Pour toutn2N,Vn est une variable aleatoire suivant la loi(1;n) (loi Gamma de parametres 1 et n)

PROBABILIT

ES

Exercice 1.

Soitnun entier naturel,n^>2.

Soient (X1;X2;:::;Xⁿ;Z),n+1 variables aleatoires mutuellement independantes, suivant toutes la loi uniforme sur l'intervalle [0;1].

1. On pose, pour tout 1⁶k⁶n:Y^k= ^Qk

i=1Xⁱ=X1X2X^k. a) Determiner la loi de la variable aleatoireL1= ln^;Y11

, ou ln designe la fonction logarithme neperien.

Reconna^tre la loi suivie parL1.

b) En deduire la loi de la variable aleatoire lnY^k, en reconnaissant au prealable la loi suivie par la variable aleatoire^;lnY^k.

2. Pour toutn^2N,Vⁿ est une variable aleatoire suivant la loi(1;n) (loi Gamma de parametres 1 et n). Soit W une variable aleatoire suivant la loi de Poisson de parametres >0.

On noteFⁿ la fonction de repartition de Vⁿ et G la fonction de repartition deW.

a) Determiner une relation entreFⁿ(s) et F^n;1(s), pour toutn^>2.

b) Montrer que pour toutn^>1 : 1^;Fⁿ(s) =G(n^;1).

3. On noteRⁿ la variable aleatoire denie parRⁿ= Yⁿ Z ^. a) Determiner la loi de la variable aleatoireRⁿ. b) Calculer la probabilite de l'evenement (Rⁿ <1).

Solution :

1. a) On aL1=^;lnY1. DoncL1() =^R+, et pour tout x^>0 : F^L1(x) =P(Y1>e^;x) = 1^;e^;x

AinsiL1 suit la loi exponentielle ^E(1) d'esperance et de variance egales a 1.

Une densite deL1 est donnee par :

f^L1(x) =ⁿ 0 six⁶0 e^;x six >0 b) On a ^;ln(Y^k) = ^Pk

i=1^;ln(Xⁱ). L'independance des variables aleatoires (Xⁱ) (donc des variables aleatoires (ln(Xⁱ)) permet d'armer que ^;ln(Y^k) suit la loi Gamma(1;k), de densite :(

0 six⁶0 e^;xx^{k ;1}

(k^;1)! six >0 Donc ln(Y^k) a pour densite :

( 0 six^>0 e^x(^;x)^{k ;1}

(k^;1)! six <0 puisque Fln(^Yk)(x) = 1^;F^;ln(^Yk)(^;x) pour tout xreel.

2. a) On sait que :

Fⁿ(s) =P(Vⁿ < s) =

Z

s

0 e^;xx^n;1 (n^;1)!dx

Une integration par parties, les fonctions etant de classeC¹ sur^R donne : Fⁿ(s) =^h;e^;xx^n;1

(n^;1)!

i

s

0+

Z

s

0 e^;xx^n;2

(n^;2)! dx= e^;ss^n;1

(n^;1)! +F^n;1(s) CommeF1(s) = 1^;e^;s, il vient :

Fⁿ(s) = 1^{; Pn}

k=1e^;ss^{k ;1} (k^;1)!

b) Il vient immediatement : 1^;Fⁿ(s) = ^Pn

k=1e^;ss^{k ;1}

(k^;1)! =P(W ⁶n^;1) =G(n^;1)

3. a) On a : ln(Rⁿ) = ln(Yⁿ) + (^;lnZ). Par independance des variables aleatoires en jeu, pour toutxreel :

fln^Rn(x) =^{Z +1}

;1

fln^Yn(u)f^;ln^Z(x^;u)du et :

fln^Rn(x) = ⁰

;1

e (^;u) ¹

(n^;1)! f^;ln^Z(x^;u)du

six⁶0 : fln^Rn(x) = e(n^;;x1)!

Z

x

;1

e^2u(^;u)^n;1du= e2^;xn

Z +¹

;2^x e^;yy^n;1dy (n^;1)!

= e2^;xn (1^;Fⁿ(^;2x))

six >0 : fln^Rn(x) = e(n^;;x1)!

Z 0

;1

e^2u(^;u)^n;1du= e2^;xn

Pour terminer, on remarque que pour toutu >0,f^Rn(u) =fln^Rn(lnu)1u^, donc :

?si 0⁶u⁶1 :f^Rn(u_{) = 12}^{n n;P1}

k=0(^;2lnu)^k k!

