Suites : récurrence, limites
I. Rappels sur les suites
(A) Mode de génération d’une suite Définition 1
Une suite numérique u ou (u
n)
n∈Nest une fonction définie sur N et à valeurs dans R.
u : N → R n 7→ u(n) Le nombre u(n) est alors noté u
n.
Remarques
On peut définir une suite (un) par l’une des façons suivantes :
VDéfinition explicite: On donne l’expression deunen fonction denpour toutn.
Par exemple,un=3n+5 pour toutn∈N.
On peut alors calculer chaque terme directement. Par exemple,u100=3×100+5=305.
VDéfinition par récurrence: On donne le 1erterme et une relation de récurrence entre un terme et le suivant.
Par exemple,u0=2 et pour toutn>0,un+1=u2n+1.
Le calcul des termes se fait pas à pas :u1=22+1=5 ;u2=52+1=26 . . .
On peut aussi utiliser une calculatrice, un tableur ou un logiciel de programmation.
(B) Représentations graphiques
Représentons graphiquement la suite (un) définie parun=p
npour toutn≥0.
Sur la droite numérique: On place les réelsunpour les premières valeurs den.
Dans le plan: On place les points de coordonnées (n;un) pour les premières valeurs den.
(C) Suites arithmétiques et géométriques Suites arithmétiques
âUne suite (un) est unesuite arithmétique de raisonrsi pour toutndeN,un+1=un+r.
âUne suite arithmétique de raisonrestcroissante sir>0,décroissante sir<0etconstante sir=0.
âPournetpentiers naturels,un=up+(n−p)r. En particulier :un=u0+nr.
âLes points de coordonnées (n;un) dans un repère du plan sont alignés surune droite de coefficient direc- teurr.
Suites géométriques
âUne suite (un) est unesuite géométrique de raisonqsi pour toutndeN,un+1=qun.
âLa suite (qn) estcroissante siq>1,décroissante si0<q<1. Ellen’est pas monotone siq<0.
âPournetpentiers naturels,un=up×qn−p. En particulier :un=u0×qn. Calculs de sommes
âPour toutndeN∗,1+2+ · · · +n=n(n+1)
2 .
âPour toutndeN∗et pour toutq6=1,1+q+q2+ · · · +qn=1−qn+1 1−q .
II. Raisonnement par récurrence
Cette démonstration s’applique lorsque l’on cherche à démontrer qu’une propriétéPndépendant d’un entier natureln est vraie pour tout entier naturelnà partir d’un certain rangn0.
Exercices no1 p 30
On procède en trois étapes :
Etape 1:INITIALISATION
On montre que la propriété est vraie au rang initial, c’est-à-dire quePn0est vraie.
Etape 2:HEREDITE
On suppose que la propriétéPnest vraie pour un rangn≥n0quelconque fixé (hypothèse de récurrence) et on montre que, sous cette hypothèse, la propriétéPn+1est vraie. C’est-à-direPn=⇒Pn+1.
Etape 3:CONCLUSION
La propriétéPnétant vraie au rang initialn0et étant héréditaire, alorsPnest vraie pour tout entier natureln≥n0.
Exemples
VDémontrer que la suite (un) définie paru0=2 et pour toutndeN,un+1=3un−2 peut s’exprimer sous la forme un=3n+1.
VDémontrer que, pour tout entiern≥4, on a 2n≥4n.
Exercices no2 - 4 - 6 - 7 - 12 - 14 - 18 - 21 p 30 - 31 Entraînement no3 - 5 - 8 - 9 - 10 - 11 - 13 - 17 - 19 - 20 - 22 p 30 à 32
Approfondissement no28 - 29 - 30 p 32
III. Sens de variation d’une suite, encadrement (A) Sens de variation d’une suite
Définition 2
Une suite u ou (u
n)
n∈Nest croissante si pour tout n de N , u
n≤ u
n+1. Une suite u ou (u
n)
n∈Nest décroissante si pour tout n de N, u
n≥ u
n+1. Remarque
Il peut arriver que la monotonie de la suite commence à partir d’un certain rang.
Méthodes
â
Suites définies par une relation explicite : u
n= f (n)
*Siun=f(n) oùf est une fonction définie sur [0;+∞[, on peut étudier le sens de variation de f.
Sif est croissante sur [0;+∞[, alors la suite (un) est croissante car pour toutn≥0, on an+1>n, doncf(n+1)≥f(n), c’est-à-direun+1≥un.
De même, sif est décroissante sur [0;+∞[, alors la suite (un) est décroissante.
*On peut étudier le signe deun+1−un:
Siun+1−un≤0 pour toutn, c’est-à-direun+1≤un, alors la suite (un) est décroissante.
Siun+1−un≥0 pour toutn, c’est-à-direun+1≥un, alors la suite (un) est croissante.
un+1
(B) Suite majorée, minorée, bornée Définitions 3
Une suite (u
n) est majorée par un nombre réel M , si pour tout n de N, u
n≤ M . M est un majorant.
