1er mai 2012
Hydrostatique
(lecture, ne sera pas demand´e aux examens)En hydrostatique, les forces qui s’exercent sur un ´el´ement de fluide sont :
• les forces de volume `a longue port´ee ;
exemple : forces de gravitation, ´electromagn´etiques, forces fictive (par exemple dans une centrifugeuse...)
• les forces de surface normales uniquement, un fluide ne pouvant pas r´esister `a l’action des forces tangentielles qui le mettraient en mouvement (nous sommes en hydrostatique).
Application : Fluide au repos sous l’effet de la gravitation.
Tension superficielle
(pourra ˆetre demand´e aux examens)La force de tension superficielle tend `a rendre minimale l’aire de l’interface entre 2 milieux :
pour une lame de liquide, F = 2γ12L ou δW = |{z}2
2interf aces
γ12dS Goutte ou bulle : il existe une surpression dans la goutte (ou la bulle) de rayon R que compense les forces de tension superficielles :
pour une goutte : ∆P = 2γ12
R , pour une bulle : ∆P = 4γ12 R
A l’interface entre trois milieux, pour avoir l’´equilibre (nous sommes en “statique”), la somme des forces de tensions superficielles doˆıt ˆetre nulle. Par cons´equent :
~γ12 + ~γ23 + ~γ31 = 0
ce qui n’est pas toujours le cas. Si l’´equation pr´ec´edente n’est pas satis- faite, un des fluides “s’´etale” ´eventuellement jusqu’`a former des pellicules de quelques ´epaisseurs atomiques ou mol´eculaires.
Ascension capillaire : La diff´erence de pression entre l’ext´erieur et l’int´erieur du m´enisque (voir plus haut) est compens´ee par la pression hy- drostatique de la colonne de fluide, d’o`u une ascension (ou une d´epression) capillaire (effet Jurin).
θ
1 3
2
2a H
R a
θ
θ Paroi du tube
Ménisque
Diff. de pression entre int´erieur et ext´erieur du m´enisque : ∆P = 2γ23
Pression de la colonne de fluide : ρgHR ρ : masse sp´ecifique du fluide.
∆P = ρgH H = 2 (γ12 − γ31)
a g ρ
Hydrodynamique : loi de Bernoulli
Approche d’Euler : le mouvement du fluide est donn´e par la connais- sance de la vitesse de tous les ´el´ements de fluide en tout instant t. Nous nous limitons aux ´ecoulements stationnaires.
L’´ecoulement est laminaire : on peut d´efinir des lignes de courant, lignes tangentes aux vecteurs vitesses et des tubes de courant, ensemble des lignes de courant s’appuyant sur une courbe ferm´ee.
Equation de continuit´e : elle exprime la conservation du fluide. Ici, nous choisissons un fluide incompressible. Dv = S v = cst
Th´eor`eme de Bernoulli pour l’´ecoulement d’un fluide parfait.
Nous nous limitons ici `a l’´ecoulement d’un fluide parfait, c.`a.d. un fluide pour lequel la viscosit´e peut ˆetre n´eglig´ee.
1
2 ρ v2 + ρ g y + P = constant le long d’une ligne de courant.
Le Th´eor`eme de Bernoulli exprime la conservation de l’´energie : le fluide ´etant sans frottement (parfait), le travail des forces ext´erieures (les forces de pression qui le poussent) fait varier son ´energie m´ecanique (termes ρ g h et 12ρ v2) .
