DEVOIR DE SYNTH`ESE # 2 LYC´EECHEBBI
2016/2017
MATH´EMATIQUES
PR : SOLTANI MOHSEN
Le sujet comporte3pages num´erot´es de1 `a3 Une copie non soign´ee sera sanctionn´ee.
Exercice1
.( 3 points)
Repondrepar "vrai" ou "faux"
1. Soit f une fontion derivablesur R , veriantl'equationdierentielle y′ =1−yln(2)et y(0) =−1
Alors : Z
1
0
f(t)= f(1)
ln(2)
2. Soitlafontionf deniesur[0;1℄par: f(x)=e
−x 2−1+
e−1
e
x 2
et(C
f
)saourberepresentative.
alors : (C
f
) admet au moins une tangente parallele al'axe des absisses.
3. Soit X une variable aleatoire qui suit une loi uniforme sur l'intervalle [0;1℄.
Alors : p(−0:4≤X ≤0:2)=0:2.
4. On onsiderela dureede vie en annees, d'un appareil menagerest une variable aleatoire T suivant
une loi exponentielle de parametre tel que p(T ≤1)=0;18.
Alors : =ln(
50
41 ) .
Exercice2
.( 3 points)
Une base de donnees d'un site de disussion ontient les dates d'insriptions des utilisateurs. Nous avons
notedepuis 2010 lenombre d'insriptions en milliers par annee.
l'annee 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016
Rang del'anneex 1 2 3 4 5 6 7
Nombre d'insriptionsy 5 6.5 8.5 10 12 13.5 14.5
1. (a) Caluler le oeÆient de orrelationlineaireentre x et y. un ajustementaÆne est-il justie.
(b) Determinerune equationde la droite de regressionde y en x.
() A ombien estimez-vousle nombre d'insription en 2020
(d) Quand estimez-vous que le nombre d'insriptions annuel depasseraun million.
2. On pose : z=ln(y).
(a) Determinerune equationde la droite de regressionde z en x.
(b) Deduireune eriturede y sous la forme y =Ae Bx
() A ombien estimez-vousle nombre d'insription en 2020.
BAC SCIENCES EXP. 1
Exercice3
.( 4 points)
Un parahutiste de 80 kg s'elaned'une altitude de 1000 m ave une vitesse vertiale initiale de 1m:s
−1 .
La vitesse V(t) du parahutiste al'instant tveriel'equationdierentielle : (E) :V
′
=−V +10.
1. (a) Determinerl'expression de V(t) al'aide de t.
(b) Quelle estla vitesse limite que peut atteindrele parahutiste?
2. Soit d(t) ( ten seond) la distane parourue par le parahutiste depuis son saut. On rappelle que :
pour tout t≥0;d′(t) =V(t).
(a) Montrer que pourtout t≥0 ; d(t)=10t−9(1−e−t) .
(b) Montrerqu'il existeununiquetdans[50:8;51℄telqued(t)=500puisdeduirea10
−1
deseonde
presl'instant t
0
au boutduquelleparahutisteatteindraunealtitudede500mo`u ildoitdelenher
son parahute.
Exercice4
.( 5 points)
A lasuite de la deouvertedans un pays A des premiers as d'une maladie ontagieuse non mortelleM,il a
ete proede dans epays a une importante ompagne de vaination :
• 70% des habitants de A on etevaines.
• 5% des vaineset 60% des non vainesont ete touhees par la maladie.
On note : M :"l'individu estmalade". V :"l'individu est vaine"
1. (a) Donner l'arbre de probabilite qui modelise ettesituation.
(b) Montrer que p(M)=0:215
() Determiner la probabilite pour qu'un individu ait ete vaine,sahant qu'il a ete atteint par ette
maladie.
2. Les sequelles laissees par ette maladie M sont variees mais on admet que 2% des individus malades
ont subi des lesions de la vue: on realise une enqu^ete sur n aniens malades d'un seteur donne.On
designe parX lavariable aleatoirequi donnelenombre d'individus sourant de lesions de la vueparmi
eux.
(a) Determinerla loi de probabilite de X.
(b) Quelle estla plus petite des valeurs de n realisant : p(X ≥1)≥0:95.
3. On suppose qu'un virus responsable aette maladie a une dureede vie T exprimee en jours qui suit
une loi exponentielle de parametre .
(a) Determiner sahant que p(T ≥5)=0:4.
(b) Sahant que le virus apersisteplus que 5 jours,quelle estla probabilitequ'il persiste plus qu'une
semaine.
() Determiner,en jours(en heure pres),le temps t tel que p(T ≥t)=p(T ≤t).
Exercice5
.( 5 points)
Dans leplanmuni d'unrepereorthonorme(O;
−
→
i ;
−
→
j ),on onsiderelaourbei-dessous (C
f
)d'unefontion
f denieet derivablesur R et tel que :
• (C
f
) admet une branhe parabolique innie de diretion (O;
−
→
j )au voisinage de −.
• T la tangente a(C
f
) au pointd'absisse 1.
• l'axe des absisses est une asymptote a(C
f
) au voisinage de +.
BAC SCIENCES EXP. 2
1 2 3
−1
−2
−3
1 2 3 4 5 6
−1
−2
−3 x
C
f T
1. Donner : lim
x→−
f(x); lim
x→+
f(x) ; f(1);f
′
(1) et lim
x→− f(x)
x
2. Dresser le tableau de variation de f.
3. La ourbe (C
f
) est elle de la fontion f(x)=xe 1−x
.
Pour tout n ∈N∗ , on designepar An la mesure d'aire du domaine du plan limitepar laourbe (Cf)
et les droites d'equationsrespetives : y=0;x=1 et x=n.
(a) Montrer que A
n
=2−(n +1)e1−n.
(b) Determiner lim
n→+
A
n
4. Soit (V
n
) la suitedenie sur N∗ par Vn =
n
X
k=1 f(k).
(a) Demontrer que pour tout k≥2; f(k)≤
Z
k
k−1 f(t)dt.
(b) En deduire que V
n ≤3.
() Prouver que (V
n
) est onvergente.
BAC SCIENCES EXP. 3