Une suite (u
n) est minorée par un nombre réel m, si pour tout n de N, u
n≥ m. m est un minorant.
Une suite (u
n) est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
Exemples
VUne suite à termes tous positifs est minorée par 0.
VUne suite croissante est minorée par son premier terme :u0≤u1≤u2≤ · · · ≤un. VUne suite décroissante est majorée par son premier terme :un≤ · · · ≤u2≤u1≤u0. Remarques
VDans ces définitions,Metmsont des nombres réels indépendants den.
VSi une suite est majorée parM, elle a une infinité de majorants, en particulier tous les nombres supérieurs àMle sont aussi.
Activité no3 p 99 Exercices no13 - 15 - 16 - 17 p 116 - 117 Entraînement no14 - 18 p 116 - 117
IV. Limite de suites
Activité no3 p 99
(A) Limite infinie d’une suite (u
n) Définition 4
Dire qu’une suite (u
n) a pour limite +∞ quand n tend vers +∞ signifie que tout intervalle ouvert de la forme ]A; +∞[ contient tous les termes de la suite (u
n) à partir d’un certain rang. On note
n→+∞
lim u
n= +∞ .
Remarques
VOn dit que la suite (un) diverge vers+∞.
VDire qu’une suite (un) apour limite−∞quandn tend vers+∞signifie que tout intervalle ouvert de la forme ]− ∞;A[ contient tous les termes de la suite (un) à partir d’un certain rang. On note lim
n→+∞un= −∞.
Propriété 1 Les suites ( p
n ), (n), (n
2), . . ., (n
p) où p ∈ N
∗ont pour limite +∞.
Propriété 2
Les suites (q
n) où
q>1 ont pour limite
+∞.Démonstration ROC
Soitq>1. On poseq=1+aoùa>0.
4Préliminaires: Démontrons par récurrence que pour toutn≥0, (1+a)n≥1+na.
Initialisation : Pourn=0, (1+a)0=1 et 1+0×a=1. La propriété est donc vérifiée pourn=0.
Hérédité : Supposons la propriété vraie au rangn, c’est-à-dire (1+a)n≥1+na.
Comparons alors (1+a)n+1et 1+(n+1)a. On a (1+a)n+1=(1+a)(1+a)n. Comme (1+a)n≥1+na, on obtient (1+a)n+1≥(1+a)(1+na).
Or (1+a)(1+na)=1+a+na+na2=1+(n+1)a+na2. Commen≥0 eta2>0, alors 1+(n+1)a+na2≥1+(n+1)a.
Donc (1+a)n+1≥1+(n+1)a. La propriété est donc vraie au rangn+1. Elle est héréditaire.
Conclusion : Pour toutn≥0, (1+a)n≥1+na.
4SoitAun réel. Dès quen≥A−1
a , on aura 1+na≥Aet donc (1+a)n≥A.
La suite ((1+a)n), c’est-à-dire la suite (qn) a donc pour limite+∞.
Exercices no19 - 20 - 21 p 117
(B) Limite finie d’une suite (u
n) Définition 5
Dire qu’une suite (u
n) a pour limite le réel
Lquand
ntend vers
+∞signifie que tout intervalle ouvert contenant
Lcontient tous les termes
unà partir d’un certain rang. On dit que la suite converge vers
L.
Remarques
VTout intervalle ouvert contenantLcontient un intervalle ouvert centré enLde la forme ]L−²;L+²[ où
²>0. On peut donc se contenter de chercher si tout intervalle ouvert centré enLcontient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.
VQuandntend vers+∞, «untend versL»équivaut à «un−Ltend vers 0 ».
VSi (un) converge versL, les suites (un+1), (u2n), (u2n+1)convergent aussi versL. VUne suite convergente est bornée.
Propriété 3 : Unicité de la limite
Si une suite (u
n) a une limite finie
Lquand
ntend vers
+∞, cette limite est unique. On note limn→+∞un=L
.
Démonstration
Supposons que (un) admet deux limites finiesLetL0.i
L−1;L+L0 2
h
contient tous les termesunà partir d’un certain rangn0. iL+L0
2 ;L0+1h
contient tous les termesunà partir d’un certain rangn1.
Pournplus grand quen0etn1,unappartiendrait à la fois à deux intervalles qui sont disjoints. C’est impossible donc (un) ne peut admettre deux limites finies distinctes.
Propriété 4
(D) Théorèmes d’opérations
Dans cette partie, L et L
0désignent deux nombres réels.
