Exercice 1 Soit

UNIVERSIT ´ E PIERRE ET MARIE CURIE Anne 2007-2008

MIME 23-24 LM 125

Feuille d’exercices 3 : Familles libres, familles g´ en´ eratrices, bases

Exercice 1 Soit

E = {f

: x 7→ (ax + b)e

∈ F( R , R ) : a, b ∈ R }.

1. D´ emontrer que E est un R -espace vectoriel. En donner une base.

2. D´ emontrer que l’ensemble F des fonctions f

monotones sur R est un sous-espace vectoriel de E. En donner une base.

Exercice 2 Soit E un sous-espace vectoriel de K[X ], de dimension n. Montrer que E admet une base constitu´ ee de vecteurs de degr´ e deux ` a deux diff´ erents et une base constitu´ ee de vecteurs de mˆ eme degr´ e. Que dire du cardinal de l’image de E par l’application degr´ e.

Exercice 3 Montrer que (1, X − 2, (X − 2)

, (X − 2)

) est une base de R

[X], puis donner les composantes de P = 5X

+ 3 dans cette base.

Exercice 4 Soient

F = {P ∈ R

[X ] : P (−X ) = −P (X )} et G = {P ∈ R

[X] : P (−X ) = P (X)}.

Montrer que F et G sont des sous-espaces de R

[X ]. Donner une base de chacun d’entre eux.

Exercice 5 Soit ∈ N , n ≥ 4. Dans R

[X ], on consid` ere

F = {P ∈ R

[X ] : P(1) = P (2) = P (i) = 0}.

1. Montrer que F est un sous-espace de R

[X]. Donner une base de F.

2. Donner un suppl´ ementaire de F.

Exercice 6 Soit n ∈ N

. Dans C [X], ´ etudier l’ind´ ependance lin´ eaire des polynˆ omes non nuls suivants : 1. P

, ..., P

dont les degr´ es sont distincts deux ` a deux ;

2. Q

= (X − a)

(X − b)

, 0 ≤ k ≤ n, o` u a et b sont deux nombres complexes distincts.

D´ eduire de la question 1 que si Q

,...,Q

sont des polynˆ omes tels que degQ

= i pour tout i alors Q

,...,Q

constituent une base de C

[X ].

Exercice 7 Soit K un corps, n ≥ 1 un entier et x

, . . . , x

∈ K des ´ el´ ements deux ` a deux distincts. Pour tout i ∈ {1, . . . , n}, consid´ erons le polynˆ ome

L

= Y

j6=i

X − x

x

− x

∈ K[X ].

1. Montrer que B = {L

, . . . , L

} est une base de K

[X ].

2. Montrer que les coordonn´ ees de P ∈ K

[X ] dans la base B sont ´ egales ` a (P (x

), . . . , P (x

)).

Exercice 8 Pour tout a ∈ R , on note ϕ

la fonction de R dans R qui ` a x associe |x− a|. Montrer que la famille (ϕ

)

est libre.

Exercice 9 Pour toute partie A de R , on pose pour tout x ∈ R : χ

(x) =

0 si x / ∈ A

1 si x ∈ A . Montrer que la famille des fonctions χ

a∈R

est une famille libre.

1

Exercice 10 Soit S l’espace vectoriel des suites r´ eelles et

F = {(u

) ∈ S : u

+ u

= 0 pour tout n ≥ 0}.

Montrer que F est un sous-espace vectoriel de dimension finie. En donner une base.

Exercice 11 Soit S l’espace vectoriel sur R des suites r´ eelles et

F = {(u

) ∈ S : ∀n ∈ N , u

= u

+ u

}.

Montrer que F est un sous-espace vectoriel de S. En donner une base form´ ee de suites g´ eom´ etriques. Pour une suite (u

) ∈ S donn´ ee, d´ eterminer les composantes de (u

) dans la base pr´ ec´ edente en fonction de u

et u

. Exercice 12 Soit V ⊂ C

( R , R ) le R -espace vectoriel engendr´ e par les fonctions f

= x, f

= e

, f

= xe

et f

= (x + 1)e

. Montrer que V est de dimension 3 et en donner une base.

