Universit´e Grenoble Alpes 2017-2018 Unit´e d’Enseignement MAT 301
Feuille de TD 3
Projections lin´eaires.
Exercice 1
On consid`ere l’application lin´eaire suivante :
f :R3 →R3, (x, y, z)7→(y+z, x−z,−x+y+ 2z) 1. Donner la matrice de f dans la base canonique de R3.
2. a. Par un calcul matriciel, montrer que f est une projection de R3 sur un sous-espace vectoriel F parall`element `a un sous-espace vectoriel G.
b. D´eterminer des bases BF etBG deF etG.
3. D´eterminer la matrice de f dans la baseB =BF ∪ BG deR3. Exercice 2
On consid`ere l’application lin´eairef de R3 dans R3 dont la matrice dans la base canonique est :
MatBcanf =
0 −1 1
1 2 −1
1 1 0
.
1. Montrer que B = ((1,−1,0),(1,0,1),(−1,1,1)) forme un base de R3. 2. D´eterminer la matrice de f dans la baseB.
3.En d´eduire quef est une projection, dont on d´eterminera le noyau et l’image (par des bases).
Exercice 3
Soit E un espace vectoriel.
1. Montrer qu’un endomorphisme p de E est un projecteur si et seulement si Id−p est un projecteur.
On suppose d´esormais que p est un projecteur deE.
2. Montrer que Ker(Id−p) = Impet Im(Id−p) = Kerp.
3. Montrer qu’un endomorphisme u de E commute avecp si et seulement si u(Kerp)⊂ Kerp etu(Imp)⊂Imp.
Exercice 4
Notation : si f est une application d’un ensemble E dans un ensemble F, si A est une partie deE etB une partie de F telles quef(A)⊂B, on noteraf0 la restriction def `a A au d´epart et `a B `a l’arriv´ee (f0 est ainsi une application de A dans B).
Soitf :E →Eun endomorphisme d’un espace vectorielEde dimension finien. SoitE =F⊕G une d´ecomposition de E en somme directe de deux sous-espaces vectoriels. On notek = dimF etl = dimG. Soient BF etBG des bases deF et G. On note B =BF ∪ BG et :
1
MatBf =
A B C D
la matrice par bloc de f dans la baseB, la sous-matriceA ´etant carr´ee de taille k par k.
1. Montrer queA est la matrice de l’endomorphismepF,G◦f0 dans la base BF, o`upF,G d´esigne la projection sur F parall`element `aG.
2. A l’aide de projections lin´` eaires, d´eterminer des applications lin´eaires dontB,C,Dsont des matrices dans des bases bien choisies.
2
