1) D´eterminer l’ensemble σ(A) des valeurs propres de A

Universit´e de Pau et des Pays de l’Adour Ann´ee Scolaire

D´epartement de Math´ematiques 2016-2017

Licence Math´ematiques - Analyse Num´erique des Syst`emes Lin´eaires Exercices de r´evisions

Exercice 1 : Un exemple de diagonalisation en dimension 2 SoitA=

1 −1

2 4

.

1) D´eterminer l’ensemble σ(A) des valeurs propres de A.

2) D´emontrer queA est diagonalisable.

3) D´eterminer le(s) sous-espace(s) propre(s) associ´e(s) `a σ(A).

4) En d´eduireA^k pour toutk∈N.

Exercice 2

SoitI3 la matrice identit´e deR^3×3 etI∈R^3×3 d´efinie parIij = 1 pour tousi, j= 1, . . . ,3.

On note :

u₁ =



 1

−1 0



, u₂ =



 1 0

−1



, u₃ =



 1 1 1



,

1) a. Calculer Iu1,Iu2 etIu3.

b. Montrer que u₁, u₂ et u₃ sont des vecteurs propres de I. Pr´eciser les valeurs propres associ´es.

c. Montrer que (u1, u2) est une base de KerI. d. En d´eduire une base de vecteurs propres deI.

2) SoitA:= 3I3+I. A partir des r´esultats pr´ec´edents, d´eterminer σ(A).

Exercice 3 : Matrices hermitiennes

Soit A ∈ C^n×n. On note (., .) le produit scalaire hermitien sur Cⁿ. Montrer que A est hermitienne si et seulement si ∀x∈Cⁿ, (Ax, x)∈R. En d´eduire que les valeurs propres d’une telle matrice sont r´eelles.

Indication: Pour d´emontrer queAest hermitienne si (Ax, x)∈R pour toutx∈Cⁿ, on pourra d´evelopper les expressions (A(x+y), x+y) et (A(x+iy), x+iy) puis d´emontrer et exploiter les relations suivantes Im(Ax, y) =−Im(Ay , x) et Re(Ax, y) = Re(Ay , x) pour tousx, y ∈Cⁿ.

Exercice 4 : Matrices orthogonales

SoitQ∈R^n×n une matrice ortogonale. On noteq₁, ..., q_n ses vecteurs colonnes.

1. D´eterminer Q⁻¹.

2. D´eterminer le sous-espace vectoriel Vect{q₁, ..., q_n}.

3. Montrer queQ conserve la norme euclidienne.

1

Exercice 5

Soit v₁ =



 0 0 1



, v₂ =



 0 1 1



, v₃ =



 1 1 1



. Ces vecteurs constituent une base de R³. D´eterminer `a partir de ces vecteurs une base orthonorm´ee par le proc´ed´e de Gram-Schmidt.

2