Par convention, une des deux issues, de probabilit´ e p avec 0 < p < 1, est appel´ ee succ` es (not´ ee S) et l’autre est appel´ ee ´ echec (not´ ee S).

Loi Binomiale

B ILAN DE LA FICHE 1

Epreuve et loi de Bernoulli ´

n On dit qu’une exp´ erience al´ eatoire ` a deux issues est une ´ epreuve de Bernoulli

Par convention, une des deux issues, de probabilit´ e p avec 0 < p < 1, est appel´ ee succ` es (not´ ee S) et l’autre est appel´ ee ´ echec (not´ ee S).

Issue S S

Probabilit´ e p 1 − p

n On dit que la variable al´ eatoire prenant la valeur 1 en cas de succ` es et la valeur 0 en cas d’´ echec suit la loi de Bernoulli de param` etre p.

Dans l’exemple introductif de la fiche 1 le tirage d’une boule de l’urne est une ´ epreuve de Bernoulli car il y a deux issues, avec p = 0,3 en prenant

Rouge

comme succ` es et

Vert

comme ´ echec.

Sch´ ema de Bernoulli

On consid` ere une ´ epreuve de Bernoulli dont la probabilit´ e de succ` es est p.

La r´ ep´ etition n fois (o` u n ∈ N <sup>∗</sup> ), de fa¸ con ind´ ependante, de cette ´ epreuve de Bernoulli est appel´ ee sch´ ema de Bernoulli de param` etres n et p.

Exemple

Dans l’exemple de la fiche 1, si l’on note S le succ` es ( c’est ` a dire obtenir une boule rouge) et E l’´ echec ( c’est ` a dire obtenir une boule verte) on obtient le sch´ ema de Bernoulli de param` etre 4 et 0, 3

Annexe 1 :

S

S

S

S E

E

S E

E

S

S E

E

S E

E

S

S

S E

E

S E

E

S

S E

E

S E 0,3

0,3

0,3

0,3 0,7

0,7

0,3 0,7

0,7

0,3

0,3 0,7

0,7

0,3 0,7

0,7

0,3

0,3

0,3 0,7

0,7

0,3 0,7

0,7

0,3

0,3 0,7

0,7

0,3 0,7

C OMPTER LE NOMBRE DE BRANCHES A ` k SUCC ` ES

k parmi n

On calcule, par exemple, la probabilit´ e d’avoir 3 succ` es en effectuant : nombre de branches ` a 3 Succ` es × 0, 3 ³ × 0, 7 ¹ .

La deuxi` eme partie du calcul est ais´ ement g´ en´ eralisable, nous allons donc nous int´ eresser au calcul du nombre de branches ` a k succ` es dans un arbre ` a n niveaux de profondeur.

Cette quantit´ e sera not´ ee :

n

k

( k parmi n)

On admettra de plus que : pour tout n entier strictement positif :

n

0

= 1

Ces coefficients sont appel´ es : Coefficients binomiaux

Quelques essais

En construisant des arbres ` a 1 ,2 , 3 profondeurs et en utilisant l’arbre ci-dessus (profondeur 4) compl´ eter le tableau ci-dessous :

tableau ` a compl´ eter n ^k 0 1 2 3 4 5

1 1 1

2 1

3 1

4 1

5 1

n ^k 0 1 2 3 4 5

1



 1 0







 1 1





2



 2 0







 2 1







 2 2





3



 3 0







 3 1







 3 2







 3 3





4



 4 0







 4 1







 4 2







 4 3







 4 4





5



 5 0







 5 1







 5 2







 5 3







 5 4







 5 5





Une formule de calcul

1. En observant le tableau donner une formule permettant de calculer n

k

`

a partir de

n − 1 k

et n − 1

k − 1

2. Justifier cette formule

3. Rajouter une ligne n = 6 dans le tableau ci-dessus

Utilisation de la calculatrice

Introduction

la formule pr´ ec´ edente permet de programmer les calculs des coefficients binomiaux.

Votre calculatrice dispose donc d’un outil permettant de calculer les coefficients binomiaux M´ ethode

Objectif : d´ eterminer 7

3

avec la calculatrice.

