffineset que le faisceauF a la propri´et´e d’ˆetre coh´erent.

6.3. Faisceaux coh´erents

6.18. Qu’est-ce qu’un faisceau coh´erent ? SoitX une vari´et´e alg´ebrique. Un faisceau coh´erent F sur X est un faisceau de OX-modules qui est localement de pr´esentation finie, c’est-`a-dire que tout point de X a un voisinage U sur lequel il existe une suite exacte

OU^⊕m→OU^⊕n→F →0

de OU-modules. Le faisceau des sections holomorphes d’un fibr´e en droites est coh´erent, mais pas OX^∗ (qui n’est pas un faisceau de OX-modules), ni KX (qui est un faisceau deOX-modules, mais pas localement de pr´esentation finie).

6.19. Faisceaux coh´erents sur une vari´et´e affine. On se place ici sur une vari´et´e affineX d’alg`ebre de fonctionsA= Γ(X,OX). Soitf un ´el´ement deA; on rappelle que l’ouvert

X_f ={x∈X |f(x)6= 0}

6.3. FAISCEAUX COH ´ERENTS 71

est affine d’alg`ebreAf et que les ouverts de ce type forment une base de la topologie de Zariski deX.

SoitF un faisceau deOX-modules surX. Le groupe Γ(X,F) de ses sections globales est muni d’une structure deA-module.

Th´eor`eme 6.20. Pour tout faisceau coh´erent F sur une vari´et´e alg´ebrique affineX et tout fonction r´eguli`ere f sur X, on a³

Γ(X_f,F)'Γ(X,F)_f .

D´emonstration. Il s’agit de montrer que le morphisme deA-modules ϕf : Γ(X,F)f −→ Γ(Xf,F)

s

f^p 7−→ 1

f^ps

est bijectif. L’injectivit´e deϕf est ´equivalente `a la propri´et´e suivante :

– si s ∈ Γ(X,F) est nulle sur Xf, il existe un entier p≥ 0 tel que sf^p soit nulle surX;

et sa surjectivit´e `a :

– si s∈Γ(Xf,F), il existe un entier p≥0 tel que sf^p soit restriction d’une section deF surX.

Lemme 6.21. SoitF un faisceau de OX-modules. S’il existe une suite exacte OX^m

−→α OXⁿ

−→β F →0 , l’applicationϕf est surjective pour toutf.

D´emonstration. Nous supposerons par simplicit´eX irr´eductible.

Nous allons d’abord montrer queϕ_f est injective. Soitsune section de F sur X nulle surX_f. Par d´efinition de la surjectivit´e deβ, sur chaque ouvert affine d’un recouvrement fini deX, la sectionsest dans l’image deβ. Si on montre quesf^pest nul sur chaque ouvert de ce recouvrement, on en d´eduira quesf^p est nul. Il suffit

Nous allons d’abord montrer queϕ_f est injective. Soitsune section de F sur X nulle surX_f. Par d´efinition de la surjectivit´e deβ, sur chaque ouvert affine d’un recouvrement fini deX, la sectionsest dans l’image deβ. Si on montre quesf^pest nul sur chaque ouvert de ce recouvrement, on en d´eduira quesf^p est nul. Il suffit

Dans le document Introduction `a la g´eom´etrie alg´ebrique Olivier Debarre (Page 67-89)