?si u^>1 :f^Rn(x) = 12ⁿu^2. b) Ainsi :

P(Rⁿ<1) = 1^;P(R^n>1) = 1^; 1 2ⁿ

Exercice 2.

Soitnun entier naturel non nul. Une bo^te contient (2n+1) jetons bicolores (une face est blanche, l'autre est noire). Les jetons sont numerotes de 1 a 2n+ 1 sur leur face blanche, les faces noires ne portant pas de numero.

On lance simultanement tous les jetons et on observe leurs faces superieures.

1. Une et une seulement des deux couleurs appara^t un nombre impair de fois. SoitX la variable aleatoire associee a ce nombre.

a) Determiner la loi deX.

b) Calculer son esperance et sa variance.

2. Suite au lancer, on ramasse les jetons de la couleur apparaissant un nombre impair de fois et on note les numeros de leur face blanche. SoitY la variable aleatoire representant le plus petit de ces nombres.

a) Soit k²[[0;n]], determiner la loi conditionnelle de Y, conditionnee par l'evenement (X = 2k+ 1).

b) En deduire la loi deY. Calculer son esperance.

Solution :

1. a) On a X() = ^f2k+ 1; 0 ⁶ k ⁶ n^g et l'evenement (X = 2k+ 1) correspond a l'union des evenements^hh on a obtenu (2k+ 1) jetons blancs et

(2n^;2k) jetons noirs parmi les (2n+ 1)ⁱⁱou^hh on a obtenu (2k+ 1) jetons noirs et (2n^;2k) jetons blancs parmi les (2n+ 1)ⁱⁱ.

Par incompatibilite et modele binomial associe, il vient : P(X = 2k+ 1) = 2C2^222nnk+1+1+1 = C2^22nk2n+1+1 b) L'esperance deX est donnee par :

E(X) = ^Pn

k=0(2k+ 1)P(X = 2k+ 1) = 12²ⁿ

n

P

k=0(2k+ 1)C²₂^kn+1₊₁

= 2n+ 1 2²ⁿ

n

P

k=0C²2^kn = 2n2+ 1

(car (1 + 1)²ⁿ= 2²ⁿ et (1^;1)²ⁿ = 0, d'ou ^Pn

k=0C²₂^kn = 2^2n;1).

On a egalement : E(X(X^;1)) = 12²ⁿ

n

P

k=0(2k+ 1)(2k)C²₂^nk+1₊₁ = (2n+ 1)(2n) 2²ⁿ

n

P

k=1C²₂^{k ;n;1}₁ et, en utilisant la m^eme technique :E(X(X^;1)) = (2n+ 1)(2n)

4 et :

V(X) = 2n4+ 1

2. a) On a (Y=(X= 2k+ 1))() = [[1;2n^;2k+ 1]] et : P(Y =`=X = 2k+ 1) = C<sup>`;0 1</sup>C²₂^kn₊₁^;`

C²₂^kn+1₊₁

En eet parmi les echantillons de (2k+ 1) jetons pris parmi (2n+ 1) (sans remise), on denombre ceux dont aucun ne porte un numero inferieur ou egal a`<sup>;</sup>1 et dont 2kportent des numeros superieurs ou egaux a`+ 1, un jeton valant`.

b) Pour tout`<sup>2</sup>[[1;2n+ 1]] : P(Y =`) =^{b(2n+1P;`)=2c}

k=0 P(Y =`=X= 2k+ 1)P(X= 2k+ 1) soit :

P(Y =`) =<sup>b(2n+1P;`)=2c</sup>

k=0 C²₂^kn₊₁^;`

C²₂^kn+1₊₁ C²₂^kn+1₊₁ 2²ⁿ et, pour`²[[1;2n]] :

P(Y =`) = 12²ⁿ

b(2ⁿ+1P^;`)⁼2^c

k=0 C²₂^kn₊₁^{;`</sup> = 12<sup>2n</sup>122<sup>2n+1;`}= 12<sup>`</sup> Pour`= 2n+ 1 :

P(Y = 2n+ 1) = 22²⁰ⁿ = 12²ⁿ L'esperance deY vaut alors :

E(Y) = ^P2n

`=1 `

2^l+ 2n+ 1

2²ⁿ = 2^;1^; 1 2²ⁿ⁺¹

Exercice 3.

On considere deux urnesU1 et U2. On suppose que U1 (respectivement U2) contient n1 boules noires etb1 boules blanches (resp.n2 boules noires etb2

boules blanches).