Somme
n→+∞
lim u
nL L +∞ −∞ +∞
n→+∞
lim v
nL
0+∞ (resp −∞) +∞ −∞ −∞
n→+∞
lim u
n+ v
nL + L
0+∞ (resp −∞) +∞ −∞ FI : On ne peut pas conclure Produit
n
lim
→+∞u
nL L > 0 ou +∞ L < 0 ou −∞ 0
n→+∞
lim v
nL
0+∞ (resp −∞) +∞ (resp −∞) +∞ ou −∞
n→+∞
lim u
n× v
nL × L
0+∞ (resp −∞) −∞ (resp +∞) FI : On ne peut pas conclure Inverse
n→+∞
lim u
nL 6= 0
0 avecun>0 à partir d’un certain rang 0 avecun<0 à partir d’un certain rang+∞ ou −∞
n→+∞
lim 1 u
n1
L +∞ −∞ 0
Quotient
Pour déterminer la limite d’un quotient, on l’écrit comme un produit u
nv
n= u
n× 1 v
nn→+∞
lim u
nL L ∞ ±∞
n→+∞
lim v
nL
06= 0 +∞ (resp −∞ ) L
06= 0 ±∞
n→+∞
lim u
nv
nL
L
00 ∞
FI : On ne peut pas concluren→+∞
lim u
nL > 0 ou +∞ L > 0 ou +∞ L < 0 ou −∞ L < 0 ou −∞ 0
n→+∞
lim v
n0
+0
−0
+0
−0
n→+∞
lim u
nv
n+∞ -∞ -∞ +∞
FI : On ne peut pas conclureRemarques
On retiendra donc que les formes suivantes (A NE SURTOUT PAS ECRIRE) sont indéterminées et deman- deront des calculs supplémentaires pour lever l’indétermination.
«+∞ − ∞» « 0× ∞» «∞
∞» «0 0»
Exercices no35 - 37 - 40 - 41 - 42 - 43 p 118 - 119 Entraînement no36 - 38 - 39 - 44 - 45 p 118 - 119
(E) Théorème de comparaison pour les limites infinies Théorème 1
Soient (u
n) et (v
n) deux suites. Si pour tout entier naturel n supérieur à un entier n
0 âu
n≤ v
net lim
n→+∞
= u
n= +∞ alors lim
n→+∞
= v
n= +∞ .
âu
n≤ v
net lim
n→+∞
= v
n= −∞ alors lim
n→+∞
= u
n= −∞ .
Démonstration ROC
âCommeun≤vnà partir d’un certain rang, il existe un entiern0tel que pour toutn≥n0,un≤vn. SoitAun réel. Comme lim
n→+∞=un= +∞, il existe un entiern1tel quen≥n1,un>A.
Pour toutnplus grand quen0etn1, on a à la foisA<unetun≤vn, doncA<un≤vnet par conséquentA<vn. Ce qui prouve que la suite (vn) a pour limite+∞quand n tends vers+∞.
âOn prouve de même la deuxième partie du théorème.
(F) Théorème de comparaison pour les limites finies Propriété 5
Si (u
n) a pour limite finie L et si (v
n) a une limite finie L
0et si u
n≤ v
nà partir d’un certain rang, alors L < L
0.
Théorème 2 « des gendarmes »(admis) Si les suites (u
n), (v
n) et (w
n) sont telles que :
â
u
n≤ v
n≤ w
nà partir d’un certain rang
â(u
n) et (w
n) ont la même limite finie L Alors la suite (v
n) a pour limite L .
Exercices no55 - 58 - 60 p 120 - 121 Entraînement no56 - 57 - 61 p 121
(G) Limite des suites monotones Théorème 3
â
Si une suite (u
n) est croissante et admet pour limite
Lalors
pour tout entier natureln,un≤L.
âSi une suite (u
n) est décroissante et admet pour limite
Lalors
pour tout entier natureln,un≥L.
Démonstration ROC
âSoit (un) une suite croissante de limiteL. On raisonne par l’absurde en supposant qu’il existe un termeup>L. Alors comme la suite est croissante, on a pour toutn>p,un≥up>L.
L’intervalle ]L−1;up[ contientLmais ne peut contenir des termesunque pourn<p, donc il ne contiendra pas tous les termes à partir du rangp. Ceci contredit le fait que la suite ait pour limiteL. Donc pour toutn,un≤L.
âOn montre de même la deuxième partie.
Théorème 4 (admis)
â
Toute suite croissante majorée est convergente.
â
Toute suite décroissante minorée est convergente.
Théorème 5
â
Une suite croissante non majorée a pour limite +∞.
â
Une suite décroissante non minorée a pour limite −∞ .
Démonstration
âSoit (un) une suite croissante non majorée. SoitAun réel.
La suite n’est pas majorée parAdonc il existe un entiern0tel queun0>A.
La suite (un) étant croissante, pour toutn≥n0, on aun≥un0doncun>A.
Tous les termes de la suite appartiennent à ]A;+∞[ à partir du rangn0donc lim
n→+∞un= +∞.
âLa démonstration dans le cas où la suite est décroissante est analogue.
Exercices no64 - 66 - 67 - 69 p 121 - 1221 Entraînement no68 - 70 p 121 - 122
Exercice no49 p 119 Entraînement no50 p 119
Exercice no114 p 128