TS7 DS 5 17 janvier 2020 Dur´ee 120 minutes. Le bar`eme est donn´e `a titre indicatif.
QCM sur 6 points `a rendre avec la copie.
Exercice 1 : Complexe (40 minutes) (6 points)
Le plan complexe est muni d’un rep`ere orthonorm´e direct
O ; −→ u , −→
v
d’unit´e 2 cm. On appelle f la fonction qui, `a tout point M, distinct du point O et d’affixe un nombre complexe z, associe le point M0 d’affixe z0 tel que
z0=−1 z.
1. On consid`ere les points A et B d’affixes respectiveszA=−1 + i et zB = 1 2eiπ3.
a. D´eterminer la forme alg´ebrique de l’affixe du point A0 image du point A par la fonction f. b. D´eterminer la forme exponentielle de l’affixe du point B0 image du point B par la fonction f.
c. Sur la copie, placer les points A, B, A0 et B0 dans le rep`ere orthonorm´e direct O ; −→
u , −→ v
. Pour les points B et B0, on laissera les traits de construction apparents.
2. Soit r un r´eel strictement positif et θun r´eel. On consid`ere le complexe zd´efini par z=reiθ. a. D´emontrer quez0= 1
rei(π−θ).
b. Est-il vrai que si un point M, distinct de O, appartient au disque de centre O et de rayon 1 sans appartenir au cercle de centre O et de rayon 1, alors son image M0 par la fonction f est `a l’ext´erieur de ce disque ? Justifier.
3. Soit le cercle Γ de centre K d’affixe zK=−1
2 et de rayon 1 2.
a. D´emontrer qu’une ´equation cart´esienne du cercle Γ est x2+x+y2 = 0.
b. Soitz=x+iyavecxetynon tous les deux nuls. D´eterminer la forme alg´ebrique dez0en fonction de xety.
c. SoitM un point, distinct de O, du cercle Γ. D´emontrer que l’imageM0du pointM par la fonction f appartient `a la droite d’´equation x= 1.
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Exercice 2 : Suite (50 minutes) (8 points)
Soit f la fonction d´efinie sur l’intervalle [0 ; 4] parf(x) = 2 + 3x 4 +x . Partie A
On consid`ere la suite (un) d´efinie par : u0 = 3 et pour tout entier naturel n, un+1=f(un). On admet que cette suite est bien d´efinie.
1. Calculer u1.
2. D´emontrer que la fonctionf est croissante sur l’intervalle [0 ; 4].
3. D´emontrer que pour tout entier natureln, 16un+1 6un63.
4. a. D´emontrer que la suite (un) est convergente.
b. On appelle`la limite de la suite (un) ; d´emontrer l’´egalit´e : `= 2 + 3`
4 +` . c. D´eterminer la valeur de la limite`.
Partie B
On consid`ere la suite (vn) d´efinie par : v0 = 0,1 et pour tout entier naturel n, vn+1=f(vn).
1. On donne ci-dessous, la courbe repr´esentative, Cf, de la fonctionf et la droite Dd’´equation y=x.
Placer sur l’axe des abscisses par construction g´eom´etrique les termes v1,v2 etv3 sur cette courbe.
Baccalauréat S A. P. M. E. P.
Annexe
À rendre avec la copie
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
D Cf
Métropole La Réunion Mayotte 8 13 septembre 2019
Quelle conjecture peut-on formuler sur le sens de variation et le comportement de la suite (vn) quand ntend vers l’infini ?
2. a. D´emontrer que pour tout entier naturel n, 1−vn+1 =
2
4 +vn
(1−vn). b. D´emontrer par r´ecurrence que pour tout entier naturel n,
061−vn6
1
2
n
.
3. La suite (vn) converge-t-elle ? Si oui, pr´eciser sa limite.
