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Une suite numérique u ou (u

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Suites : récurrence, limites

I. Rappels sur les suites

(A) Mode de génération d’une suite Définition 1

Une suite numérique u ou (u

n

)

n∈N

est une fonction définie sur N et à valeurs dans R.

u : N → R n 7→ u(n) Le nombre u(n) est alors noté u

n

.

Remarques

On peut définir une suite (un) par l’une des façons suivantes :

VDéfinition explicite: On donne l’expression deunen fonction denpour toutn.

Par exemple,un=3n+5 pour toutn∈N.

On peut alors calculer chaque terme directement. Par exemple,u100=3×100+5=305.

VDéfinition par récurrence: On donne le 1erterme et une relation de récurrence entre un terme et le suivant.

Par exemple,u0=2 et pour toutn>0,un+1=u2n+1.

Le calcul des termes se fait pas à pas :u1=22+1=5 ;u2=52+1=26 . . .

On peut aussi utiliser une calculatrice, un tableur ou un logiciel de programmation.

(B) Représentations graphiques

Représentons graphiquement la suite (un) définie parun=p

npour toutn≥0.

Sur la droite numérique: On place les réelsunpour les premières valeurs den.

Dans le plan: On place les points de coordonnées (n;un) pour les premières valeurs den.

(C) Suites arithmétiques et géométriques Suites arithmétiques

âUne suite (un) est unesuite arithmétique de raisonrsi pour toutndeN,un+1=un+r.

âUne suite arithmétique de raisonrestcroissante sir>0,décroissante sir<0etconstante sir=0.

âPournetpentiers naturels,un=up+(n−p)r. En particulier :un=u0+nr.

âLes points de coordonnées (n;un) dans un repère du plan sont alignés surune droite de coefficient direc- teurr.

Suites géométriques

âUne suite (un) est unesuite géométrique de raisonqsi pour toutndeN,un+1=qun.

âLa suite (qn) estcroissante siq>1,décroissante si0<q<1. Ellen’est pas monotone siq<0.

âPournetpentiers naturels,un=up×qn−p. En particulier :un=u0×qn. Calculs de sommes

âPour toutndeN,1+2+ · · · +n=n(n+1)

2 .

âPour toutndeNet pour toutq6=1,1+q+q2+ · · · +qn=1−qn+1 1−q .

(2)

II. Raisonnement par récurrence

Cette démonstration s’applique lorsque l’on cherche à démontrer qu’une propriétéPndépendant d’un entier natureln est vraie pour tout entier naturelnà partir d’un certain rangn0.

Exercices no1 p 30

On procède en trois étapes :

Etape 1:INITIALISATION

On montre que la propriété est vraie au rang initial, c’est-à-dire quePn0est vraie.

Etape 2:HEREDITE

On suppose que la propriétéPnest vraie pour un rangnn0quelconque fixé (hypothèse de récurrence) et on montre que, sous cette hypothèse, la propriétéPn+1est vraie. C’est-à-direPn=⇒Pn+1.

Etape 3:CONCLUSION

La propriétéPnétant vraie au rang initialn0et étant héréditaire, alorsPnest vraie pour tout entier naturelnn0.

Exemples

VDémontrer que la suite (un) définie paru0=2 et pour toutndeN,un+1=3un−2 peut s’exprimer sous la forme un=3n+1.

VDémontrer que, pour tout entiern≥4, on a 2n≥4n.

Exercices no2 - 4 - 6 - 7 - 12 - 14 - 18 - 21 p 30 - 31 Entraînement no3 - 5 - 8 - 9 - 10 - 11 - 13 - 17 - 19 - 20 - 22 p 30 à 32

Approfondissement no28 - 29 - 30 p 32

III. Sens de variation d’une suite, encadrement (A) Sens de variation d’une suite

Définition 2

Une suite u ou (u

n

)

n∈N

est croissante si pour tout n de N , u

n

u

n+1

. Une suite u ou (u

n

)

n∈N

est décroissante si pour tout n de N, u

n

u

n+1

. Remarque

Il peut arriver que la monotonie de la suite commence à partir d’un certain rang.

Méthodes

â

Suites définies par une relation explicite : u

n

= f (n)

*Siun=f(n) oùf est une fonction définie sur [0;+∞[, on peut étudier le sens de variation de f.

Sif est croissante sur [0;+∞[, alors la suite (un) est croissante car pour toutn≥0, on an+1>n, doncf(n+1)≥f(n), c’est-à-direun+1un.

De même, sif est décroissante sur [0;+∞[, alors la suite (un) est décroissante.

*On peut étudier le signe deun+1un:

Siun+1un≤0 pour toutn, c’est-à-direun+1un, alors la suite (un) est décroissante.

Siun+1un≥0 pour toutn, c’est-à-direun+1un, alors la suite (un) est croissante.

un+1

(3)

(B) Suite majorée, minorée, bornée Définitions 3

Une suite (u

n

) est majorée par un nombre réel M , si pour tout n de N, u

n

M . M est un majorant.