Calculatrice TI

On saisit 7 Combinaison 3 o` u Combinaison s’obtient en :

— appuyant sur la touche

— choisissant PRB

— choisissant 3 :Combinaison

Calculatrice CASIO On saisit 7C3

o` u C s’obtient en :

— appuyant sur la touche

— choisissant puis

— choisissant On obtient

7 3

= · · · ·

1. Calculer de mˆ eme :

10 6

= · · · · et 10

4

= · · · · 2. Ces valeurs sont ´ egales. Comment peut on g´ en´ eraliser cette formule ?

A PPLICATION : LOI BINOMIALE

D´ efinition

On r´ ep` ete n fois de mani` ere ind´ ependante une ´ epreuve de Bernoulli .

On consid` ere alors la variable al´ eatoire qui donne le nombre de succ` es obtenus.

X prend les (n + 1) valeurs enti` eres de 0 ` a n Pour tout k nombre entier compris entre 0 et n :

P [X = k] =

n

k

× p ^k (1 − p) ^n−k

On dit que X suit la loi binomiale de param` etre n et p . Elle est not´ ee B (n, p)

´E TUDE D ’ UN EXEMPLE

Probl´ ematique

On lance 10 fois de suite un d´ e ` a 6 faces.

On suppose que les lancers successifs sont ind´ ependants . on s’int´ eresse au nombre de 6 obtenus .

Mod´ elisation math´ ematique

Lorsque l’on jette un d´ e on a deux ´ eventualit´ es :

— On obtient le 6 (”Succ` es”) avec une probabilit´ e

— On n’ obtient pas le 6 (”Echec”) avec une probabilit´ e

On r´ ep` ete fois de mani` ere ind´ ependante cette ´ epreuve de Bernoulli . On note X la variable al´ eatoire qui donne le nombre de succ` es obtenu . X suit une loi binomiale de param` etre et . On note X = B

10, 1

6

Quelques calculs

1. La probabilit´ e d’obtenir 4 fois le 6 est donn´ ee par P[X = 4] =

10 4

× 1

6 4

× 5

6 6

.

Calculer cette probabilit´ e

2. D´ eterminer la probabilit´ e d’obtenir 10 fois le 6.

3. D´ eterminer la probabilit´ e d’obtenir au moins 1 fois le 6 . Il peut ˆ etre utile de passer au compl´ ementaire

E XERCICE 1

Lors d’un examen, un questionnaire ` a choix multiple (Q.C.M) est utilis´ e.

On s’int´ eresse ` a cinq questions de ce (Q.C.M) suppos´ ees ind´ ependantes.

A chaque question sont associ´ ees quatre affirmation, num´ erot´ ees 1 , 2 , 3 et 4 , dont une seule est exacte.

Un candidat doit r´ epondre ` a chaque question en donnant seulement le num´ ero de l’affirmation qu’il juge exacte. Sa r´ eponse est correcte si l’affirmation qu’il a retenue est vraie, sinon sa r´ eponse est incorrecte.

Un candidat r´ epond ` a chaque question au hasard, c’est ` a dire qu’il consid` ere que les quatre affirmations correspondantes sont ´ equiprobables.

on note X la variable al´ eatoire qui donne le nombre de r´ eponses justes lorsque l’on r´ epond au hasard.

1. On admet que la variable al´ eatoire X suit une loi binomiale (a) Quelles sont les deux issues possibles ?

(b) Dans cette probl´ ematique quelle sera l’issue que l’on appellera Succ` es ? Quelle est sa probabilit´ e ?

(c) Combien de fois r´ ep` ete-t-on cette ´ epreuve ` a deux issues ?

(d) X suit donc une loi binomiale de param` etre n = · · · · et p = · · · · .

X = B(· · · · ; · · · · )

2. Calculer la probabilit´ e que le candidat qui r´ epond au hasard ait r´ epondu correctement ` a trois des cinq questions

R´ eponse : P (X = 3) ≈ 0, 08 3. Calculer la probabilit´ e que le candidat ait r´ epondu correctement ` a moins de trois questions sur les

cinq questions .

R´ eponse : P (X ≤ 3) ≈ 0, 98 4. Question ` a prise d’initiative

Pour noter le professeur attribue 4 points ` a toute r´ eponse correcte et −1 point ` a toute r´ eponse incorrecte.

