L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2−2010-2011
D. Blotti`ere Math´ematiques
Feuille d’exercices n˚4 G´ eom´ etrie dans l’espace
Exercice 43 : SoientA,B,C,D quatre points de l’espace.
1. Justifier qu’il existe un unique pointM de l’espace tel que
(∗) −−→
M A+ 2−−→
M B+ 3−−→
DA−3−−→
DC =→− 0 . Indication : On pourra d´emontrer que la relation (∗) est ´equivalente `a −−→
AM = 2 3
−−→ AB−−→
AC et appliquer une proposition du cours.
2. D´emontrer que siM est l’unique point de l’espace v´erifiant (∗), alors les vecteurs−−→
M A,−−→
M B et −−→
M C sont coplanaires.
3. Les pointsA, B,Cet M sont-ils situ´es sur un mˆeme plan ?
Exercice 44 : SoitB une base de l’espace et soient les vecteurs−→u(5; 1; 0), −→v(3; 1;−4) et−→w(7; 2;−6).
1. Les vecteurs−→v et −→w sont-ils colin´eaires ?
2. D´emontrer que les vecteurs−→u,−→v et −→w sont coplanaires.
Exercice 45 : SoitRun rep`ere de l’espace et soient A(0; 1; 1),B(−2;−1;−1) ;C(−2; 2; 1) etD(−3; 1; 0).
1. Montrer que les pointsA,B et C ne sont pas align´es.
2. D´emontrer que les trois vecteurs−−→ AB,−→
AC et−−→
ADsont coplanaires.
3. Le pointD appartient-il au plan (ABC) ?
Exercice 46 : SoitRun rep`ere de l’espace et soientA(2; 1; 1),B(−1;−1; 0),C(3; 2; 2),D(0;−1; 2) etE(4; 2; 4).
1. Montrer que les pointsA, B etC ne sont pas align´es.
2. V´erifier que les vecteurs−−→ AB,−→
AC et −−→
DEsont coplanaires.
3. Que peut-on en d´eduire pour le plan (ABC) et la droite (DE) ?
Exercice 47 : SoitR= (O;−→ i ,−→
j ,−→
k) un rep`ere de l’espace, soit Ω(1;−1; 2) et soient−→u(−1; 0; 1),−→v(2; 2; 1),
−
→w(0; 1; 1).
1. D´emontrer queR0= (Ω;−→u ,−→v ,−→w) est un rep`ere de l’espace.
2. Soient −→
t le vecteur de coordonn´ees (−2; 1; 3) dans (−→ i ,−→
j ,−→
k). D´eterminer les coordonn´ees de−→ t dans la base (→−u ,−→v ,−→w).
3. SoitAle point de coordonn´ees (1;−3; 5) dansR. Calculer les coordonn´ees deAdans le rep`ereR0.
Exercice 48 : SoitRun rep`ere orthonorm´e du plan, soitD1la droite passant par A1(1;−2; 0) et dirig´ee par
−
→u1(−3; 2; 4) et soitD2 la droite passant parA2(−5; 2; 8) et dirig´ee par−u→2(2; 9;−3).
1. D´emontrer que les droitesD1et D2 sont s´ecantes.
2. Les droitesD1 etD2sont-elles perpendiculaires ?
3. Donner une repr´esentation param´etrique du planP contenant les droitesD1et D2.
Exercice 49 : SoitRun rep`ere orthonorm´e de l’espace. SoientA(1; 1;−1),B(0; 2; 4),C(3; 5;−2) etD(0; 1; 1).
1. D´emontrer que les pointsA,B et Cne sont pas align´es.
2. Donner une repr´esentation param´etrique du plan (ABC).
3. D´emontrer que les pointsA,B et Dne sont pas align´es.
4. Donner une ´equation cart´esienne du plan (ABD).
5. Montrer que l’intersection des deux plans (ABC) et (ABD) est une droite. Quelle est cette droite ? 6. Donner une repr´esentation param´etrique et une ´equation cart´esienne de la droite intersection de (ABC)
et (ABD).
Exercice 50 : SoitRun rep`ere orthonorm´e de l’espace. SoitA(1;−4; 5) et soient−→u(1; 2; 3) et−→v(3; 2; 1).
1. D´emontrer que les vecteurs−→u et−→v ne sont pas colin´eaires.
2. Donner une ´equation cart´esienne du plan passant parAet engendr´e par les vecteurs−→u et −→v.
Exercice 51 : SoitRun rep`ere de l’espace. D´emontrer que les plans qui ont pour repr´esentations param´etriques
x = 1 +t1−t2
y = 2t1
z = 1−t1+ 2t2
et
x = 2 + 2t2
y = 4 + 2t1+ 2t2
z = 1 +t1−3t2
sont confondus.
Exercice 52 : SoitRun rep`ere orthonorm´e de l’espace. Les droitesD1 etD2 d’´equations cart´esiennes respec- tives
x+ 2y−5z+ 4 = 0
2x−y+ 3 = 0 et
x+y−2z+ 1 = 0 x−3y+ 2 = 0 sont-elles s´ecantes, parall`eles ou non coplanaires ?
Exercice 53 : Soit R un rep`ere orthonorm´e de l’espace. Soient P1 et P2 les plans d’´equations respectives x+ 2y−z+ 1 = 0 et −x+y+z= 0.
1. ´Etudier la position relative des plansP1et P2.
2. SoitM(0; 0; 1). Calculer les distances deM `a chacun des plansP1 et P2.
Exercice 54 : SoitR= (O;−→ i ,−→
j ,−→
k) un rep`ere orthonorm´e de l’espace et soitPle plan d’´equation cart´esienne 2x+y−2z+ 1 = 0.
1. D´eterminer les coordonn´ees du projet´e orthogonal de OsurP. 2. Calculer la distance du pointO au planP.
F Exercice 55 : SoitRun rep`ere orthonorm´e de l’espace. SoitA(1; 1; 1) et soitP le plan d’´equation cart´esienne x−2y+ 3z+ 4 = 0. Soit−→ua,ble vecteur de coordonn´ees (1;a;b), o`u (a;b)∈R2. On noteDa,b la droite passant parAet dirig´ee par−→ua,b.
1. (a) D´eterminer les couples (a;b)∈R2pour lesquels la droiteDa,b rencontre le planP.
(b) Soit (a;b)∈R2 tel que la droiteDa,b rencontre le planP. D´eterminer le pointAa,b commun `aDa,b
et `aP (Aa,b est appel´eprojet´e deA sur le plan P parall`element `a la direction de−→ua,b).
2. (a) D´eterminer le couple (α;β)∈R2 pour lequel la droiteDα,β est perpendiculaire au planP.
(b) Que peut-on dire du pointAα,β?
(c) Calculer la longueur longueurAAα,β. V´erifier le r´esultat obtenu `a l’aide d’une formule du cours.
Exercice 56 : SoitR= (O;−→ i ,−→
j ,−→
k) un rep`ere orthonorm´e de l’espace.
1. Soient Ω(−1; 0; 2) et A(2; 4;−1). D´eterminer une ´equation de la sph`ereS1 de centre Ω et passant par le pointA.
2. D´eterminer les coordonn´ees du centre et le rayon de la sph`ere S2 d’´equation cart´esiennex2+y2+z2+ 2x−4y+ 8z−3 = 0.