Exercice 13 Soit C

( R , R ) l’espace vectoriel sur R des fonctions de R dans R de classe C

. On consid` ere E = {y ∈ C

( R , R ) : y

= 3y

− 2y}.

Montrer que E est un sous-espace vectoriel de C

( R , R ). Donner une base de E. Pour y ∈ E donn´ ee, d´ eterminer les composantes de y dans la base pr´ ec´ edente en fonction de y(0) et y(1).

Exercice 14 Montrer que les vecteurs (a, b) et (c, d) forment une base de R

si et seulement si ad − bc 6= 0.

Exercice 15 Soit (a, b, c, d) la base canonique de R

. Soient E = Vect(a, b + c + d), F = Vect(b, a + c + d), G = Vect(c, a + b +d) et H = Vect(d, a + b + c). Quelle est la dimension de ces sev ? D´ eterminer E ∩ F ∩ G ∩ H . Exercice 16 Soit V le sous-espace vectoriel de R

engendr´ e par les vecteurs v

= (1, 0, 1, 0), v

= (0, 1, 0, 1), v

= (1, 1, 0, 0) et v

= (0, 0, 1, 1).

1. D´ eterminer la dimension de V , en donner une base et l’´ etendre en une base de R

. 2. Trouver une ´ equation cart´ esienne de V (dans la base canonique).

Exercice 17 Consid´ erons les deux sous-espaces vectoriels U = {(x, y, z) ∈ R

: x + 2y + 3z = 0} et V = {(x, y, z) ∈ R

: 3x + 2y + z = 0}. D´ eterminer une base de U , de V et de U ∩ V .

Exercice 18 D´ eterminer les couples de (a, b) ∈ R pour lesquels le syst` eme d’´ equations lin´ eaires







ax + by + az = 0 x + aby + z = 0 ax + y + bz = 0

admet des solutions non triviales. Dans chacun des cas, donner une base de l’espace des solutions.

Exercice 19 Soient E un espace vectoriel sur un corps K de dimension finie, F

,...,F

des sous-espaces vecto- riels de E et F

,...,F

des parties g´ en´ eratrices finies de F

,..., F

respectivement.

1. Montrer les ´ equivalences suivantes :

(a) (∪

F

est une partie g´ en´ eratrice de E) ⇐⇒ ( E = F

+ ... + F

) (b) (∪

F

est libre) ⇐⇒ (F

,...,F

sont en somme directe)

(c) (∪

F

est une base de E) ⇐⇒ ( E = F

⊕ ... ⊕ F

).

2. Supposons E = R

, F

= vect{(1, 1, 0, 0, 0); (1, −1, 0, 0, 0)}, F

= vect{(0, 0, 2, 1, 0); (0, 0, 1, 2, 0)} et F

= vect{(0, 0, 0, 0, 1)}. Montrer que E = F

⊕ F

⊕ F

.

Exercice 20 Soit E un K-ev et f ∈ L(E). Si x ∈ E et k ∈ N

v´ erifient f

(x) = 0 et f

(x) 6= 0, montrer que (x, f(x), . . . , f

(x)) est une famille libre.

Exercice 21 Soit E un K-ev de dimension finie et soient F et G deux sev de mˆ eme dimension. Montrer que F et G ont un suppl´ ementaire commun.

Exercice 22 Soit E un K-ev de dimension finie n et u ∈ L(E). Montrer que

Ker(u) = Im(u) si et seulement si u ◦ u = 0 et n = 2rang(u).

Exercice 23 Soient f, g ∈ L(E) o` u E est un K-ev de dimension finie. Montrer que

|rang(f ) − rang(g)| ≤ rang(f + g) ≤ rang(f ) + rang(g).

Exercice 24 Soient f ∈ L(E, F ) et g ∈ L(G, E ) o` u E, F et G sont des K-ev de dimensions finies. Montrer que

rang(f ◦ g) ≥ rang(f ) + rang(g) − dim(E).

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