Une suite (u

n

) est minorée par un nombre réel m, si pour tout n de N, u

n

m. m est un minorant.

Une suite (u

n

) est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Exemples

VUne suite à termes tous positifs est minorée par 0.

VUne suite croissante est minorée par son premier terme :u0u1u2≤ · · · ≤un. VUne suite décroissante est majorée par son premier terme :un≤ · · · ≤u2u1u0. Remarques

VDans ces définitions,Metmsont des nombres réels indépendants den.

VSi une suite est majorée parM, elle a une infinité de majorants, en particulier tous les nombres supérieurs àMle sont aussi.

Activité no3 p 99 Exercices no13 - 15 - 16 - 17 p 116 - 117 Entraînement no14 - 18 p 116 - 117

IV. Limite de suites

Activité no3 p 99

(A) Limite infinie d’une suite (u

n

) Définition 4

Dire qu’une suite (u

n

) a pour limite +∞ quand n tend vers +∞ signifie que tout intervalle ouvert de la forme ]A; +∞[ contient tous les termes de la suite (u

n

) à partir d’un certain rang. On note

n→+∞

lim u

n

= +∞ .

Remarques

VOn dit que la suite (un) diverge vers+∞.

VDire qu’une suite (un) apour limite−∞quandn tend vers+∞signifie que tout intervalle ouvert de la forme ]− ∞;A[ contient tous les termes de la suite (un) à partir d’un certain rang. On note lim

n→+∞un= −∞.

Propriété 1 Les suites ( p

n ), (n), (n

2

), . . ., (n

p

) où p ∈ N

ont pour limite +∞.

(4)

Propriété 2

Les suites (q

n

) où

q>

1 ont pour limite

+∞.

Démonstration ROC

Soitq>1. On poseq=1+aa>0.

4Préliminaires: Démontrons par récurrence que pour toutn0, (1+a)n1+na.

Initialisation : Pourn=0, (1+a)0=1 et 1+0×a=1. La propriété est donc vérifiée pourn=0.

Hérédité : Supposons la propriété vraie au rangn, c’est-à-dire (1+a)n1+na.

Comparons alors (1+a)n+1et 1+(n+1)a. On a (1+a)n+1=(1+a)(1+a)n. Comme (1+a)n1+na, on obtient (1+a)n+1(1+a)(1+na).

Or (1+a)(1+na)=1+a+na+na2=1+(n+1)a+na2. Commen0 eta2>0, alors 1+(n+1)a+na21+(n+1)a.

Donc (1+a)n+11+(n+1)a. La propriété est donc vraie au rangn+1. Elle est héréditaire.

Conclusion : Pour toutn≥0, (1+a)n1+na.

4SoitAun réel. Dès quenA−1

a , on aura 1+naAet donc (1+a)nA.

La suite ((1+a)n), c’est-à-dire la suite (qn) a donc pour limite+∞.

Exercices no19 - 20 - 21 p 117

(B) Limite finie d’une suite (u

n

) Définition 5

Dire qu’une suite (u

n

) a pour limite le réel

L

quand

n

tend vers

+∞

signifie que tout intervalle ouvert contenant

L

contient tous les termes

un

à partir d’un certain rang. On dit que la suite converge vers

L

.

Remarques

VTout intervalle ouvert contenantLcontient un intervalle ouvert centré enLde la forme ]L−²;L+²[ où

²>0. On peut donc se contenter de chercher si tout intervalle ouvert centré enLcontient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.

VQuandntend vers+∞, «untend versL»équivaut à «un−Ltend vers 0 ».

VSi (un) converge versL, les suites (un+1), (u2n), (u2n+1)convergent aussi versL. VUne suite convergente est bornée.

Propriété 3 : Unicité de la limite

Si une suite (u

n

) a une limite finie

L

quand

n

tend vers

+∞, cette limite est unique. On note lim

n→+∞un=L

.

Démonstration

Supposons que (un) admet deux limites finiesLetL0.i

L1;L+L0 2

h

contient tous les termesunà partir d’un certain rangn0. iL+L0

2 ;L0+1h

contient tous les termesunà partir d’un certain rangn1.

Pournplus grand quen0etn1,unappartiendrait à la fois à deux intervalles qui sont disjoints. C’est impossible donc (un) ne peut admettre deux limites finies distinctes.

Propriété 4

(5)

(D) Théorèmes d’opérations

Dans cette partie, L et L

0

désignent deux nombres réels.

