Soit (u n ) ∈ R N une suite.

Exercices : Suites

Exercice 1

Soit (u _n ) ∈ R ^N une suite convergente, de limite `. Étudier (|u _n |) (écrire la définition de la limite, avec des ε).

Exercice 2

Soit (u n ) ∈ R ^N une suite.

1) Si (u 2n ) et (u 2n+1 ) convergent, est-ce que (u n ) converge ? 2) Si (u 2n ), (u 3n ) et (u 2n+1 ) convergent, est-ce que (u n ) converge ? Exercice 3

Soit (u n ) une suite croissante dont une suite extraite converge. Montrer que (u n ) converge.

Exercice 4 (Cesàro)

1) Soit (u _n ) ∈ R ^N une suite de limite nulle. Montrer que 1 n + 1

n

X

k=0

u _k converge vers 0.

2) Soit (u n ) ∈ R ^N une suite convergeante, de limite `. Montrer que 1 n + 1

n

X

k=0

u _k converge vers `. On pourra se ramener à ` = 0 pour appliquer le 1).

Exercice 5

Convergence et limites éventuelles des suites suivantes :

1) u n = (−1) ⁿ (ln n) ⁽⁻¹⁾

2) u n = cos n ² + n + 1 n + 1 π

!

3) u n =

1 + x n

n

x ∈ R 4) u _n = n ^p

n! où p ∈ N fixé. 5) u _n = 5

√ n + 2 3 sin n

n

6) u _n = sin(π ^p n ² + 1)

Exercice 6

1) Soit f : R + → R définie par f (x) = √

2 + x. Soit (u n ) ∈ R ^N la suite définie par u 0 = 0 et u n+1 = f (u n ).

a) Montrer que, pour tout n ∈ N , u n ∈ [0, 2].

b) Montrer que (u n ) est croissante.

c) En déduire que (u n ) converge, et déterminer sa limite.

2) Sur le même modèle, étudier les suites suivantes. On pourra commencer par résoudre f (x) = x pour distinguer des cas.

a) u 0 ∈ R et u n+1 = u ² _n

u ² _n + 1 b) u 0 ∈]0, 1[ et u n+1 = √

1 + u n − ^q 1 + u ² _n c) u ₀ ∈ R et u _n+1 = u _n − u ² _n (Indication : discuter selon u ₁ , après avoir trouvé les points fixes de f ) Exercice 7

1) Soit f : R → R définie par f (x) = cos x. Soit (u n ) ∈ R ^N la suite définie par u 0 = 1 et u n+1 = f(u n ).

a) Montrer que, pour tout n ∈ N , u n ∈ [0, 1].

b) Montrer que l’équation f (x) = x a une unique solution dans [0, 1]. On notera ` cette solution.

c) Montrer que ∃k ∈ [0, 1[/∀n ∈ N |u _n+1 − `| 6 k|u <sub>n</sub> − `|.

d) En déduire que (u n ) converge vers `.

2) Sur le même modèle, étudier les suites suivantes a) u ₀ ∈ R et u _n+1 = 3

2u ² _n + 1 Exercice 8

1) Soit (u _n ) ∈ ( R ^∗ ₊ ) ^N une suite telle que lim

n→+∞

u _n+1 u n

= `. Montrer que lim

n→+∞

√

u _n = `.

1

Exercices Suites

2) En déduire les limites des suites suivantes :

a) u n = 1 n

q

n(n + 1) . . . (n + n) b) u n = 1 n ²

n

s (3n)!

n! . Exercice 9

Soit (u _n ) ∈ R ^N la suite définie, lorsque c’est possible, par u ₀ ∈ R et u _n+1 = 4u n + 2 u _n + 5 . 1) Pour quelles valeurs de u ₀ la suite est-elle constante ?

2) Montrer que si u ₀ 6= −2, alors u _n 6= −2 ∀n ∈ N .

3) On suppose u 0 6= −2 et on définie (v _n ) ∈ R ^N par v n = u n − 1

u n + 2 . Étudier (v n ), en déduire l’expression de u _n en fonction de n et finir l’étude de (u _n ).

4) Pour quels u ₀ la suite (u _n ) est-elle définie ? Exercice 10 (Vrai-Faux)

Soit (u _n ) et (v _n ) ∈ R ^N . Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse (et le prouver) : 1) (u _n ) non majorée = ⇒ lim

n→+∞ u _n = +∞.

2) (u _n ) croissante non majorée = ⇒ lim

n→+∞ u _n = +∞.

3) lim

n→+∞ u _n v _n = 0 = ⇒ lim

n→+∞ u _n = 0 ou lim

n→+∞ v _n = 0.

4) (∀n u _n > 0 et lim

n→+∞ u _n = 0) = ⇒ (u _n ) décroissante.

5) lim

n→+∞ u n = +∞ = ⇒ u n ∼ u n+1 . 6) lim

n→+∞ U n = ` ∈ R = ⇒ lim

n→+∞ (U n+1 − U n ) = 0 (et réciproquement ?) 7)

n

X

k=0

u _k

!

converge = ⇒ lim

n→+∞ u _n = 0. (et réciproquement ?) Exercice 11

Convergence et limite des suites suivantes :

1) u n =

n

X

k=0

1

n + k 2) u n =

(2n)!

n!n ⁿ

Exercice 12

Limite et éventuellement équivalent en +∞ des suites suivantes :

1) u n =

1 − 1

√ n n

2) u n = e −

1 + 1 n

n

3) u n vérifiant l’encadrement nπ 6 u n 6 nπ + π 2 Exercice 13 (Oral petites mines 2012)

Pour tout n ∈ N , soit f : R → R la fonction définie par f n (x) = x ⁿ − nx + 1.

1) Montrer que, pour tout n > 3, l’équation f n (x) = 0 admet exactement une racine dans ]0, 1[ et une racine dans ]1, +∞[. On les notera x _n et y _n respectivement.

2) Déterminer la limite et un équivalent de (x _n ).

3) Déterminer la limite ` de (y <sub>n</sub> ), puis un équivalent de y <sub>n</sub> − `.

Exercice 14

Soit (u _n ), (v _n ), (u ⁰ _n ) et (v ⁰ _n ) des suites de réels strictement positifs. Montrer que, si u _n ∼ v _n et u ⁰ _n ∼ v _n ⁰ , alors u n + u ⁰ _n ∼ v n + v _n ⁰ .

2