Mettre un complexe sous forme alg´ebrique

PCSI2 : un corrig´e (partiel) de l’interrogation du 28/01/2009

Mettre un complexe sous forme alg´ ebrique

Nous traitons l’exercice A : il s’agit de mettre sous forme alg´ebrique le complexez= (1−i√ 3)⁷

(1 +i)⁸ . Comme les exposant sont^hh´elev´esⁱⁱ, nous mettrons sous forme exponentielle (dite aussi trigonom´etrique) le num´erateur u= (1−i√

3)⁷ et le d´enominateurv= (1 +i)⁸.

|u|=√

1 + 3 = 2 ; u

|u| = 1 2 −i

√3

2 = exp³

−iπ 3

´

. De mˆeme |v|=√

2, puis v

|v| =

√2 2 +i

√2

2 = exp³iπ 4

´ . Doncv=√

2 exp(iπ/4).

Il ne reste plus qu’`a rassembler ces r´esultats : z= u⁷

v⁸ = 2⁷exp(−7iπ/3) (√

2)⁸exp(8iπ/4) = 128 16 exp³

−4iπ 12

´= 8 exp³

−iπ 3

´= 8³1 2 −i

√3 2

´

Finalement z= 4−4i√ 3 .

Les ´ equivalents

A=

√2x+ 1−√ x+ 1 1 +√

2x³ . Utilisons la formule√

a−√

b= a−b

√a+√ b: A= (2x+ 1)−(x+ 1)

√2x+ 1 +√

x+ 1 = x

√x¡p

2 + 1/x+p

1 + 1/x¢ g^x→+∞

√x 1 +√

2 Par ailleurs, 1 + 2√

2x^3x→+∞g 2x√

2x. DoncA^x→+∞g

1 x√

2¡ 1 +√

2¢ =

√2−1 x√

2

B= ln(x²+ 1)−ln(x²+ 2)

x³ .

ln(x²+ 1) = 2 ln(x) + ln(1 + 1/x²) = 2 ln(x) +x⁻²+o(x⁻²) ; de mˆeme ln(x²+ 2) = 2 ln(x) + 2x⁻²+o(x⁻²).

Donc ln(x²+ 1)−ln(x²+ 2) =−x⁻²+o(x⁻²).

Finalement B^x→+∞g −x⁻⁵

C=

√x²+ 1−√ x²−x ln(x+ 1) + ln(x²+ 2).

Reprenons la formule de l’exercice A :p

x²+ 1−p

x²−x= 1 +x

√x²+ 1 +√

x²−x^x→+∞g −x 2x = 1

2. Par ailleurs, ln(x+ 1) + ln(x²+ 2) = ln(x) +o(1) + 2 ln(x) +o(1) = 3 ln(x) +o(1).

Donc C^x→+∞g 1 6 ln(x) . D=e⁻⁵ X

16k610

e^kx.

Chacun des neuf premiers termes de la somme est n´egligeable devant le dernier ; donc D^x→+∞g exp(10x−5) .

E=

√1 +e^x−√ 1 +e^2x

√3−e^−x .

La formule de l’exercice A nous donne√

1 +e^x−p

1 +e^2x= e^x−e^2x

√1 +e^x+√

1 +e^2x. Maise^x−e^2xx→+∞g −e^xet √

1 +e^xx→+∞g e^x/2 est n´egligeable devant√

1 +e^2xx→+∞g e^x. Comme√

3−e^−x−−−−→_x→+∞ √

3, nous concluons : E^x→+∞g −e^x

√3 .

F =

px+ 2 ln(x)−p

x−ln(x) 1 + ln(x) + ln²(x) . Encore la formule de l’exercice A :p

x+ 2 ln(x)−p

x−ln(x) = 3 ln(x) px+ 2 ln(x) +p

x−ln(x). Maisp

x+ 2 ln(x) =√ x×p

1 + 2 ln(x)/x=√ x¡

1 +o(1)¢

et de mˆemep

x−ln(x) =√ xס

1 +o(1)¢ . Doncp

x+ 2 ln(x) +p

x−ln(x) =^x→+∞g 2√x. Il est clair que 1 + ln(x) + ln²(x)^x→+∞g ln²(x).

Finalement F^x→+∞g 3 2√

xln(x)

G=

√x⁴+ 1−√ x⁴+ 2

√2x³−x² . La formule de l’exercice A nous donne : px⁴+ 1−p

x⁴+ 2 = −1

√x⁴+ 1 +√

x⁴+ 2^x→+∞g − 1 2x² Par ailleurs√

2x³−x^2x→+∞g

√2x³.

DoncG^x→+∞g − 1 2x²√

2x³ = − 1

√8x⁷ .

H =ln(x²+x⁴)−ln(x⁸−x⁵) ln(2x) ln(3x²) .

ln(x²+x⁴) = 4 ln(x) + ln(1 +x⁻²) = 4 ln(x) +o(1) ; de mˆeme ln(x⁸−x⁵) = 8ln(x) +o(1). Donc ln(x²+x⁴)− ln(x⁸−x⁵)^x→+∞g −4 ln(x). D’autre part, ln(2x) = ln(x) + ln(2)^x→+∞g ln(x) et de mˆeme ln(3x)^x→+∞g ln(x).

Finalement H^x→+∞g − 2 ln(x) .

I= ln(x³) ln(x⁷) ln(2 +x²) ln(3 +x³).

ln(x³) ln(x⁷) = 21 ln²(x). D’autre part, ln(x²+ 2) = 2 ln(x) + ln(1 + 2x⁻²) = 2 ln(x) +o(1) et de mˆeme ln(3 +x³) = 3 ln(x) +o(1). Donc ln(x²+ 2) ln(3 +x³)^x→+∞g 6 ln²(x).

Finalement I^x→+∞g 7 2 . J = ch(x)−ch(2x)

sh(2x)−sh(3x). ch(x) = e^x+e^−x

2 = e^x

2 +o(1) ; de mˆeme ch(2x) = e^2x

2 +o(1), sh(2x) = e^2x−e^−2x 2 = e^2x

2 +o(1) et sh(3x) = e^3x

2 +o(1).

Donc J^x→+∞g e^−x . K=x⁻⁵⁰ X

16k6100

x^k.

Les 99 premiers termes de la somme sont n´egligeables devant le dernier, donc K^x→+∞g x⁵⁰ .

L= sh(x)−sh(2x) ch(2x)−ch(3x).

Le calcul se m`ene comme celui de la question J ; il vient L^x→+∞g e^−x .

[interro-1-corr-eqv] Compos´e le 28 d´ecembre 2010