Somme

n→+∞

lim u

n

L L +∞ −∞ +∞

n→+∞

lim v

n

L

0

+∞ (resp −∞) +∞ −∞ −∞

n→+∞

lim u

n

+ v

n

L + L

0

+∞ (resp −∞) +∞ −∞ FI : On ne peut pas conclure Produit

n

lim

→+∞

u

n

L L > 0 ou +∞ L < 0 ou −∞ 0

n→+∞

lim v

n

L

0

+∞ (resp −∞) +∞ (resp −∞) +∞ ou −∞

n→+∞

lim u

n

× v

n

L × L

0

+∞ (resp −∞) −∞ (resp +∞) FI : On ne peut pas conclure Inverse

n→+∞

lim u

n

L 6= 0

0 avecun>0 à partir d’un certain rang 0 avecun<0 à partir d’un certain rang

+∞ ou −∞

n→+∞

lim 1 u

n

1

L +∞ −∞ 0

(6)

Quotient

Pour déterminer la limite d’un quotient, on l’écrit comme un produit u

n

v

n

= u

n

× 1 v

n

n→+∞

lim u

n

L L ∞ ±∞

n→+∞

lim v

n

L

0

6= 0 +∞ (resp −∞ ) L

0

6= 0 ±∞

n→+∞

lim u

n

v

n

L

L

0

0 ∞

FI : On ne peut pas conclure

n→+∞

lim u

n

L > 0 ou +∞ L > 0 ou +∞ L < 0 ou −∞ L < 0 ou −∞ 0

n→+∞

lim v

n

0

+

0

0

+

0

0

n→+∞

lim u

n

v

n

+∞ -∞ -∞ +∞

FI : On ne peut pas conclure

Remarques

On retiendra donc que les formes suivantes (A NE SURTOUT PAS ECRIRE) sont indéterminées et deman- deront des calculs supplémentaires pour lever l’indétermination.

«+∞ − ∞» « 0× ∞» «∞

∞» «0 0»

Exercices no35 - 37 - 40 - 41 - 42 - 43 p 118 - 119 Entraînement no36 - 38 - 39 - 44 - 45 p 118 - 119

(7)

(E) Théorème de comparaison pour les limites infinies Théorème 1

Soient (u

n

) et (v

n

) deux suites. Si pour tout entier naturel n supérieur à un entier n

0 â

u

n

v

n

et lim

n→+∞

= u

n

= +∞ alors lim

n→+∞

= v

n

= +∞ .

â

u

n

v

n

et lim

n→+∞

= v

n

= −∞ alors lim

n→+∞

= u

n

= −∞ .

Démonstration ROC

âCommeunvnà partir d’un certain rang, il existe un entiern0tel que pour toutnn0,unvn. SoitAun réel. Comme lim

n→+∞=un= +∞, il existe un entiern1tel quenn1,un>A.

Pour toutnplus grand quen0etn1, on a à la foisA<unetunvn, doncA<unvnet par conséquentA<vn. Ce qui prouve que la suite (vn) a pour limite+∞quand n tends vers+∞.

âOn prouve de même la deuxième partie du théorème.

(F) Théorème de comparaison pour les limites finies Propriété 5

Si (u

n

) a pour limite finie L et si (v

n

) a une limite finie L

0

et si u

n

v

n

à partir d’un certain rang, alors L < L

0

.

Théorème 2 « des gendarmes »(admis) Si les suites (u

n

), (v

n

) et (w

n

) sont telles que :

â

u

n

v

n

w

n

à partir d’un certain rang

â

(u

n

) et (w

n

) ont la même limite finie L Alors la suite (v

n

) a pour limite L .

Exercices no55 - 58 - 60 p 120 - 121 Entraînement no56 - 57 - 61 p 121

(G) Limite des suites monotones Théorème 3

â

Si une suite (u

n

) est croissante et admet pour limite

L

alors

pour tout entier natureln,un≤L

.

â

Si une suite (u

n

) est décroissante et admet pour limite

L

alors

pour tout entier natureln,un≥L

.

Démonstration ROC

âSoit (un) une suite croissante de limiteL. On raisonne par l’absurde en supposant qu’il existe un termeup>L. Alors comme la suite est croissante, on a pour toutn>p,unup>L.

L’intervalle ]L1;up[ contientLmais ne peut contenir des termesunque pourn<p, donc il ne contiendra pas tous les termes à partir du rangp. Ceci contredit le fait que la suite ait pour limiteL. Donc pour toutn,unL.

âOn montre de même la deuxième partie.

Théorème 4 (admis)

â

Toute suite croissante majorée est convergente.

â

Toute suite décroissante minorée est convergente.

Théorème 5

â

Une suite croissante non majorée a pour limite +∞.

â

Une suite décroissante non minorée a pour limite −∞ .

Démonstration

âSoit (un) une suite croissante non majorée. SoitAun réel.

La suite n’est pas majorée parAdonc il existe un entiern0tel queun0>A.

La suite (un) étant croissante, pour toutnn0, on aunun0doncun>A.

Tous les termes de la suite appartiennent à ]A;+∞[ à partir du rangn0donc lim

n→+∞un= +∞.

âLa démonstration dans le cas où la suite est décroissante est analogue.

Exercices no64 - 66 - 67 - 69 p 121 - 1221 Entraînement no68 - 70 p 121 - 122

Exercice no49 p 119 Entraînement no50 p 119

Exercice no114 p 128

Références

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