On choisit de facon equiprobable une des deux urnes puis on y eectue deux tirages successifs d'une boule avec remise.

SoitN1 (resp.N2) l'evenement^hhtirer une boule noire au premier (resp. au second) tirageⁱⁱ.

1. Quelle est la probabilite deN1? Quelle est la probabilite deN2?

2. Quelle est la probabilite de tirer une boule noire au second tirage sachant que l'on a tire une boule noire au premier tirage ?

3. Les evenementsN1 etN2 sont-ils independants ?

Solution :

1. En utilisant le systeme complet (U1;U2), ouUⁱest l'evenement^hhles tirages se font dans l'urneUⁱⁱⁱ, il vient :

P(N1) =P(N1=U1)P(U1) +P(N1=U2)P(U2) Soit :

P(N1) = 12^; n1

n1+b1+ n2

n2+b2

Le resultat est evidemment le m^eme pourN2. 2. P(N2=N1) = P(N1^\N2)

P(N1) et comme on ne change pas d'urne entre les deux tirages :

P(N1^\N2) =P(N1^\N2=U1)P(U1) +P(N1^\N2=U2)P(U2) Soit :

P(N1^\N2) = 12^;; n1

n1+b1

2+^; n2

n2+b2

2

Et en remplacant et developpant :

P(N2=N1) = n₂₁(n2+b2)²+n₂₂(n1+b1)² (n21+b1)(n2+b2)²+ (n22+b2)(n1+b1)² 3. Les evenementsN1 etN2 sont independants si et seulement si :

P(N1^\N2) =P(N1)P(N2) Soit , si et seulement si :

12^;; n1

n1+b1

2+^; n2

n2+b2

2

= 14^; n1

n1+b1 + n2

n2+b2

2

En developpant, il reste :^; n1

n1+b1 ^; n2

n2+b2

2= 0

Ceci est realise si et seulement si nb11 =nb22 (ce qui n'est pas etonnant).

Exercice 4.

Une rampe verticale de spots nommes de bas en haut S1;S2;S3;S4 change d'etat de la maniere suivante :

a l'instant t= 0, le spotS1 est allume.

si a l'instantt=n(n^>0), le spotS1est allume, un (et un seul) des spots S1;S2;S3;S4s'allume a l'instant t=n+ 1, et ceci de maniere equiprobable.

si a l'instantt=n(n^>0), le spotS^k (2⁶k⁶4) est allume, le spotS^{k ;}1

s'allume a l'instantt=n+ 1.

a chaque instant, un seul spot est allume.

SoitX la variable aleatoire representant le premier instant, s'il existe, ou le spotS2 s'allume.

1. Calculer la probabilite pour que le spot S1 reste constamment allume jusqu'a l'instant n (n ^2N donne). En deduire que X est bien une variable aleatoire.

2. Calculer la probabilite des evenements (X = 1) et (X = 2).

3. Calculer la probabilite des evenements (X =n) pourn^>3.

4. Determiner l'esperance deX.

Solution :

1. Le spotS1reste constamment allume jusqu'a l'instantnavec la probabilite

;14

n.

Des que le spotS1s'eteint, alors l'un des spotsS2;S3ouS4s'allume et il n'y a plus qu'a attendre : on est s^ur queS2 s'allumera.

Par le theoreme de continuite monotone d'une probabilite, la probabilite que le spotS1reste indeniment allume vaut lim

n!1

;14ⁿ= 0. On est donc quasi- certain que le spot S2 s'allumera et ^P1

k=1P(X = k) = 1 : X est bien une variable aleatoire.

2.? P(X = 1) = 14 (le spot S2 s'allume a l'instant 1).

?(X= 2) est realise, soit si le spotS1reste allume a l'instant 1 et le spotS2

s'allume a l'instant 2, soit si le spotS3s'allume a l'instant 1 (etS2s'allumera necessairement a l'instant 2), donc :

P(X = 2) = 14 14 + 14 1 = 516

3. Soit n^>3,S2 s'allume pour la premiere fois a l'instantnsi et seulement si :

?SoitS1 reste allume jusqu'a l'instantn^;1 etS2s'allume a l'instantn;

?SoitS1 reste allume jusqu'a l'instantn^;2 etS3 s'allume a l'instantn^;1 ;

?SoitS1 reste allume jusqu'a l'instantn^;3 etS4 s'allume a l'instantn^;2 ; Soit, par disjonction :

8n^>3;P(X =n) = 14^n;114 + 1

4^n;214 + 1

4^n;314 = 21 4ⁿ 4. La convergence de la serie etant evidente :

E(X) = ^P1

n=1n:P(X=n) = 14 +2 516 +21^nP1₌₃ n 4ⁿ E(X_{) = 78}^;21₄ ^;21_{8 +}²¹₄ ^P1

n=1 n 4^n;1 E(X_{) = 73}

Exercice 5.

