. 1. Donner la forme alg´ ebrique de z 3 .

Feuille d’exercices n 3 - NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOM ´ ETRIE

FORME ALG´ EBRIQUE ET TRIGONOM´ ETRIQUE Exercice 52. ( )

On s’int´ eresse aux complexes d´ efinis par : z ₁ 1 i, z ₂ ?

3 i et z ₃ ^z _z

. 1. Donner la forme alg´ ebrique de z ₃ .

2. Calculer le module et un argument de z 1 et de z 2 .

3. En d´ eduire le module et un argument de z ₃ puis la valeur de cos ₁₂ ^π . Exercice 53. ()

D´ eterminer la forme alg´ ebrique de : 1. z 1 p 1 2i q e ^iθ ,

2. z ₂ e ^2iθ 1 i ,

3. z 3 p ?

3 i q ²⁰¹⁵ , 4. z ₆ 1 i tan θ

1 i tan θ , θ P ^π ₂ ; ^π ₂

. Exercice 54. ( )

D´ eterminer la forme alg´ ebrique de z 5 p1 e ^iθ q ⁿ , n P N et θ P R.

Exercice 55. ( )

Pour z P Cz t i u , on pose Z ¹ ₁ ^iz _iz .

1. Pour quels complexes z le complexe Z est-il un r´ eel ?

2. Pour quels complexes z le complexe Z est-il un imaginaire pur ? 3. Pour quels complexes z a-t-on | Z | 1 ?

4. Interpr´ eter si possible g´ eom´ etriquement les ensembles si-dessus.

Exercice 56. ( )

Soient trois nombres complexes : z ₁ 3 i ?

3, z ₂ ? 2 i ?

6 et z ₃ ? 8 i ?

8.

On pose Z z ₁ ³ z ₃ ⁴ z ₂ ⁶ .

1. ´ Ecrire z ₁ , z ₂ et z ₃ sous forme trigonom´ etrique puis exponentielle.

2. En d´ eduire une forme exponentielle puis trigonom´ etrique de Z.

3. Calculer la forme alg´ ebrique de Z .

Exercice 57. ( )

Pour quelles valeurs de n, le complexe

p 1 i ? 3 q ⁵ p 1 i q ³

n

est-il un r´ eel positif ? Exercice 58. ( )

Trouver les modules et arguments de 1. z ₁ 1 i tan θ

2. z 2 1 e ^iθ o` u θ P s π; π r

3. z ₃ 1 cos θ i sin θ 1 cos θ i sin θ 4. z 4 p 1 i q ⁿ

Exercice 59. ()

Montrer que pour α P R , arctan(α) est un argument de 1 iα.

Exercice 60. Egalit´ ^´ e du parall´ elogramme ( )

Montrer que : @pa, bq P C ² , |a| ² |b| ^{2 1} ₂ p|a b| ² |a b| ² q.

TRIGONOM´ ETRIE Exercice 61. ( )

Lin´ eariser sin ² pθq cos ² pθq et sin ⁴ pθq.

Exercice 62. ( )

Exprimer cos p 3θ q et sin p 3θ q en fonction de puissances de cos p x q et de sin p x q . Exercice 63. ()

Pour pa, bq P R ² , calculer

° n k 0

sinpa bkq.

EQUATIONS ALG´ ´ EBRIQUES Exercice 64. ( )

D´ eterminer les racines carr´ ees de 1 6i et 24i 7.

Exercice 65. ( )

1. D´ eterminer les racines cubiques de 1 i.

2. D´ eterminer les racines n-i` emes de 1.

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Feuille d’exercices n 3 - NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOM ´ ETRIE

Exercice 66. ()

1. Calculer les racines n-i` emes de i et de 1 i.

2. R´ esoudre dans C l’´ equation z ² z 1 i 0.

3. En d´ eduire les solutions dans C de l’´ equation z ²ⁿ z ⁿ 1 i 0.

Exercice 67. (de ` a )

R´ esoudre les ´ equations suivantes d’inconnue z P C .

a) z ² z 1 0 d) z ² 2 cos θz 1 0 o` u θ P R b) z ² p 3 2i q z 3i 0 e) iz ² p 1 5i q z 6i 2 0 c) p1 iqz ² p5 iqz 10 0 f) z ⁶ p2i 1qz ³ 1 i 0 Exercice 68. ( )

R´ esoudre l’´ equation suivante d’inconnue z P C : p z 1 q ⁿ p z 1 q ⁿ 0.

Exercice 69. ( ) R´ esoudre

z 2i z 2i

₃ z 2i z 2i

₂ z 2i z 2i

1 0.

Exercice 70. ()

R´ esoudre l’´ equation e ^z j d’inconnue z.

Exercice 71. ( )

Dans cet exercice, on note w e

.

1. Calculer w ⁵ , a w w ⁴ et b w ² w ³ sous forme alg´ ebrique.

2. De quelle ´ equation les complexes a et b sont-ils solutions ? 3. R´ esoudre cette ´ equation.

4. En d´ eduire cos 2π

5

puis sin 2π

5

. Exercice 72. ( )

1. D´ eterminer les racines carr´ ees complexes de 5 12i.

2. R´ esoudre l’´ equation z ³ p 1 2i q z ² 3 p 1 i q z 10 p 1 i q 0 en commen¸ cant par observer l’existence d’une solution imaginaire pure.

3. Quelles particularit´ es a le triangle dont les sommets ont pour affixe les solutions de l’´ equation pr´ ec´ edente ?

Exercice 73. ()

R´ esoudre dans C le syst` eme

"

x y 1 i

xy 2 i .

TRANSFORMATIONS DU PLAN COMPLEXE Exercice 74. ( )

D´ eterminer les nombres z P C tels que : 1. 1, z et z ² forment un triangle rectangle.

2. z, 1

z et i sont align´ es.

3. z, z ² et z ⁴ sont align´ es.

Exercice 75. ( )

D´ eterminer l’ensemble des points M p z q tels que : 1. | z i | | z 1 |

2. z, 1

z et 1 z aient le mˆ eme module.

3. z 1 z 1 P R 4. z z ¯ z¯ z Exercice 76. ( )

D´ eterminer l’´ ecriture complexe de chacune des transformations suivantes : 1. La translation de vecteur d’affixe 2 i.

2. L’homoth´ etie de centre le point d’affixe 1 2i et de rapport 3.

3. La rotation r d’angle θ ^π ₆ et de centre le point d’affixe 1.

4. La sym´ etrie de centre i.

Exercice 77. ( )

On consid` ere la transformation du plan complexe d´ efinie par z ¹ 2iz 5.

1. Montrer qu’elle n’admet qu’un unique point fixe M ₀ d’affixe z ₀ .

2. ´ Ecrire la transformation dans le rep` ere d’origine M ₀ , puis la reconnaˆıtre.

Exercice 78. ( )

Soient A, B et C trois points du plan d’affixe respectifs z A , z B et z C . Montrer que le triangle ABC est ´ equilat´ eral si, et seulement si :

z _A jz _B j ² z _C 0 ou z _A j ² z _B jz _C 0.

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