C.1- Lois discrètes- Loi de Bernoulli

(1)

C- Lois usuelles

(2)

C.1- Lois discrètes- Loi uniforme

Ex : E=« lancer d’un dé régulier » X=numéro apparaissant sur le dé X suit une loi uniforme de

probabilité 1/6

• Loi d’une variable aléatoire X prenant ses valeurs dans {1,…,n}

avec la même probabilité:

( ) 1 {1, 2,... }

P X = =x ∀ ∈x n

Eléments de calcul pour l’espérance et la variance :

• Moments :

( ) 1 {1, 2,... }

P X x x n

= = n ∀ ∈

1 2 1

( ) ; ( )

2 12

n n

E X = + V X = −

( 1) ( 1)(2 1)

; ²

2 6

1 1

n n n n n n n

i i

+ + +

= =

∑ ∑

= =

(3)

C.1- Lois discrètes- Loi de Bernoulli

• Loi :

• Moments

E: Tirage dans une urne de

Bernoulli ayant une proportion p de boules rouges. q=1-p

( ) ^x 1 ^x, {0,1}

P X = =x p q ⁻ x∈ ( )

X ∼ B p ⇔

• Moments p

X=nombre de boules rouges

Rq :

( ) ; ( )

E X = p V X = pq

A

Fonction indicatrice de A : 1 ( ) 1

0

1_A ( ( ))

x A

x x A

X P A

∈

=

 ∉

= ∼ B

(4)

C.1- Lois discrètes- Loi Binomiale

• Loi :

Moments :

E: n tirages avec remise dans une urne de Bernoulli ayant une proportion p de boules rouges

( ) ^x ^x ^{n x} {0,..., }

P X ^{= =}x

C

np q ⁻ ^{∀ ∈}x n ( , )

X ∼ B n p ⇔

n

• Propriétés Si n>50 et p<0.1 Si n>50 et p>0.1

X=nombre de boules rouges Outils :

( ) ; ( )

E X = np V X = npq

( ) X ≈P np

(

^,

)

X ≈ N np npq

1 1

2 2 1 2 1 2

1 2

( , )

( , ) ( , )

X n p

X n p X X n n p

X X



⇒ + +



⊥ 

∼

∼ ∼

B

B B ⁰

1 1

!

!( )!

1

x n

n x x n x

n x

x x

n n

n x n x

p q n x

C C

−

=

−

= −

=

∑

(5)

C.1- Lois discrètes- Loi de Poisson

• Loi : • Ex : nombre de personnes se

présentant à l’arrêt de bus après une durée λ.

( ), 0 X ∼P

λ λ

> ⇔

( ) ,

!

x

P X x e x

x

λ

= = − ∀ ∈N

• Moments

• Propriétés : Si λ grand,

• Outils :

( ) ( )

E X =V X =

λ

( , ) X ≈ N

λ λ

1 1

2 2 1 2 1 2

1 2

( )

( ) ( )

X

X X X

X X

λ

λ λ λ



⇒ + +



⊥ 

∼

∼ ∼

P

P P

0 !

x

x e

λ

λ +∞

=

∑

=

(6)

C.1- Lois discrètes- Loi Binomiale négative

• Loi : E: tirages avec remise dans une

urne de Bernoulli ayant une proportion p de boules rouges

( ) ^x 1 ^r ^x

P X ^{= =}x

C

x r^{+ −} p q ^{∀ ∈}x ^N ( , )

X ∼ BN r p ⇔

• Moments :

X=nombre de boules blanches précédent la r° boule rouge Outils:

( ) ; ( )

²

rq rq

E X V X

p p

= =

1 0

x r x 1

x r x

C

p q

∞

= + −

∑

=

(7)

C.1- Lois discrètes- Loi Géométrique

• Loi :

• Moments :

E: tirages avec remise dans une urne de Bernoulli ayant une proportion p de boules rouges

( ) ^x 1

P X = =x pq ⁻ ∀ ∈x N ( )

X ∼G p ⇔

• Moments :

• Outils

X=rang de la 1° boule rouge

très utilisé en durée de vie et en biologie.