1. SoitX une variable aleatoire a valeurs dans^N. a) Montrer que, pour toutn^2N :

n

P

k=0k:P(X =k) =^n;P1

k=0P(X > k)^;n:P(X > n) En deduire que si X admet une esperance, alors :

E(X) =^+P1

k=0P(X > k)

b) Montrer de m^eme que siX admet une variance, alors : E^;X²=^+P1

k=0(2k+ 1)P(X > k)

2. On dispose d'une urne contenant N boules numerotees de 1 a N. On eectue, a partir de cette urne,ntirages successifs d'une boule, avec remise, et on noteX le plus grand nombre obtenu.

a) Calculer l'esperance deX. Preciser la loi de X.

b) Determiner un equivalent deE(X) lorsqueN tend vers l'inni, anxe (on pourra comparer a une integrale).

c)Z =n+ 1n X est-il un estimateur sans biais deN?

d) Dans les m^emes conditions, determiner un equivalent de la variance V(X).

Solution :

1. a) On peut ecrire, pour toutn^2N :

n

P

k=0kP(X =k) = ^Pn

k=1k[P(X > k^;1)^;P(X > k)]

=^n;P1

k=1(k+ 1^;k)P(X > k)^;nP(X > n) +P(X >0)

=^n;P1

k=0P(X > k)^;nP(X > n)

SiX admet une esperance, la serie^PkP(X =k) converge. Mais : 0⁶nP(X > n) =n ^P1

k=ⁿ+1P(X =k)^{6 P1}

k=ⁿ+1kP(X =k)

Ce dernier terme tend vers 0, lorsquentend vers l'inni, comme reste d'une serie convergente. Donc :

E(X) =^+P1

k=0P(X > k)

b) Utilisons le m^eme type d'argument. Pour toutn^2N :

n

P

k=0k²P(X=k) = ^Pn

k=1k²[P(X > k^;1)^;P(X > k)]

=^n;P1

k=1

;(k+ 1)^2;k²P(X > k)^;n²P(X > n) +P(X >0)

=^n;P1

k=0(2k+ 1)P(X > k)^;n²P(X > n)

Si X admet une variance, X admet un moment d'ordre 2, et la serie

Pk²P(X=k) converge. Mais : 0⁶n²P(X > n) =n^{2 P1}

k=ⁿ+1P(X =k)^{6 P1}

k=ⁿ+1k²P(X =k)

Ce dernier terme tend vers 0, lorsquentend vers l'inni, comme reste d'une serie convergente. Donc :

E^;X²=^+P1

k=0(2k+ 1)P(X > k) 2. a) Il est immediat que pour toutk²[[1;N]] :

P(X⁶k) =^;kNⁿ; etP(X > k) = 1^;;kNⁿ Donc, par la question precedente :

E(X) =^N;P1

k=0

;1^;;kNⁿ⁼N^;N;P1

k=0

;kNⁿ Quant a la loi deX (on a : X() = [[1;N]]) :

P(X=k) =P(X⁶k)^;P(X ⁶k^;1) = k^n;(k^;1)ⁿ Nⁿ Ce calcul etant valable m^eme pourk= 1.

b) On a :

N;^P1

k=0

;kNⁿ⁼NN¹

N;^P1

k=0

;kNⁿ Or, lorsqueN tend vers l'inni :

N1

N;^P1

k=0

;kN^nZ₀¹xⁿdx= 1n+ 1 ce qui donne, pourN grand :

E(X)N^;nN+ 1 = nnN+ 1

c) On en conclut queZ est un estimateur asymptotiquement sans biais de N.

d) On refait un calcul analogue : E(X²) =^N;P1

k=0(2k+ 1)P(X > k) =^N;P1

k=0(2k+ 1)^;N;P1

k=0(2k+ 1)^;kNⁿ

=N+N(N^;1)^;2N²N¹

N;^P1

k=0

;kN^n+1;NN¹

N;^P1

k=0

;kNⁿ

=N^2;2N^2Z₀¹xⁿdx+o(1)^;N^Z₀¹xⁿdx+o(1) E(X²) =N^2;n²N+ 2^{2 ;}nN+ 1 +o(N²) =nn+ 2N²+o(N²) Et comme [E(X)]² = n²

(n+ 1)²N² +o(N²), il vient, pour N tendant vers l'inni :

V(X) n

(n+ 1)²(n+ 2)N²

Exercice 6.

