La loi uniforme
I- Introduction
On choisit au hasard un nombre réel dans l’intervalle[0; 1].
Le but de cette activité est de déterminer par quelle loi de probabilité sur[0; 1]on peut modéliser ce choix.
Partie A :
Préciser à quel universΩse trouve associé cette expérience.
En quoi se distingue-t-il des univers déjà rencontrés ? Partie B :
LorsqueΩest un ensemble fini{a1, a2, ..., an}, définir une loi de probabilitéP surΩ, c’est se donner les réels P({a1}), ..., P({an}), tous positifs ou nuls et de somme 1.
Cette approche « points par points » peut-elle se généraliser ici ? 1) Conjectures :
Quelles probabilités pourrait-on associer aux événements : « obtenir 0 », « obtenir 0,5 », « obtenir2,4» ou
« obtenirπ» ?
2) Raisonnons par l’absurde :
Les issues devant être équiprobables, on pose pour tout réelxde[0; 1],P({x}) =kavec k réel fixé.
Supposonsknon nul et considérons l’événementEn={n1,n2, . . . ,nn}.
ExprimerP(En)en fonction deket den.
Montrer que pournsuffisamment grand on aP(En)>1.
Que peut-on en déduire pourk ?
Bilan : DonnerP({x})quandx∈[0; 1]et quandx /∈[0; 1].
Il convient donc dans la suite de s’intéresser à la probabilité d’un intervalle[α;β]⊂[0; 1].
Partie C : Utilisation d’un algorithme
Dans la suite on partage l’intervalle[0; 1] en dix sous-intervalles disjoints : I1 = [0; 0,1[, I2 = [0,1; 0,2[, . . ., I10= [0,9; 1[.
Écrire un algorithme donnant la fréquence de nombres aléatoires appartenant à chaque intervalleIn, n∈ {1; 2;. . .; 10}sur une série de 1000 tirages.
Programmer cet algorithme et compléter le tableau suivant :
Intervalle[α;β] [0; 0,1[ [0,1; 0,2[ [0,2; 0,3[ [0,3; 0,4[ [0,4; 0,5[ [0,5; 0,6[ [0,6; 0,7[ [0,7; 0,8[ [0,8; 0,9[ [0,9; 1[
Fréquence
Partie D :Simulation avecGe Gebra
On simule le choix de 50000 nombres au hasard dans [0; 1]puis on calcule la fréquence des nombres qui appar- tiennent à chacun des intervalles.
On représente les données par un histogramme de telle sorte que l’aire de chaque rectangle corresponde à la fréquence de la classe correspondante.
Quelle probabilité est-il naturel d’associer à chaque sous intervalle ? SoitXla variable aléatoire qui indique le nombre obtenu.
Conjecturer alors :
• P(X <0,5)
• P(X <0,2)
• P(X>0,8)
• P(0,3< X <0,8)
De manière générale, on considère l’intervalleI = [α;β]contenu dans[0; 1].
Conjecturer la valeur deP(X∈I).
Partie E :
1) Que vaut la somme des aires des rectangles de l’histogramme ?
2) Au vu de l’histogramme, on considère naturellement le carré de côté 1.
a. Quelle est l’aire, en u.a de ce carré.
b. On considère l’intervalleI = [α;β]contenu dans[0; 1].
Quelle est l’aire, en u.a, du rectangle s’appuyant sur l’intervalleI et de hauteur 1 ?
II- loi uniforme sur [0; 1]
1) Définitions et propriétés
Le choix au hasard d’un réelxdans[0; 1]est modélisé par une variable aléatoireXqui suit la loi uniforme sur [0; 1].
Définition
Si une variable aléatoireXsuit la loi uniforme sur[0; 1]alors pour tout intervalle[α;β]inclus dans[0; 1]
P(α6X 6β) =β−α . Propriété
Remarque
SiXsuit la loi uniforme sur[0; 1]alors∀x∈R,P({x}) = 0.
2) Interprétation graphique
On obtient une interprétation graphique de la probabilité précédente en considérant l’aire du rectangle grisée représenté ci-dessous.
1
0 α β 1
3) Exemple
Exemple 1 :
La machine mesurant la concentration d’une substance est déréglée et donne un nombre au hasard entre 0 et 1.
Les résultatsXaffichés par la machine suivent la loi uniforme sur[0; 1].
Déterminer la probabilité que la concentration affichée soit comprise entre 0,5 mg/l et 0,75 mg/l.
Exemple 2 :
Pierre et Paul se donne rendez-vous à minuit dans un café. Pierre décide d’arriver à 00h30 et Paul au hasard entre 0h et 1h. SoitXla variable aléatoire égale à l’heure d’arrivée de Paul.
Calculer les probabilités des événements suivants :
• A=« Paul arrive avant Pierre »
• B=« Pierre attend Paul plus de 20 min »
• C=« Pierre attend encore au moins 10 min sachant qu’il a attendu 5min »
III- loi uniforme sur [a; b]
1) Définitions et propriété
La loi uniforme sur un intervalle[a;b]modélise le choix d’un nombre réelXau hasard dans l’intervalle[a;b].
Définition
Si une variable aléatoireXsuit la loi uniforme sur[a;b]alors pour tout intervalle[c;d]inclus dans[a;b]
P(c6X 6d) = d−c b−a. Propriété
2) Interprétation graphique
On obtient une interprétation graphique de la probabilité précédente en considérant l’aire du rectangle grisée représenté ci-dessous.
a c d b
b−1a
3) Exemple
Exemple 3 :
À partir de 7 heure, les bus passent toutes les 15 minutes à un arrêt A. Un usager se présente en A entre 7h et 7h30.
On suppose que la durée entre 7h et son arrivée en A suit un loi de probabilité uniforme sur l’intervalle[0; 30].
Quelle est la probabilité qu’il attende son prochain bus : 1) moins de 5 minutes ?
2) plus de 10 minutes ?
