Applications lin´ eaires

UNIVERSIT ´ E PIERRE ET MARIE CURIE Ann´ ee 2007/2008

MIME 22.4 LM 125

Feuille d’exercices 5

Applications lin´ eaires

Exercice 1 Les applications suivantes sont-elles des applications lin´ eaires ? f

R −→ R

x 7−→ 2x

, f

R −→ R

x 7−→ √ x

, f

R

−→ R

(x, y) 7−→ 4x + 3y , f

R

−→ R x 7−→ 2xy f

R

−→ R

→

X 7−→ X .

→

A , o` u

A = (1, −2, 3).

f

D −→ R

u 7−→ u

(

) + R

u(t)dt f

R

−→ R

(x, y) 7−→ (2x + y, ax − y)

Calculer l’image et le noyau de f

et f

. En d´ eduire si ces applications sont injectives, surjectives, bijectives.

Exercice 2 Les applications de C dans C f : z 7→ z et g : z 7→ Re(z) sont-elles des endomorphismes dans le R -espace vectoriel C ? Dans le C -espace vectoriel C ?

Exercice 3 Soit p un projecteur c’est-` a-dire une application lin´ eaire p : R

→ R

telle que

p ◦ p = p.

a) Montrer que Ker p ⊕ Imp = R

.

b) Montrer que Id − p est aussi un projecteur.

c) Montrer Ker p = Im(Id − p) et que Ker (I d − p) = Imp.

d) Soient p et q deux applications lin´ eaires v´ erifiant les relations : p + q = Id et p ◦ q = q ◦ p = 0

Montrer que Ker p ⊕ Ker q = Imp ⊕ I mq = R

.

Exercice 4 Soit f une application lin´ eaire de R

dans R

. Montrer que les trois propri´ et´ es suivantes sont ´ equivalentes :

(i) Ker f ⊕ Imf . (ii) Imf

= Imf . (iii) Ker f

= I mf

1

Exercice 5 ”Lemme des cinq” (Difficile)

On consid` ere les dix espaces vectoriels et les treize applications lin´ eaires suivants :

E

−→

E

−→

E

−→

E

−→

E

↓ f

↓ f

↓ f

↓ f

↓ f

E

α⁰

−→ E

−→ E

−→ E

−→ E

tels que :

• Imα = Ker β, I mβ = Ker γ et Imγ = Ker δ

• Imα

= Ker β

, Imβ

= Ker γ

et Imγ

= Ker δ

•f

, f

, f

, et f

sont des isomorphismes.

”Le diagramme commute”, i.e. f

◦ α = α

◦ f

, β

◦ f

= f

◦ β, γ

◦ f

= f

◦ γ et f

◦ δ = δ

◦ f

.

Montrer que f

est lui-aussi un isomorphisme.

Familles libres et bases

Exercice 6 Montrer qu’une application f : R

→ R est R -lin´ eaire si et seule- ment si elle est de la forme f (x, y) = ax + by avec a, b ∈ R .

Exercice 7 Montrer que les vecteurs (a, b) et (c, d) forment une base de R

ssi ad − bc 6= 0.

Exercice 8 Soit

E = {(f

: x 7→ (ax + b)e

) ∈ F( R , R ) : a, b ∈ R }.

1. D´ emontrer que E est un R -espace vectoriel en donner une base.

2. D´ emontrer que l’ensemble F des fonctions f

monotones sur R est un sous-espace vectoriel de E. En donner une base.

Exercice 9 Soit K un corps et (P

)

une famille de polynˆ omes non nuls dans K[X ] de degr´ es deux ` a deux distincts. Montrer que la famille est libre.

Exercice 10 Soit E un K-ev et f ∈ L(E). Si x ∈ E et k ∈ N

v´ erifient f

(x) = 0 et f

(x) 6= 0, montrer que (x, f(x), . . . , f

(x)) est une famille libre.

Exercice 11 Pour tout a ∈ R , on note ϕ

la fonction de R dans R qui ` a x associe |x − a|. Montrer que la famille (ϕ

)

est libre.

Exercice 12 Pour tout a ∈ C , on note ϕ

la fonction de R dans C qui ` a x associe e

. Montrer que la famille (ϕ

)

est libre.

Exercice 13 Montrer que la famille des fonctions caract´ eristiques de [a, +∞[

est une famille libre.

2

Exercice 14 Soient

F = {P ∈ R

[X] : P (−X ) = −P (X)} et G = {P ∈ R

[X] : P (−X ) = P(X )}.

Montrer que F et G sont des sous-espaces de R

[X ]. Donner une base de chacun d’entre eux.

Exercice 15 Soit V ⊂ C

( R , R ) le R -espace vectoriel engendr´ e par les fonc- tions f

= x, f

= e

, f

= xe

et f

= (x + 1)e

. Montrer que la famille (f

, . . . , f

) est li´ ee, donner une base de V .

Exercice 16 Soit V le sous-espace vectoriel de R

engendr´ e par les vecteurs v

= (1, 0, 1, 0), v

= (0, 1, 0, 1), v

= (1, 1, 0, 0) et v

= (0, 0, 1, 1).

1. Donner une base de V et l’´ etendre en une base de R

.

2. Trouver une ´ equation cart´ esienne de V (dans la base canonique).

Exercice 17 Consid´ erons les deux sous-espaces vectoriels U = {(x, y, z) ∈ R

: x + 2y + 3z = 0} et V = {(x, y, z) ∈ R

: 3x + 2y + z = 0}. D´ eterminer une base de U , de V et de U ∩ V .

Exercice 18 Soit K un corps, n ≥ 1 un entier et x

, . . . , x

∈ K des ´ el´ ements deux ` a deux distincts. Pour tout i ∈ {1, . . . , n}, consid´ erons le polynˆ ome

f

= Y

j6=i

X − x

x

− x

∈ K[X ].

1. Montrer que B = {f

, . . . , f

} est une base de K

[X ].

2. Montrer que les coordonn´ ees de f ∈ K

[X] dans la base B sont ´ egales

`

a (f (x

), . . . , f(x

)).

Exercice 19 D´ eterminer les couples de (a, b) ∈ R pour lesquels le syst` eme d’´ equations lin´ eaires







ax + by + az = 0 x + aby + z = 0 ax + y + bz = 0

admet des solutions non triviales. Dans chacun des cas, donner une base de l’espace des solutions.

Exercice 20 Soit ϕ : R → R . On dira que ϕ est de signe constant si ϕ( R ) ⊂ R

ou ϕ( R ) ⊂ R

. D´ eterminer tous les sous-espaces vectoriels des fonctions de R dans R dont tous les ´ el´ ements sont de signe constant.

Exercice 21 Soit E un sous-espace vectoriel de K

[X ]. Montrer que E admet une base constitu´ ee de vecteurs de degr´ e deux ` a deux diff´ erents et une base constitu´ ee de vecteurs de mˆ eme degr´ e. Que dire du cardinal de l’image de E par l’application degr´ e.

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