Dans cet exercice, designe un ensemble ni non vide,^P() l'ensemble des parties de et (;^P();P) un espace probabilise.

On note ^F l'ensemble des applications de dans ^R. Si X ^{2 F}, on note E(X) l'esperance de la variable aleatoireX.

Si A est une partie de , on note 1^A la fonction caracteristique de A, c'est-a-dire l'application denie pour tout!² par :

1^A(!) =ⁿ1 si!²A 0 sinon 1. SoitA. CalculerE(1^A).

2. Montrer que l'application'denie sur^FF par : ': (X;Y)^7!E(XY)

est un produit scalaire sur^F si et seulement si pour tout!²; P(^f!^g)>0.

Dans la suite de l'exercice, on supposera que P verie cette propriete et ^F sera muni de ce produit scalaire.

3. SoitX ^2F une variable aleatoire non constante.

On note G le sous-espace vectoriel de ^F engendre par X et la variable aleatoire constante egale a 1, soitG= Vect(X;1).

SoitY ^2F.

a) Determiner les reelsa0et b0 pour lesquelsY ^;a0X^;b0est orthogonal a tout element deG.

b) En deduire l'expression de la projection orthogonale deY surGqu'on noterap^G(Y).

c) ComparerE(p^G(Y)) etE(Y).

d) On suppose queX = 1^A, avecApartie de non vide et distincte de . Montrer que pour toutB :

p^G(1^B) =P(B=A)1^A+P(B=A)1^A

ouP(U=V) designe la probabilite conditionnelle de l'evenement U, sachant que l'evenementV est realise.

Solution :

1.E(1^A) = 1:P(A) + 0:P(A) =P(A).

2.?L'application 'est bilineaire (par linearite de l'esperance), symetrique (par commutativite du produit dans^R, donc dans^F) et egalement positive (car siX ^2F;'(X;X) =E(X²)^>0).

?Si ' est un produit scalaire, pour tout! ², X = 1^f!g est un element non nul de^F, donc'(X;X) =E(1^f!g2) =E(1^f!g) =P(^f!^g)>0.

? Reciproquement, supposons que ⁸! ² ;P(^f!^g) > 0. Soit X ^{2 F} non nulle. Alors il existe!0² tel que X(!0)⁶= 0.

Dans ces conditions'(X;X) =E(X²)^>X²(^f!0^g)P(^f!0^g), donc'est bien un produit scalaire.

3. a)Y ^;a0X^;b0²G^?()

'(Y ^;a0X^;b0;1) = 0 '(Y ^;a0X^;b0;X) = 0

()

a0E(X) +b0=E(Y)

a0E(X²) +b0E(X) =E(XY)

() 8

>

<

>

:

a0=E(XY)^;E(X)E(Y)

V(X) = Cov(X;Y) V(X) b0=E(Y)^;E(X)Cov(X;Y)

V(X) Notons queV(X)⁶= 0, puisqueX n'est pas constante.

b)p^G(X) est l'unique elementZ deGtel que Y ^;Z²G^?, donc :

p^G(X) = Cov(X;Y)

V(X) X+E(Y)^;E(X) Cov(X;Y) V(X)

c)E(p^G(Y) =a0E(X) +b0=E(Y) (consequence deY ^;p^G(Y)^?1) d) Remarquons queA⁶= etA⁶=^;, doncX = 1^A n'est pas constante.

Cov(1^A;1^B) =E(1^A1^B)^;E(1^A)E(1^B) =E(1^A\B)^;E(1^A)E(1^B), donc Cov(1^A;1^B) =P(A^\B)^;P(A)P(B)

V(1^A) =P(A)P(A) (car 1^A suit la loi de Bernoulli de parametreP(A)).

p^G(1^B) =a01^A+b0(1^A+ 1^A) = (a0+b0)1^A+b01^A avec :

a0+b0=E(1^B) + Cov(1^A;1^B)

V(1^A) (1^;E(1^A))

=P(B) +P(A^\B)^;P(A)P(B)

P(A) =P(A^\B)

P(A) =P(B=A) et :b0=E(1^B)^;E(1^A)Cov(1^A;1^B)

V(1^A) =P(B)^;P(A^\B)^;P(A)P(B) P(A)

=P(B=A) Finalement :

p^G(1^B) =P(B=A)1^A+P(B=A)1^A

Exercice 7.

