G´EOM´ETRIE ALG´EBRIQUE ET ESPACES DE MODULES - FEUILLE D’EXERCICES 4

G´ EOM´ ETRIE ALG´ EBRIQUE ET ESPACES DE MODULES - FEUILLE D’EXERCICES 4

ANDREAS H ¨ ORING

1.) Degr´ e d’un sch´ ema projectif.

On travaille sur un corps k alg´ebriquement clos. Soit F un faisceau coh´erent sur l’espace projectif P ^N , nous notons P F (l) le polynˆ ome de Hilbert de F. Soit X le support de F et notons n la dimension de X (c’est-` a-dire le maximum des dimensions des composantes irr´eductibles de X ).

(a) Montrer que

P F (l) = a n

n! l ⁿ + termes d’ordre n − 1 avec a n ∈ N \ {0} (par convention 0! = 1).

Soit maintenant F = O X le faisceau de structure de X ⊂ P ^N un sous-sch´ema projectif. On d´efinit le degr´e de X

deg X := a n . (b) Montrer les ´enonc´es suivants.

(i) Si dim X = 0, alors deg X = h ⁰ (X, O X ).

(ii) Si dim X > 0 et H ⊂ P ^N est un hyperplan qui coupe toutes les composantes irr´eductibles de X proprement, alors deg X = deg(X ∩ H).

(iii) Si X ⊂ P ^N est une hypersurface d´efinie par un polynˆ ome homog`ene de degr´e d, alors deg X = d.

(iv) Si X 1 et X 2 sont deux sous-sch´emas projectifs de la mˆeme dimension et dim(X 1 ∩ X 2 ) < dim X i , alors deg X 1 + deg X 2 = deg(X 1 ∪ X 2 ).

Soit maintenant X ⊂ P ^N une vari´et´e projective de dimension n.

(c) Montrer que si deg X = 1, alors X est un sous-espace projectif P ⁿ ⊂ P ^N . Indication : r´ecurrence sur la dimension.

(d) Supposons que deg X > 1. Soit P ∈ X un point non-singulier et soit Y la clˆoture du lieu couvert par les droites P Q o` u Q ∈ X est un point diff´erent de P . Montrer que dim Y = n + 1 et que deg Y < deg X.

Indication : r´ecurrence sur la dimension.

(e) En d´eduire que si deg X = 2, il existe un sous-espace projectif P ⁿ⁺¹ ⊂ P ^N tel que X ⊂ P ⁿ⁺¹ est une quadrique, c’est-` a-dire d´efinie par un polynˆome homog`ene de degr´e deux.

Dans l’exercice suivant, on verra qu’il est beaucoup plus d´elicat de classifier les sous-sch´emas projectifs de degr´e deux.

Date: 4 f´ evrier 2008.

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2.) Autour du sch´ ema de Hilbert.

On travaille sur un corps k alg´ebriquement clos. Soit X ⊂ P ³ un sch´ema projectif, on notera P X (l) le polynˆ ome de Hilbert P O

(l). On rappelle que le sch´ema de Hilbert param´etrise les sous-sch´emas Z d’un sch´ema projectif X donn´e (ici X = P ³ ).

Il s’agit d’un cas particulier de sch´ema Quot, puisque ceci ´equivaut `a consid´erer les quotients O X → O Z . On notera Hilb P le sch´ema de Hilbert param´etrisant les sous-sch´emas projectifs de P ³ avec polynˆ ome de Hilbert P .

On utilisera librement les notations et r´esultats de l’exercice 1).

D´ efinition. Soit X un sch´ema irr´eductible de dimension n et X red sa r´eduction.

On dit que X est g´en´eriquement r´eduit si le noyau de la surjection O X → O X

est un faisceau coh´erent dont le support est de dimension strictement inf´erieur ` a n.

(a) Montrer que X est une droite projective si et seulement si P X (l) = l + 1. En d´eduire la structure du sch´ema de Hilbert Hilb l+1 .

Indication : montrer que X a exactement une composante irr´eductible de dimen- sion un, puis qu’elle est g´en´eriquement r´eduite. Utiliser l’additivit´e de la caract´e- ristique d’Euler pour exclure l’existence de composantes de dimension z´ero ou de point immerg´es.

D´ efinition. Un sous-sch´ema X ⊂ P ³ est une conique (plane) s’il existe un sous- espace lin´eaire P ² ⊂ P ³ tel que X est un sous-sch´ema de P ² d´efinit par un polynˆ ome homog`ene de degr´e deux.

(b) Montrer qu’une conique est soit lisse, soit l’union de deux droites projectives se coupant en un point, soit une droite double. Montrer que le polynˆome de Hilbert d’une conique est 2l+1. Montrer que les coniques forment une sous-vari´et´e projective de Hilb 2l+1 de dimension huit.

