D´eterminer l’´equation du plan tangent au graphe de f au point (1,1,2)

L1 PCST Printemps 2015 S2, Math`Ematiques

Examen - Session 1 - 18 mai 2015

Dur´ee : 3h00. Aucun document ni calculatrice autoris´e Exercice 1: Soit f :R² →R la fonction d´efinie par

f(x, y) =

( x²y+3y³

x²+y² pour (x, y)6= (0,0)

0 sinon

1. Pourquoi f est continue sur R²\ {(0,0)}?

2. Montrer quef est continue en (0,0) (utiliser les coordonn´ees polaires) et en d´eduire que f est continue sur tout R².

3. D´eterminer les d´eriv´ees partiellesf_x⁰ etf_y⁰ en tout point (x, y)6= (0,0).

4. Calculer les d´eriv´ees partiellesf_x⁰(0,0) et f_y⁰(0,0). (Utiliser la d´efinition)

5. Donner la d´efinition d’une fonction de classeC¹ et dire pourquoif n’est pas de classeC¹. 6. D´eterminer l’´equation du plan tangent au graphe de f au point (1,1,2).

7. Montrer que (2,1,1) et (3,1,0) appartiennent `a ce plan et en d´eduire l’´equation param´etrique d’une droite appartenant `a ce plan.

Exercice 2: Soit g(x, y) =−cos(x) cos(y).

1. Pourquoi est-ce que g est de classe C².

2. Montrer que les points critiques sont de formes (kπ, lπ) ou (kπ+^π₂, lπ+^π₂) aveck, l ∈Z. 3. D´eterminer la nature des points (0,0), (0, π) et (^π₂,^π₂). (c-`a-d max, min ou point-selle)

Exercice 3: Soit A la matrice





2 −1 −1

−1 2 −1

−1 −1 2



.

1. Est-ce que A est inversible?

2. Montrer que les seules valeurs propres de A sont 0 et 3.

3. D´eterminer les vecteurs propres de A et v´erifer que les vecteurs propres associ´es aux valeurs propres distinctes sont orthogonaux.

4. En d´eduire un matriceP tel que P⁻¹AP soit diagonale.

5. Calculer pour tout entiern, Aⁿ.

Exercice 4: Soit a∈R un r´eel et (E) l’´equation dans C donn´ee par (E)

z−i z+i

n

= 1 +ia 1−ia 1. Montrer que

^1+ia_1−ia

= 1 et en d´eduire que |z−i|=|z+i|.

2. En posant z = x+iy (avec x, y ∈ R), dans |z−i| = |z+i|, montrer que toutes les solutions de (E) sont r´eelles.

On veut r´esoudre (E) dans le cas o`u a= 1 et n= 3.

3. Montrer que ¹⁺ⁱ_1−i =i et que les racines cubiques dei sont

√3 2 +1

2i , −

√3 2 + 1

2i , −i 4. R´esoudre ^z−i_z+i3

=i.

Exercice 5: On se propose de r´esoudre l’´equation diff´erentielle de fonction inconuuey:R→R:

(E) y⁰⁰+ 4y= cos(x)

1. Soit (E₀) l’´equation sans second membre attach´ee `a (E) (`a dire y⁰⁰+ 4y = 0). Ecrire et r´esoudre l’´equation caracti´eristique de (E₀).

2. D´eterminer l’ensemble des solutions de (E₀).

3. Montrer que^cos(x)₃ est une solution particul`ere de (E) et en d´eduire l’ensemble des solutions de (E).

Exercice 6: On se propose de r´esoudre sur I =]0, π[ l’´equation diff´erentielle y⁰sin(x) − ycos(x) = (2x+ 1) sin²(x).

1. Justifier pourquoi cette ´equation ´equivaut surI `a

(E) y⁰−ycos(x)

sin(x) = (2x+ 1) sin(x) 2. Pr´esenter l’ensemble des solutions de l’´equation homog`ene y⁰ −y^cos(x)_sin(x) = 0.

3. Trouver une solution particul`ere et puis l’ensemble des solutions de (E).