IUP SID Analyse 2011-2012
Feuille d’exercices 1 : Suites g´ eom´ etriques et arithm´ etiques Formule du binˆ ome
1 Suites arithm´ etiques
Fastoche
La suite (u
n) est une suite arithm´ etique de raison r.
1. On donne : u
5= 7, r = 2. Calculer u
1, u
25et u
100. 2. On donne : u
3= 12, u
8= 0. Calculer r, u
0et u
18. 3. On donne : u
7=
72, u
13 =
132. Calculer u
0.
Simple
(u
n) est une suite arithm´ etique telle que u
2+ u
3+ u
4= 15 et u
6= 20. Calculer son premier terme u
0et sa raison r.
Plus dur
D´ eterminer sept nombres impairs cons´ ecutifs dont la somme est 73.
Harder
Une suite arithm´ etique (u
n) de raison 5 est telle que u
0= 2 et, n ´ etant un nombre entier,
i=n
X
i=3
u
i= 6456 Calculer n.
And harder
D´ eterminer quatre termes cons´ ecutifs d’une suite arithm´ etique sachant que leur somme est 12 et la somme de leurs carr´ es est 116.
2 Suites g´ eom´ etriques
Facile
La suite (u
n) est une suite g´ eom´ etrique de raison q.
1. On donne : u
1= 3 et q = −2. Calculer u
4, u
8et u
12. 2. On donne : u
3= 2 et u
7= 18. Calculer u
0, u
15et u
20.
Arig´ eo
Existe-t-il une suite telle que les trois premiers termes u
0, u
1, u
2soient ` a la fois en
progression arithm´ etique et g´ eom´ etrique ?
Arig´ eo come back
Soit (u
n) une suite telle que u
4= −4 et u
7=
12. 1. On suppose que la suite (u
n) est arithm´ etique.
(a) Calculer u
3, u
5, u
0. Plus g´ en´ eralement, exprimer u
nen fonction de u
pet de la raison r, pour n et p entiers quelconques.
(b) Calculer S
5et S
10.
(c) Etudier la convergence de (u
n).
2. Mˆ emes questions si (u
n) est suppos´ ee g´ eom´ etrique.
Plus dur
Une suite g´ eom´ etrique (v
n) est croissante et ses termes sont strictement n´ egatifs.
1. Justifier que la raison b de la suite est telle que 0 < b < 1.
2. On suppose que v
1v
3=
49et v
1+ v
2+ v
3= −
199. Calculer v
1, v
2, v
3et b.
Sommes
Calculer les sommes S et S
0.
S = 2 + 6 + 18 + ... + 118098, S
0= 2 + 2
3 + 2
9 + · · · + 2 59049 .
Big Ben
Une horloge sonne toutes les heures. Quel est le nombre de sons de cloche entendus en 24 heures ?
L’ˆ age du capitaine
Cinq personnes se trouvent dans une pi` ece. L’une d’entre elles remarque que leurs ˆ
ages sont en progression arithm´ etique. Sachant que la somme des carr´ es de leurs ˆ ages est
´
egale ` a l’ann´ ee o` u se passe cette histoire (` a savoir 1980) et qu’` a elles toutes, les personnes totalisent 90 ann´ ees, quel est l’ˆ age de chacune des personnes ?
Etang
La taille d’un n´ enuphar double chaque jour. Au bout de 40 jours, il a recouvert tout l’´ etang. Au bout de combien de jours avait-il recouvert la moiti´ e de l’´ etang ?
Antiquit´ e
Au cours d’une bourse aux livres, un manuel scolaire perd chaque ann´ ee 12% de sa
valeur. Un livre a ´ et´ e achet´ e neuf en 1985, il coˆ utait alors 150F . Quel est son prix ` a la
bourse aux livres de 1990 ? de 1995 ?
3 Formule du binˆ ome
Stochfa
Soit un r´ eel a. Expliciter : 1. (a + 1)
5,
2. (a + 1)
4− (a − 1)
4.
Sommes
Calculer les sommes suivantes :
S
1:=
n
X
k=0
C
nk2
k,
S
2=
n
X
k=0
C
nk,
S
3:=
n
X
k=0
kC
nk,
S
4:=
n
X
k=0
