Exercices : Suites
Exercice 1
Soit (u n ) ∈ R N une suite convergente, de limite `. Étudier (|u n |) (écrire la définition de la limite, avec des ε).
Exercice 2
Soit (u n ) ∈ R N une suite.
1) Si (u 2n ) et (u 2n+1 ) convergent, est-ce que (u n ) converge ? 2) Si (u 2n ), (u 3n ) et (u 2n+1 ) convergent, est-ce que (u n ) converge ? Exercice 3
Soit (u n ) une suite décroissante dont une suite extraite converge. Montrer que (u n ) converge.
Exercice 4 (Cesàro)
1) Soit (u n ) ∈ R N une suite de limite nulle. Montrer que 1 n + 1
n
X
k=0
u k converge vers 0.
2) Soit (u n ) ∈ R N une suite convergeante, de limite `. Montrer que 1 n + 1
n
X
k=0
u k converge vers `. On pourra se ramener à ` = 0 pour appliquer le 1).
Exercice 5
Convergence et limites éventuelles des suites suivantes :
1) u n = (−1) n (ln n) (−1)n 2) u n = cos n 2 + n + 1 n + 1 π
!
3) u n =
1 + x n
n
x ∈ R 4) u n = n p
n! où p ∈ N fixé. 5) u n = 5
√ n + 2 3 sin n
n
6) u n = sin(π p n 2 + 1)
Exercice 6
1) Soit f : R + → R définie par f(x) = x + sin x.
Soit (u n ) ∈ R N la suite définie par u 0 ∈]0, π[ et u n+1 = f (u n ).
a) Montrer que, pour tout n ∈ N , u n ∈ [0, π] (Indication : Montrer f ([0, π]) ⊂ [0, π]).
b) Montrer que (u n ) est croissante (Indication : Étude de f (x) − x).
c) En déduire que (u n ) converge, et déterminer sa limite.
2) Sur le même modèle, étudier les suites suivantes. On pourra commencer par résoudre f (x) = x pour distinguer des cas.
a) u 0 ∈ [−3/2, +∞[ et u n+1 = √
2u n + 3. b) u 0 ∈ R et u n+1 = 1
3 (4 − u 2 n ) c) u 0 = 1 et u n+1 = 1 + 1
2 sin 1 u n
Exercice 7
1) Soit f : R → R définie par f (x) = cos x. Soit (u n ) ∈ R N la suite définie par u 0 = 1 et u n+1 = f(u n ).
a) Montrer que, pour tout n ∈ N , u n ∈ [0, 1].
b) Montrer que l’équation f (x) = x a une unique solution dans [0, 1]. On notera ` cette solution.
c) Montrer que ∃k ∈ [0, 1[/∀n ∈ N |u n+1 − `| 6 k|u n − `|.
d) En déduire que (u n ) converge vers `.
2) Sur le même modèle, étudier les suites suivantes
a) u 0 ∈ R et u n+1 = e −un b) u 0 ∈ R et u n+1 = 3 2u 2 n + 1 Exercice 8
1) Soit (u n ) ∈ ( R ∗ + ) N une suite telle que lim
n→+∞
u n+1
u n = ` ∈ R ∗ + . Montrer que lim
n→+∞
√
nu n = `.
1
Exercices Suites
2) En déduire les limites des suites suivantes : a) v n =
ns n!
n n b) w n = 1
n 2
n