Cours Premi`ere S2
Loi binomiale
LOI DE BERNOULLI Epreuve de Bernoulli´
Lorsque dans une exp´erience al´eatoire, on s’int´eresse uniquement `a la r´ealisation d’un certain
´ev´enement S (appel´e succ`es) ou `a sa non r´ealisation (appel´e ´echec) on dit que cette exp´erience est une ´epreuve de Bernoulli .
Il s’agit donc une exp´erience qui ne pr´esente que 2 issues possibles (succ`es ou ´echec).
D´efinition
Exemples
— Jouer `a pile ou face
— Aimer ou ne pas aimer les Math´ematiques
— Etre une pi`ece d´efectueuse ou ˆetre une pi`ece en ´etat de fonctionnement
Loi de Bernoulli
A une ´epreuve de Bernoulli, on associe la variable al´eatoire X qui `a un succ`es associe 1 et `a un ´echec associe 0.
Ce type de loi est appel´ee loi de Bernoulli .
Une loi de Bernoulli prend donc deux valeurs 0 et 1
Il existe donc un nombre r´eel p (0≤p≤1) tel que : P (X = 1) =p et P (X = 0) = 1−p=q
Cette loi est en g´en´eral not´eeB(p) et est appel´ee Loi de Bernoulli de param`etre p
D´efinition
On consid`ere une loi Loi de Bernoulli de param`etre p
— E[X] = p
— V[X] = p(1−p)
— σX =p
p(1−p)
Propri´et´e
En effet :
— E[X] = 1×p+ 0×(1−p) = p
— V[X] = (1−p)2 ×p+ (0−p)2 ×(1−p) = p(1−p)2 +p2(1−p) = p(1−p)(1 −p+p) = p(1−p)
1 30 avril 2018
Cours Premi`ere S2
LOI BINOMIALE
On r´ep`ete n fois de mani`ere identique une ´epreuve de Bernoulli .
On consid`ere alors la variable al´eatoire qui donne le nombre de succ`es obtenus.
X prend les (n+ 1) valeurs enti`eres de 0 `a n Pour tout k nombre entier compris entre 0 et n :
P [X = k] =
n
k
pk(1 − p)n−k
n k
repr´esentant le nombre de branches de l’arbre de probabilit´e de profondeur n associ´e
`
a l’exp´erience al´eatoire qui m`enent `a k succ`es.
(Voir fiche d’activit´e). Ces valeurs sont appel´ees coefficients binomiaux On dit que X suit la loi binomiale de param`etre n etp . Elle est not´ee B(n, p)
D´efinition
les lois binomiales correspondent au mod`ele de tirage successif avec remise dans une urne.
C’est en effet le seul des trois types de tirage qui garantit l’ind´ependance.
Remarque
On consid`ere une loi Loi Binomiale B(n, p) . On pose q= 1−p
— E[X] = n × p
— V [X] = n × p × q
— σX = √
n × p × q
Propri´et´e ( admise)
Pour obtenir les coefficients binomiaux ou des probabilit´es dans le cas des lois binomiales on utilise en g´en´erale la calculatrice.
Utilisation de la calculette
2 30 avril 2018
Cours Premi`ere S2
UN EXEMPLE
On lance 10 fois de suite un d´e `a 6 faces.
On suppose que les lancers successifs sont ind´ependants . 1 D´eterminer la probabilit´e d’obtenir 4 fois le 6.
Lorsque l’on jette un d´e on a deux ´eventualit´es :
— On obtient le 6 (”Succ`es”) avec une probabilit´e 1 6
— On n’ obtient pas le 6 (”Echec”) avec une probabilit´e 5
On r´ep`ete 10 fois de mani`ere ind´ependante cette ´epreuve de Bernoulli .6 On note X la variable al´eatoire qui donne le nombre de succ`es obtenu . X suit une loi binomiale de param`etre 10 et 1
6. On a donc : X =B
10,1
6
La propri´et´e du cours permet d’affirmer que :
P[X = 4] = 10
4
1 6
4
× 5
6 6
donc : P[X = 4] = 210× 1 64 × 56
66 donc : P[X = 4]≈0,054
2 D´eterminer la probabilit´e d’obtenir 10 fois le 6.
P[X = 10] = 10
10 1 6
10
× 5
6 0
donc : P[X = 10] = 1× 1
610 ≈1,7×10−8
3 D´eterminer la probabilit´e d’obtenir au moins 1 fois le 6 .
P[X ≥1] =P[X = 1] +P[X = 2] +P[X = 3] +P[X = 4] +P[X = 5] +P[X = 6]
Ce calcul est un peu long `a mettre en place.
Il est plus efficace de calculer en passant au compl´ementaire : P[X ≥1] = 1−P[X = 0] = 1−
10 0
1 6
0
× 5
6 10
donc : P[X ≥1] = 1−1× 5
6 10
≈0,84
3 30 avril 2018
Cours Premi`ere S2
PROPRI´ET´E DES COEFFICIENTS BINOMIAUX
1 Pour tout n dans Ndiff´erent de 0 et pour tout k de N inf´erieur ou ´egal `an on a : n−1
k
+
n−1 k−1
= n
k
. Cette propri´et´e montre que l’on peut obtenir les coefficients binomiaux `a l’aide du triangle de Pascal
2 Pour tout n dans Ndiff´erent de 0 et pour tout k de N inf´erieur ou ´egal `an on a : n
k
=
n−k n
Propri´et´es ( admise)
En math´ematiques, le triangle de Pascal est un arrangement g´eom´etrique des coefficients binomiaux dans un triangle. `A la ligne k et `a la colonnen (06k 6n) est plac´e le coefficient binomial n
k
4 30 avril 2018