(c) Soit X = d 1 ∪ d 2 l’union de deux droites disjointes. Montrer que le polynˆome de Hilbert de X est 2l + 2. En d´eduire que Hilb 2l+2 contient une vari´et´e quasi- projective U de dimension huit.

Soit t ∈ k, pour t 6= 0 les droites

d 1 = {[X 0 : X 1 : X 2 : X 3 ] ∈ P ³ | X 0 = X 1 = 0}

et

d 2 (t) = {[X 0 : X 1 : X 2 : X 3 ] ∈ P ³ | X 2 = X 1 − tX 3 = 0}.

sont disjointes. Pour t 6= 0, on note I t l’id´eal de l’union d 1 ∪d 2 (t). Puisque le sch´ema de Hilbert est projectif, il existe une famille plate de sch´emas projectifs φ : X → A ¹ telle que pour t 6= 0, la fibre sch´ematique φ ⁻¹ (t) est d 1 ∪ d 2 (t).

(d) Montrer que pour t = 0, la fibre ensembliste est l’union de deux droites se coupant en (0 : 0 : 0 : 1). Soit I 0 ⊂ k[X 0 , X 1 , X 2 , X 3 ] l’id´eal homog`ene correspon- dant `a la fibre sch´ematique φ ⁻¹ (0). Montrer que φ ⁻¹ (0) est lisse en dehors du point (0 : 0 : 0 : 1), mais l’anneau k[X 0 , X 1 , X 2 , X 3 ]/I 0 a des ´el´ements nilpotents. Donner une interpr´etation g´eom´etrique.

Indication : commencer par calculer l’id´eal homog`ene de l’union d 1 ∪ d 2 (t).

(e) Montrer que les droites disjointes

d 1 = {[X 0 : X 1 : X 2 : X 3 ] ∈ P ³ | X 0 = X 1 = 0}

et

d 2 = {[X 0 : X 1 : X 2 : X 3 ] ∈ P ³ | X 2 = X 1 − X 3 = 0}.

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sont contenues dans une quadrique lisse Q ⊂ P ³ .

On peut donc voir l’union d 1 ∪ d 2 comme un diviseur de Cartier sur la surface projective lisse Q, notons |O Q (d 1 + d 2 )| son syst`eme lin´eaire.

(f) Montrer que le syst`eme lin´eaire |O Q (d 1 + d 2 )| contient un diviseur non-r´eduit dont le support est une droite projective. Montrer que vu comme sous-sch´ema de P ³ , ce diviseur n’est pas une conique plane.

Indication : une quadrique lisse de dimension deux est isomorphe `a P ¹ × P ¹ (plongement de Segre).

3.) Existence de r´ esolutions localement libres finies.

Le but de cet exercice est de montrer l’´enonc´e suivant : soit X une vari´et´e pro- jective lisse de dimension n d´efinie sur un corps alg´ebriquement clos k. Soit F un faisceau coh´erent sur X. Alors F admet une r´esolution par des faisceaux localement libres de longueur n, c’est-` a-dire il existe une suite exacte

0 → V n → V n−1 → . . . → V 0 → F → 0 o` u les V i sont des faisceaux coh´erents localement libres.

Pour d´emontrer ce th´eor`eme, on pourra suivre les ´etapes suivants.

Soit (A, m) un anneau no´etherien local et soit N un A-module. Soit M la cat´e- gorie des A-modules, le foncteur . ⊗ N : M → M est un foncteur covariant qui est exact ` a droite et nous notons Tor i (., N) les foncteurs d´eriv´es (cf. [Eis95, Ch. 6.2]

pour une introduction).

(a) Soit M un A-module libre de type fini. Montrer que M est libre si et seulement si

Tor 1 (M, A/m) = 0.

(b) Soit (A, m) un anneau no´etherien local r´egulier qui est le localis´e d’une k- alg`ebre de type fini. Alors il existe une r´esolution de longueur dim A de A/m par des A-modules libres. En d´eduire que pour tout A-module M , on a

Tor dim A+1 (M, A/m) = 0.

Indication : utiliser un syst`eme minimal de g´en´erateurs de m pour d´efinir une r´esolution par un complexe de Koszul.

On construit une r´esolution de F de fa¸con inductive. Puisque X est projective, il existe un faisceau coh´erent localement libre V 0 qui admet une surjection α 0 : V 0 → M de noyau F 1 . De mˆeme on d´efinit pour i ≥ 1

F i+1 := ker α i

o` u α i : V i → F i est surjective et V i un faisceau coh´erent localement libre.

(c) Utiliser la suite exacte longue des Tor pour montrer que F n est localement libre.

R´ ef´ erences

[Eis95] David Eisenbud. Commutative algebra, volume 150 of Graduate Texts in Mathematics.

Springer-Verlag, New York, 1995. With a view toward algebraic geometry.

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