Quentin De Muynck TleS3 Spé Maths 07/03/2019
Devoir Maison 8 Un+1 =AUn+B : par sommation
On considère les matrices A =
1 3
2 3 1 2
1 2
et B = 4
3
. On dénit la suite (Un) de matrices par U0 = 5
3
et,∀n∈N, Un+1=AUn+B.
1. Peut-on trouver une matrice colonneX∈M2,1(R)telle que AX+B =X?
AX+B =X B =AX−X B = (A−I2)X
⇒(A−I2)−1B =X (si la matrice admet une inverse) Calculons A−I2, puis det(A−I2) :
A−I2 =
1 3
2 3 1 2
1 2
− 1 0
0 1
=
−2 3
2 3 1 2 −1
2
det(A−I2) =
−2 3
2 3 1 2 −1
2
=−2 3 × −1
2 −2 3 ×1
2 = 0
det(A−I2) = 0⇒ ¬∃X∈M2,1(R)\ AX+B=X.
2. Démontrer que pour toutnde N,
Un=AnU0+
n−1
X
k=0
Ak
! B
Soit P(n) : Un=AnU0+
Pn−1 k=0Ak
B.
• n= 0 : A0U0+
−1
X
k=0
Ak
!
B=I2U0+ 02B=U0 P(0) est donc vraie.
Soit n∈N, xé, tel queP(n) soit vraie. Montrons queP(n+ 1)est aussi vraie :
Un=AnU0+
n−1
X
k=0
Ak
!
B (par hypothèse de récurrence)
⇔AUn=A×AnU0+A
n−1
X
k=0
Ak
! B
⇔AUn=An+1U0+
n−1
X
k=0
Ak+1
! B
⇔AUn+B =An+1U0+
n
X
k=1
Ak
!
B+B (par réindexation de la somme)
⇔Un+1 =An+1U0+
n
X
k=0
Ak
!
B carB =I2×B =A0×B C'est exactement P(n+ 1).
P(0) est vraie, P(n) est héréditaire, d'après le principe de récurrence, P(n) est vraie pour tout entier natureln.
1
Quentin De Muynck TleS3 Spé Maths 07/03/2019
3. On a obtenu, par diagonalisation deA :
An= 1 7
3 + 4
−1 6
n
4−4
−1 6
n
3−3
−1 6
n
4 + 3
−1 6
n
Étudier la limite de Anquand ntend vers l'inni.
Comme
−1 6
<1, lim
n→+∞
−1 6
n
= 0, on obtient facilement :
n→+∞lim An= 3 4
3 4
4. (a) Exprimer Un en fonction den.
On note (Ln) ∈ M2,2(R)N la suite de matrices suivante : ∀n ∈ N, Ln =
n−1
X
k=0
Ak. On exprime d'abord (Ln) en fonction den :
l1,1 =
n−1
X
k=0
3 + 4
−1 6
k
=
n−1
X
k=0
3 + 4
n−1
X
k=0
−1 6
k
= 3n+ 4
1−
−1 6
n
1−
−1 6
= 3n+ 4
1−(−1 6)n 7 6
=
3n+ 4 6 1−(−16)n 7
!
= 3n+24 1− −16n 7 De manière analogue, on obtient :
l2,1 =
n−1
X
k=0
3−3
−1 6
k
= 3n−18 1−(−16)n 7
l1,2 =
n−1
X
k=0
4−4
−1 6
k
= 4n−24 1−(−16)n 7
l2,2 =
n−1
X
k=0
4 + 3
−1 6
k
= 4n+18 1− −16n 7
Ainsi, on obtient : Ln= 1 7
3n+24 1− −16n
7 4n−24 1−(−16)n 7 3n−18 1−(−16)n
7 4n+ 18 1− −16n 7
Posons maintenant la suite de matrices(On)∈(M2,1(R))Ntelle que∀n∈N, On= (Pn−1
k=0Ak)B =LnB.
Exprimons (On) en fonction denet déterminons en sa limite : On=LnB
= 1 7
3n+24 1− −16n
7 4n−24 1−(−16)n 7 3n− 18 1−(−16)n
7 4n+18 1− −16n 7
× 4
3
= 1 7
3n+24 1− −16n 7
!
×4 + 4n−24 1−(−16)n 7
!
×3
3n−18 1−(−16)n 7
!
×4 + 4n+18 1− −16n 7
!
×3
= 1 7
24n+ 24 1− −16n 7 24n−18 1−(−16)n
7
2
Quentin De Muynck TleS3 Spé Maths 07/03/2019
n→+∞lim 24n= +∞ donc la suite (On) n'est pas convergente, elle est divergente de première espèce.
Exprimons maintenant(Un) en fonction den :
Un=AnU0+
n−1
X
k=0
Ak
! B
=AnU0+LnB
=AnU0+On
= 1 7
3 + 4
−1 6
n
4−4
−1 6
n
3−3
−1 6
n
4 + 3
−1 6
n
× 5
3
+1 7
24n+ 24 1− −16n 7 24n−18 1−(−16)n
7
= 1 7
3 + 4
−1 6
n
×5 +
4−4
−1 6
n
×3
3−3
−1 6
n
×5 +
4 + 3
−1 6
n
×3
+
24n+24 1− −16n 7 24n−18 1−(−16)n
7
= 1 7
27 + 8
−1 6
n
+ 24n+24−24 −16n
7 27−6
−1 6
n
+ 24n−18−18(−16)n 7
= 1 7
24n+213 7 +32
7
−1 6
n
24n+171 7 −24
7
−1 6
n
(b) Étudier la convergence de la suite(Un).
Une suite de matrices est dite convergente si l'ensemble de ces coecients convergent quand n tend vers l'inni.
Ici, la suite (On) n'est pas convergente (cf. 4.(a)). Ainsi les deux coecients de la suite (Un) divergent quand n tend vers l'inni (divergence de première espèce). La suite de matrices (Un) n'est donc pas convergente (ce qui explique qu'il n'existe pas d'état stable, cf. question 1.).
Avis personnel : la récurrence aurait dû être conduite sur N* et non pas sur N car la limite inférieure de sommation est supérieure à la limite supérieure. On considère néanmoins qu'il y a −1 terme à sommer donc que la somme est égale à zéro.
3