( ) 1 ; ( )

²

E X V X q

p p

= =

0

1 1

x x

p p

∞

=

= −

∑

(8)

C.1- Lois discrètes- Loi Hypergéométrique

• Loi : E: n tirages sans remise dans une

urne de Bernoulli ayant une proportion p de boules rouges

( ) {0,..., }

x n x

Np N Np

n N

P X x

C C

x n

C

−

= = − ∀ ∈

( , N, ) X ∼H n p ⇔

N n

• Moments :

• Propriétés

Si N>>n (N>10n)

X=nombre de boules rouges

( ) ; ( )

1 N n

E X np V X npq

N

= = −

−

( , ) X ≈ B n p

(9)

C.2- Lois continues- Loi uniforme

• Loi : • Propriétés

[ , ] 1 1

( ) 1

0 sinon

a x b

X a b

a x b

f x b a

b a ^{≤ ≤}

⇔

 ≤ ≤

= = −

− 

∼ U

[ , ] X a [0,1]

X a b

b a

⇔ −

∼ U − ∼ U

f

• Moments

• Fonction de répartition

0 sinon b−a 

( )²

( ) ; ( )

2 12

a b b a

E X = + V X = −

0 ( )

1

x a x a

F x a x b

b a

x b

<

 −

=  ≤ ≤

 −

 >

a b

1/(b-a)

a b

F

(10)

C.2- Lois continues- Loi normale

• Loi X ∼ N( , )

µ σ

⇔

1 2

( ) ,

2

x

f x e x

µ σ

σ π

−

 

−  

 

= ∀ ∈R

m=0 S=1

m=1,S=1

• Moments

• Propriétés :

( ) ; ( ) ²

E X =

µ

V X =

σ

1 1 1

2 2

2 2 2 1 2 1 2 1 2

1 2

( , )

( , ) ( , )

X N

X N X X N

X X

µ σ

µ σ µ µ σ σ



⇒ + + +



⊥ 

∼

∼ ∼

( , ) X m (0,1)

X N m

σ

U N

σ

⇔ = −

∼ ∼

m

(11)

C.2- Lois continues- Loi normale

• Propriétés d’une v.a. U de loi normale N(0,1)

1- Ф (x) Ф (-x)

On note la fdr de U

1 1

(0) ; ( ) 0

2 2

( ) 1 ( )

(| | ) 2 ( ) 1

x x

P X x x

Φ

Φ = Φ < ⇔ <

Φ − = − Φ

< = Φ −

-x x

(12)

C.2- Lois continues- Loi log-normale

• Loi

1-F(x) F(-x)

( , ) ln( ) ( , )

X ∼ LN

µ σ

⇔ =Y X ∼ N

µ σ

• Moments

( )

2 2

2

( )

( ) 1

E X e

V X e e

µ σ

σ µ σ

+

=

= −

(13)

C.2- Lois continues- Loi exponentielle

• Loi X ∼ ε( ),

λ λ

> ⇔0

0

0 0

( ) 1

0

x

x x

f x e x

e x

λ λ

λ

⁻ ^≥

λ

⁻

<

= = 

 ≥

Loi souvent utilisée en fiabilité : durée de vie d’un composant

λ=4 λ=3

• Moments

• Fonction de répartition :

1 1

( ) ; ( )

E X V X ²

λ λ

= =

0 0

( ) 1 ^x 0

F x x

e⁻^λ x

<

= 

− ≥



λ=1

(14)

C.2- Lois continues- Loi gamma

• Loi

• Moments

( , ), 0, 0

X ∼ Γ k

θ

k >

θ

> ⇔

1

( ) 1 0

( )

k x

x e

f x k

θ

− −

= ≥

Γ

• Moments

• Propriétés Si k=1,

Si θ=2,

Si k entier, la loi de X s’appelle loi d’Erlang

Si

( ) ; ( ) 2

E X = k

θ

V X = k

θ

(1/ )

X ∼

ε θ

²(2 ) X ∼

χ

k

1

i.i.d. (1/ ) ( , )

n

i i

i

X

ε θ

Y X n

θ

=

⇒ =

∑

Γ

∼ ∼

1

( )k 0^∞t^k^{− −}e dt^t ; (k 1) k ( )k

Γ =

∫

Γ + = Γ

(15)

C.2- Lois continues- Loi du chi2

• Loi : la loi du chi2 à k ddl est la loi de la somme de n variables de loi N(0,1):

k 2

i i

i=1

²( ), * a même loi que

Z = U , U . . . (0,1)

X k k X

i i d N

χ

∈ ⇔

∑

∼

∼ N

• Moments

• Propriétés :

X à valeurs positives.