On considere une suite de parties independantes de ^hhpileⁱⁱ ou ^hhfaceⁱⁱ, la probabilite d'obtenir^hhpileⁱⁱa chaque partie etant egale ap(oup²]0;1[).

Sin^2N, on noteTⁿ le numero de l'epreuve amenant le n^emehhpileⁱⁱ. Enn, on poseA1=T1 et pourn^>2;Aⁿ=T^n;T^n;1.

1. Quelle est la loi deT1? Donner la valeur de son esperance.

2. Soit n ^> 2. Montrer que A1;A2;:::;Aⁿ sont des variables aleatoires independantes qui suivent une m^eme loi.

3. On pose ⁿ =^f(x1;:::;xⁿ)^2Rn=^Pn

i=1xⁱ = 1^get on denit l'application f de ⁿ dans^R par, pour tout (x1;:::;xⁿ)²ⁿ :f(x1;:::;xⁿ) = ^Pn

i=1x²ⁱ a) Soit (h1;:::;hⁿ)^2Rn tel que^;n1⁺h1;¹n⁺h2;:::;n¹⁺hⁿ²ⁿ. Simplier :

f^;n¹⁺h1;¹n⁺h2;:::;n¹⁺h^n;f^;1n;n;:::;^{1 1}n

b) En deduire quef admet un minimum atteint en un unique point de ⁿ que l'on precisera.

4. Montrer que sin^{2 N} est xe, il existe parmi les combinaisons lineaires deT1;:::;Tⁿ un estimateur sans biais de 1p qui est de variance minimale et preciser quel est cet estimateur. Cet estimateur est-il convergent?

Solution :

1. La variable aleatoireT1est le temps d'attente du premier^hhpileⁱⁱ, elle suit la loi geometrique de parametrep, donc d'esperance 1p^.

2. NotonsXⁿla variable aleatoire egale a 1 si la partie numeronamene^hhpileⁱⁱ et 0 sinon. Les variablesXⁿ sont des variables de Bernoulli independantes de m^eme parametrep.

Soit (i1;:::;iⁿ)²(^N)ⁿ. L'evenement (A1=i1;:::;Aⁿ=iⁿ) est :

(X1==X^i1;1= 0;Xⁱ¹ = 1;Xⁱ¹+1==Xⁱ¹+^i2;1= 0;Xⁱ¹+ⁱ² = 1;::

jusqu'aXⁱ¹++ⁱⁿ = 1) Donc, en posantq= 1^;p:

P(A1=i1;:::;Aⁿ =iⁿ) =q^i1;1pq^i2;1p:::q^in;1p ()

En sommant pour (i1;:::;i^n;1)² (^N)^n;1, on obtient compte tenu du fait que ^P1

k=1q^{k ;1}p= p 1^;q ^{= 1 :}

P(Aⁿ =iⁿ) =q^in;1p

Ce qui prouve que Aⁿ suit la loi geometrique de parametre p, donc les variablesA^k sont toutes de m^eme loi.

De plus, l'expression () prouve que :

P(A1=i1;:::;Aⁿ=iⁿ) = ^Qn

k=1P(A^k=i^k) Ce qui prouve l'independance des variablesAⁿ pourn^2N.

3. a) Remarquons que^;n1⁺h1;:::;¹n⁺hⁿ²ⁿsi et seulement si^Pn

i=1hⁱ= 0.

Dans ces conditions :

f^;1n⁺h1;:::;n¹⁺h^n;f^;n;:::;¹ n¹⁼

n

P

i=1

;;n1⁺h^i2;n¹²

=^Pn

i=1h²ⁱ. b) f^;n^{1 +}h1;:::;n^{1 +}h^n;f^;n;:::;¹ n¹ est toujours ^> 0, avec egalite seulement si tous les hⁱ sont nuls. On en deduit quef admet un minimum global sur ⁿ atteint uniquement en^;n;:::;1 n^1.

4. On remarque que Vect(T1;:::;Tⁿ) = Vect(A1;:::;Aⁿ).

Si (x1;:::;xⁿ)^2Rn,E(x1A1++xⁿAⁿ) = 1p

n

P

i=1xⁱ, doncx1A1++xⁿAⁿ est un estimateur sans biais de 1p si et seulement si (x1;:::;xⁿ)²ⁿ. Dans ces conditions, vu l'independance desAⁱ :

V(x1A1++xⁿAⁿ) =

i=1x²ⁱV(Aⁱ) =V(A1)f(x1;:::;xⁿ) Cette variance est minimale si et seulement si (x1;:::;xⁿ) =^;1n;:::;n^1. Il existe donc parmi les combinaisons lineaires de T1;:::;Tⁿ un estimateur sans biais de variance minimale qui est 1n

n

P

i=1Aⁱ = 1nT^n.