Calculer la probabilit´ e que le candidat ait obtenu une note au moins ´ egale ` a 10 pour l’ensemble des cinq questions du devoir.

E XERCICE 2

Une entreprise de produits bio fabrique, en tr` es grande quantit´ e, des g´ elules dont la masse est exprim´ ee en milligrammes.

On admet que 4% des g´ elules de ce type produites par l’entreprise ne sont pas acceptables car leur masse est trop petite. On choisit au hasard un lot de 10 g´ elules dans la production de la journ´ ee.

La production est suffisamment importante pour que l’on puisse assimiler ce pr´ el` evement ` a un tirage avec remise de 10 g´ elules.

On consid` ere la variable al´ eatoire X qui, ` a tout pr´ el` evement de 10 g´ elules, associe le nombre de g´ elules non acceptables pour la masse.

Sauf indication particuli` ere, les r´ esultats seront arrondis au milli` eme.

Partie A

1. On admet que la variable al´ eatoire X suit une loi binomiale (a) Quelles sont les deux issues possibles ?

(b) Dans cette probl´ ematique quelle sera l’issue que l’on appellera Succ` es ? Quelle est sa probabilit´ e ?

(c) Combien de fois r´ ep` ete-t-on cette ´ epreuve ` a deux issues ?

(d) X suit donc une loi binomiale de param` etre n = · · · · et p = · · · · . X = B(· · · · ; · · · · )

2. Calculer ( En utilisant votre calculatrice) la probabilit´ e que, dans un tel pr´ el` evement de 10 g´ elules, une g´ elule et une seule ne soit pas acceptable pour la masse.

R´ eponse : P (X = 1) ≈ 0, 277 3. Calculer la probabilit´ e que, dans un tel pr´ el` evement de 10 g´ elules, il y ait moins de 3 g´ elules qui ne

soient pas acceptables pour la masse.

C’est ` a dire une masse trop petite (arrondir au dix milli` eme).

R´ eponse : P (X ≤ 3) ≈ 0, 9996 4. Calculer la probabilit´ e que, dans un tel pr´ el` evement de 10 g´ elules, au moins une g´ elule ne soit pas

acceptable pour la masse.

R´ eponse : P(X ≥ 1) ≈ 0, 335

Partie B :Commentaires de diff´ erents responsables dans l’entreprise.

1. Commenter la remarque du responsable du conditionnement dans cette entreprise qui dit :

avec un

taux de non-conformit´ e de 4 % par g´ elule, si nous conditionnons les g´ elules par sachet de 10, nous

aurons moins de 70 % de nos sachets qui ne comporteront que des g´ elules acceptables

. R´ eponse :Il a raison car P (X = 0) ≈ 0, 665

2. . Commenter la remarque du responsable marketing dans cette entreprise qui dit :

avec un taux de non-conformit´ e de 4 % par g´ elule, si nous conditionnons les g´ elules par sachet de 10, nous aurons au moins 95 % de nos sachets qui comporteront 9 ou 10 g´ elules conformes

. R´ eponse :Il n’a pas math´ ematiquement raison car P (X ≤ 1) ≈ 0, 942

E XERCICE 3

Jo la science joue aux ´ echecs contre un ordinateur et la probabilit´ e qu’il gagne une partie est 0,65.

Il d´ ecide de jouer sept parties contre l’ordinateur.

On suppose que le r´ esultat de chaque partie est ind´ ependant des autres.

On note X la variable al´ eatoire donnant le nombre de parties qu’il gagne contre l’ordinateur sur les sept.

1. (a) Expliquer pourquoi X suit une loi binomiale dont on pr´ ecisera les param` etres n et p.

(b) Quelle est la probabilit´ e qu’il gagne exactement trois parties ? (c) Quelle est la probabilit´ e qu’il gagne plus de la moiti´ e des parties ?

2. Il d´ ecide de changer le niveau de difficult´ e en

expert

et la probabilit´ e qu’il gagne une partie contre l’ordinateur devient 0, 05.

Il d´ ecide de jouer ` a nouveau une s´ erie de sept parties contre l’ordinateur. Quelle est la probabilit´ e

qu’il en gagne au moins une ?