La loi de X/2 est une loi gamma(n) Lorsque k=2 X suit E(1/2)

Si k>50,

i=1

( ) ; ( ) 2

E X = k V X = k

( , 2 ) X ≈ N k k

( )

² ²

2

1

0 2

( ) 1 1

2

k x

k

f x = x ^{− −}e _≥ Γ

(16)

C.2- Lois continues- Loi de Student

• Loi :

( ), * a même loi que

T = U , U Z, U (0,1), ²( )

Z/k

X k k X

N Z

χ

k

∈ ⇔

⊥

∼

∼ ∼

T N

• Moments

• Propriétés : Si k>30 alors

T = , U Z, U (0,1), ²( )

Z/k

N Z

χ

k

⊥ ∼ ∼

(0,1) X ≈ N

( ) 0, 1 ( ) , 2

2

E X k V X k k

= > = k >

−

(17)

C.2- Lois continues- Loi de Fisher

• Loi :

1 2

1 1

1 2 1 1 2 2

2 2

( , ), * a même loi que

F = Z / , Z Z , Z ²( ), ²( )

Z /

X F n n ni X

n n Z n

n

χ χ

∈ ⇔

⊥

∼

∼ ∼

N

• Moments

• Propriété

2

2 2

2 1 2

2 2

1 2 2

( ) , 2

2

2 ( 2)

( ) , 4

( 2) ( 4)

E X n n

n

n n n

V X n

n n n

= >

−

= + − >

− −

2 2

2

(1, ) a même loi que

F = , ( )

X F n X

T T n

∼ ⇔

∼T

(18)

C-3 Simulations de lois

Théorème d’inversion

Soit F une fonction de répartition sur R. On note

l’inverse généralisé de F (vaut l’inverse habituelle lorsque F est continue

1( ) inf{ / ( ) }

F⁻ y = x∈R F x ≥ y l’inverse généralisé de F (vaut l’inverse habituelle lorsque F est continue est strictement croissante). Soit U deloi uniforme sur [0,1]. Alors,

1. a pour fonction de répartition F

2. Si F est continue sur R et X de fdr F, U=F(X) suit une loi uniforme sur [0,1].

1( ) X = F⁻ U

(19)

C-3 Simulations de lois

Simulation d’une loi continue

Simulation de n réalisations X de loi F:

– on simule n réalisations d’une loi uniforme sur [0,1] (tirage au hasard de n nombres sur cet intervalle) : u1,…,un

– On calcule . Ce sont n réalisations de X de loi F.

1,...., , _i 1( )_i

i n x F⁻ u

∀ = =

(20)

C-3 Simulations de lois

Simulation d’une loi discrète

Soit la loi de probabilité discrète d’une variable aléatoire à valeurs dans On note

et la fonction de répartition de cette loi en tout point. ¹

( )

k

k k i

i

s P X x p

=

= ≤ =

∑

(

_i ( _i )

)

1

p P X x i n

= = ≤ ≤

{ ,...,x1 x_n}.

=

∑

n

et la fonction de répartition de cette loi en tout point.

Soient n réalisations d’une variable de loi uniforme sur [0,1].

Alors

Sont n réalisations d’une variable aléatoire discrète de loi F.

1 i=

1,..., _n

u u

1 1

1

( ) 1

k k

n

k x u x

k

F u s

− − ≤ <

=

∑

1

* 1

1

1,..., , ( ) 1

k i k

n

k i k s u s

k

i n x F u x

−

− ≤ <

=

∀ = = =