(3) Soit u une suite d´efinie par un+1 =un+ 3 et u0 = 5, utiliser la formule pr´ec´edente pour calculer : u0 +u1

1`ere S 12 DST 3 25 novembre 2013 Dur´ee 2 heures. Le bar`eme est donn´e `a titre indicatif.

Le manque de soin et de clart´e dans la r´edaction sera p´enalis´e.

Exercice 1 : (4 points)

Donner le sens de variations des fonctions suivantes sur le plus grand intervalle de Rpossible : (1) f₁ :x7→ |x|

(2) f₂ :x7→ ¹_x + 2

(3) f₃ :x7→ _−x2+2x+3¹

(4) f₄ :x7→ ^√_−x2²

+2x+3 + 3

Exercice 2 : (4 points)

(1) Exprimer en fonction de n la somme suivante :

1 + 2 + 3 +· · ·+n.

(2) D´emontrer cette formule.

(3) Soit u une suite d´efinie par u_n+1 =u_n+ 3 et u₀ = 5, utiliser la formule pr´ec´edente pour calculer :

u₀ +u₁+· · ·+u₂₅.

Exercice 3 : (4 points)

(1) Pour chacune des suites suivantes pr´eciser si elles sont arithm´etiques, g´eom´etriques ou autres :

a. un = 4 + 9n b. v_n= (n+ 1)²−n²

c. wn = 2ⁿ+ 3 d. x_n= 5×₃2n+1²ⁿ

(2) Les suites u etv sont arithm´etiques. Montrer que la suite wd´efinie par w_n =u_n−2v_n est arithm´etique.

(3) Les suites u et v sont g´eom´etriques. On suppose de plus que v₀ 6= 0 et que la raison de v est diff´erente de 0 Montrer que la suite wd´efinie par w_n= ^2u_vⁿ

n est g´eom´etrique.

1`ere S 12 DST 3, Page 2 sur 2 2013-2014

Exercice 4 : (8 points)

Trois amis d´ecident de cr´eer un club s´electif. Une r`egle pr´ecise est adopt´ee pour adh´erer `a ce club. Chaque membre recrut´e `a l’ann´eendoit parrainer `a l’ann´een+1 deux nouvelles personnes qui int´egreront le club et trois personnes seront accept´ees sur dossier sans ˆetre parrain´ees.

Une personne qui a adh´er´e au club est membre pour toujours (elle ne sera jamais effac´ee des listes).

Le but de cet exercice est de calculer, en utilisant plusieurs m´ethodes, le nombre de personnes inscrites dans ce club la 16-`eme ann´ee.

Partie A : Mod´elisation de la suite

On appelleunle nombre de nouvelles personnes inscrites dans ce club lan+ 1-`eme ann´ee. Pour la premi`ere ann´ee, on a u₀ = 3.

(1) D´eterminer le nombre de personnes recrut´ees la seconde ann´ee, la troisi`eme ann´ee.

(2) En d´eduire le nombre de personnes pr´esentes au club la seconde ann´ee, la troisi`eme ann´ee.

(3) Montrer que un+1 = 2un+ 3.

(4) En utilisant la calculatrice, donner le nombre de personnes recrut´ees la 16`eme ann´ee.

Partie B : Utilisation d’un algorithme Pour r´epondre `a ce probl`eme, on propose l’algorithme suivant :

V a r i a b l e s :

u , i , S , N E n t r e e :

S a i s i r un nombre N s u p e r i e u r a 1 I n i t i a l i s a t i o n :

Mettre 3 dans u Mettre u dans S T r a i t e m e n t :

Pour i a l l a n t de 1 a N f a i r e

u prend l a v a l e u r 2 ∗ u +3 S prend l a v a l e u r S+u

A f f i c h e r S Fin pour

(1) Pour la valeurN = 4 saisie, recopier et compl´eter autant que n´ecessaire le tableau suivant.

Valeur de i 0 1 . . . . Valeur de u 3 . . . . Valeur de S 3 . . . . (2) En d´eduire l’affichage obtenu quand la valeur deN saisie est 4.

(3) Dans le contexte de cet exercice, expliquer comment interpr´eter les nombres affich´es par cet algorithme quand on saisit un nombre N sup´erieur `a 1.

(4) Quelle valeur de N doit on saisir pour r´epondre `a notre probl`eme.

(5) Modifier l’algorithme pour n’afficher que la derni`ere valeur deS.

Partie C : En utilisant la formule g´en´erale de u Soit v d´efinie pour tout n par vn=un+ 3.

(1) Montrer que v est une suite g´eom´etrique.

(2) En d´eduire la formule g´en´erale dev puis que u_n= 3×2ⁿ⁺¹−3.

(3) a. Calculer

1 + 2 + 2²+· · ·+ 2¹⁵. b. En d´eduire la valeur de :

3×2¹+ 3×2²+· · ·+ 3×2¹⁶; c. puis la r´eponse au probl`eme pos´e.