TS 8 DS 5 : Complexe, espace et g´eom´etrie dans l’espace 21 janvier 2017 Dur´ee 2 heures. Le bar`eme est donn´e `a titre indicatif.
Le manque de soin et de clart´e dans la r´edaction sera p´enalis´e.
Exercice 1 : Exercices classiques (15 minutes) (0 points) 1. ´Ecrire le nombre 3e−i3π4 sous forme alg´ebrique.
2. Mettre sous forme exponentielle le nombre suivant : 8ei4π3 ×12eiπ6 eiπ3 .
3. D´eterminer la repr´esentation param´etrique de la droite ∆ passant parA(0; 4; 8) et de vecteur directeur ~u(−1; 3; 5).
Exercice 2 : Une petite suite (15 minutes) (0 points) Soit (un) la suite d´efinie paru0=−1 et pour tout entiern un+1=−12u2n.
1. Montrer par r´ecurrence que pour tout entiern, 0>un+1>un. 2. Pourquoi peut-on en d´eduire que la suite (un) est convergente ? 3. D´eterminer la limite`de cette suite.
Exercice 3 : Vrai ou faux dans l’espace (30 minutes) (0 points) Dans l’espace rapport´e `a un rep`ere orthonorm´e
O,−→ ı ,−→
,−→ k
on donne les points : A(1 ; 2 ; 3),B(3 ; 0 ; 1),C(−1 ; 0 ; 1),D(2 ; 1 ;−1),E(−1 ;−2 ; 3)F(−2 ; −3 ; 4)etG(1; 0; 1).
Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant votre r´eponse. Une r´eponse non justifi´ee ne sera pas prise en compte.
Affirmation 1 :Les trois points A, B, et C sont align´es.
Affirmation 2 :Les pointsA,B, Cet Gsont coplanaires.
Affirmation 3 : La droite de repr´esentation param´etrique :
x= 29 + 6t y= 30 + 6t z=−5−8t
(t ∈ R) est la droite parall`ele `a la droite (DE) passant par A.
Affirmation 4 :La droite (EF) et le plan (ABC) sont s´ecants et leur point d’intersec- tion est le milieu du segment [BC].
Affirmation 5 :Les droites (AB) et (CD) sont s´ecantes.
Exercice 4 : Probl`eme nombre complexe (40 minutes) (0 points) Le plan complexe est muni d’un rep`ere orthonorm´e (O,~u;~v).
Pour tout entier natureln, on noteAn le point d’affixezn d´efini par : z0= 1 et zn+1 = 3
4 +
√3 4 i
! zn.
On d´efinit la suite (rn) par rn =|zn|pour tout entier natureln.
1) On posea= 3 4+
√3
4 i. Donner la forme exponentielle du nombre complexea.
2) a) Montrer que la suite (rn) est g´eom´etrique de raison
√3 2 .
b) En d´eduire l’expression dern en fonction den.
c) Que dire de la longueur OAn lorsque ntend vers +∞? 3) On consid`ere l’algorithme suivant :
Variables nentier naturel Rr´eel
P r´eel strictement positif Entr´ee Demander la valeur deP Traitement Rprend la valeur 1
nprend la valeur 0 Tant queR > P
nprend la valeur n+ 1 R prend la valeur
√3 2 R Fin tant que
Sortie Affichern
(a) Quelle est la valeur affich´ee par l’algorithme pour P= 0,5 ?
(b) PourP = 0,01 on obtientn= 33. Quel est le rˆole de cet algorithme ? 4) a) D´emontrer que le triangle OAnAn+1 est rectangle enAn+1.
b) On admet quezn =rneinπ6 .
D´eterminer les valeurs de n pour lesquellesAn est un point de l’axe des or- donn´ees.
c) Compl´eter la figure donn´ee en annexe, `a rendre avec la copie, en repr´esentant les pointsA6, A7, A8 etA9.
Les traits de construction seront apparents.
Exercice 5 : Prise d’initiative (20 minutes) (0 points) On consid`ere le cube ABCDEFGH repr´esent´e en annexe.
On d´efinit les points I et J respectivement par−→
HI = 3 4
−−→HG et−−→
JG = 1 4
−−→CG .
1. Sur le document r´eponse donn´e en annexe 2, `a rendre avec la copie, tracer, sans justifier, la section du cube par le plan (IJK) o`u K est un point du segment [BF].
2. Sur le document r´eponse donn´e en annexe 3, `a rendre avec la copie, tracer, sans justifier, la section du cube par le plan (IJL) o`u L est un point de la droite (BF).
3. Existe-t-il un point P de la droite (BF) tel que la section du cube par le plan (IJP) soit un triangle ´equilat´eral ? Justifier votre r´eponse.