Cet estimateur est convergent, puisqueV^;1nT^{n= 1}nV⁽T1) ^;!

n!1

0.

Exercice 8.

Soitnun entier naturel tel quen^>2.

On considere deux variables aleatoires independantes,X1etX2, denies sur le m^eme espace probabilise (;^B;P) et suivant la loi uniforme discrete sur

f1;2;:::;n^g.

1. Soitaun entier de^f1;2;:::;n^get Y la variable aleatoire denie par :

8!²;Y(!) =

X1(!) siX2(!)⁶a X2(!) siX2(!)> a

a) Determiner la loi de Y. (Verier que l'on a bien obtenu une loi de probabilite).

b) Calculer l'esperance deY et la comparer a celle deX1.

c) Pour quelle(s) valeur(s) deacette esperance est-elle maximale ? 2. Soientaetb deux entiers de^f1;:::;n^g.

On denit la variable aleatoireZ par :

8!²;Z(!) =

8

<

:

X1(!) siX2(!)⁶a X2(!) sia < X2(!)⁶b X1(!) siX2(!)> b a) Determiner la loi deZ ainsi que son esperance.

b) Pour quelles valeurs du couple (a;b) cette esperance est-elle maximale ?

Solution :

1. a) On aY() = [[1;n]] et, par independance des variables aleatoiresX1 et X2 :

sik⁶a,P(Y =k) =P[(X1=k)^\(X2⁶a)] = 1nan^.

sik > a,P(Y =k) =P[(X1=k)^\(X2> a)] +P[(X2=k)^\(X2> a)]

= 1n⁺ a n^2. On a bien : a

n² a+ a

n^{2 (}n^;a) +n^;na ^{= 1} b) Le calcul de l'esperance est facile :

E(Y) = ^Pa

k=1k an^{2 +k}=^Pna+1k an^{2 +k}=^Pna+1kn ⁼a(n+ 1)

2n ^{+ (}a+n+ 1)(n^;a) 2n

=E(X1) +₂an⁽n^;a)> E(X1) c) On verie que :

E(Y_{) = 12}n^;54n²+n^;(a^;n₂₎² AinsiE(Y) est maximale pour a^;n2 le plus petit possible :

sinest pair, c'est poura= n_2,

sinest impair, c'est pour a=n^;2 ou1 a=n+ 12 .

2. a) On procede dans cette question comme dans la question precedente :

sik⁶a,P(Z =k) =P[(X1=k)^\(X2⁶a)] +P[(X1=k)^\(X2> b)]

= 1n²⁽a^;b+n).

sik > b, la methode et le resultat sont identiques,

sia < k⁶b,

P(Z =k) =P[(X1=k)^\(X2⁶a)] +P[(X2=k)^\(a < X2⁶b)]

+P[(X1=k)^\(X2> b)]

= 1n²⁽a^;b+n) + 1n Le calcul de l'esperance donne :

E(Z_{) = 12}n^;b^2;a^2;bn+an+n²+n=E(X1) +b₂^;na⁽b+a^;n) b) De plus :

E(Z_{) = 12}n^;b^;n₂²;

;a^;n₂²₊n²+n

E(Z) est maximale poura=n=2 sinest pair et poura= n^;2 ou1 a= n+ 12 sin est impair (voir la question precedente) etb tel que^;b^;n₂² _maximal, soitb=n.

Exercice 9.

SoientX etY deux variables aleatoires independantes a valeurs dans^R+ de densites respectivesf^X etf^Y.

1. a) On poseU = ln(X) etV = ln(Y).

Exprimer des densitesf^U etf^;V deU et de ^;V a l'aide def^X et def^Y. b) Deduire de la question precedente une expression d'une densite de T = ln^;X

Y

.

c) Montrer qu'une densiteg de X Y ^{est :} g(x) =

xf1 ^T0^(lnx) sisixx >⁶00

2. Montrer que le quotient de deux variables exponentielles independantes de parametres respectifs et suit une loi de Pareto dont on determinera les parametres.

3. On admet que si les variablesX et Y sont a valeurs dans^R, une densite g de X

Y est denie, pour toutx reel par : g(x) =

Z +¹

;1

jt^jf^X(xt)f^Y(t)dt

Determiner la loi du quotient de deux variables aleatoires independantes suivant la loi normale centree reduite.

