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(a) D´eterminer la dimension de F

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Academic year: 2022

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(1)

Universit´e d’Orl´eans 15 F´evrier 2013 D´epartement de Math´ematiques

L4MT06

Pb n0 1

`

a rendre pour le 9 Mars 2013

SoitE =R4 et B0 = (1, 2, 3, 4) sa base canonique.

On consid`ere la forme quadratique q d´efinie sur E par

q(x, y, z, t) =x2+ 2y2+ 2xy+ 2yz+ 2yt.

1. (a) D´eterminer la matrice de q dans la base B0. (b) La forme quadratique q est-elle non-d´eg´en´er´ee ? 2. On consid`ere les vecteurs

~

u1 =1, ~u2 = 21+3, ~u3 = 31+4

etF =V ect({~u1, ~u2, ~u3}).

(a) D´eterminer la dimension de F.

(b) D´eterminer l’orthogonal de F pour q. Quelle est sa dimension ?

(c) Retrouver la r´eponse `a la question 1(b) en donnant un nouvel argument.

3. (a) D´eterminer la signature de q.

(b) Retrouver la r´eponse `a la question 1(b) en donnant encore un autre argument.

4. D´eterminer le noyau de q.

5. D´eterminer une base de E qui soit q-orthogonale.

Références

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