On rappelle qu'une variable aleatoire X suit une loi de Pareto de parametres >0,a >0 etx0 lorsqu'une densite de X est donnee par :

f(x) =

(a^;x^;ax0

+1 six^;x0> a

0 sinon

Solution :

1. a) Les variables aleatoiresU etV sont a valeurs dans^R. Pour toutx^2R: [U ⁶x] = [X⁶e^x] =⁾ F^U(x) =F^X(e^x) =⁾ f^U(x) = e^xf^X(e^x) (ouF^W designe la fonction de repartition et f^W une densite de la variable aleatoire a densiteW). De m^eme :

[^;V ⁶x] = [Y ^>e^;x] =⁾ F^V(x) = 1^;F^Y(e^;x) =⁾ f^V(x) = e^;xf^Y(e^;x) b) On remarque que T = ln(X)^;ln(Y) = U^;V. Les variable X et Y etant independantes, il en est de m^eme pourU etV, et une densite de T est donnee par convolution :

f^T(x) =

Z +¹

;1

f^U(t)f^;V(x^;t)dt=

Z +¹

;1

e^tf^X(e^t)e^;x+tf^Y(e^;x+t)dt c) On remarque que XY ^{= eT}. La variable aleatoire XY est a valeurs dans

R

+ et pour toutx >0 :

XY ⁶x= [T ⁶lnx] =⁾ F^X=Y(x) =F^T(lnx) Par derivation, une densite de XY est denie par :

g(x) =

xf1 ^T0^(lnx) sisixx >⁶00

2. C'est une application de la question precedente. SiX suit la loi^E(), siY suit la loi^E(), et siX;Y sont independantes, XY a pour densite :

g(x) =

8

<

:

0 six⁶0

^Z₀⁺¹u:e^;(x+)udu six >0

Donc, pourx >0, apres une integration par parties : g(x) =

(x+)² = = (x+=)²

On reconna^t une loi de Pareto de parametres= 1;a==;x0=^;=. 3. Il sut d'appliquer la formule proposee :

g(x_{) = 12}

Z +¹

;1

jt^j:e^;(xt)2=2e^;t2=2dt= 1

Z +¹

0 t:e^;(x2+1)t2=2dt Soit, en integrant^hha vueⁱⁱ:

g(x) = 1 (x²+ 1) On dit que XY suit une loi de Cauchy.

Exercice 10.

1. Soient deux entiers naturelsnet ravec 0⁶r⁶n. On denit la fonctionF^r;n sur^R par :

8x^2R; F^r;n(x) = ^Pn

k=^rC^krx^k

a) Montrer que pour toutx reel, on a (1^;x)F^r;n(x) = xF^r;1^;n;1(x)^; C^nrxⁿ⁺¹.

b) Soitx ²]0;1[ et r ^2N xes. Donner un equivalent simple de C^nrxⁿ⁺¹ quandntend vers l'inni.

c) Montrer que pour toutxtel que 0< x <1 etr^2N xes,F^r;n(x) admet une limite lorsquentend vers l'inni et determiner cette limite.

On dispose de deux pieces de monnaie. La premiere piece donne^hhPileⁱⁱavec la probabilitepet la seconde avec la probabiliteq= 1^;p. (p²]0;1[).

on lance la premiere piece jusqu'a obtenir pour la premiere fois^hhPileⁱⁱ. SoitN le nombre de lancers eectues.

on lance alorsN fois la seconde piece et on noteX la variable aleatoire egale au nombre de^hhPileⁱⁱobtenus durant cesN tirages.

2. a) Determiner la loi deX.

b) Calculer son esperance. Commenter les cas ou p=q= 1=2 et oupest de la forme 1=r.

Solution :

1. a) On utilise la relation appelee^hhdu triangle de Pascalⁱⁱ, soit : C^rk= C^{r;k ;1}₁+ C^{rk ;}₁

avec les conventions habituelles de nullite.

Pour toutxreel :

F^r;n(x) = ^Pn

k=^rC^rkx^k = ^Pn

k=^rC^{r;k ;1}₁x^k+ ^Pn

k=^rC^{rk ;}₁x^k Or :

n

P

k=^rC^{r;k ;1}₁x^k = ^n;P1

k=^r;1C^{r;k 1}x^k+1=xF^r;1^;n;1(x)

n

P

k=^rC^{rk ;}1x^k = ^Pn

k=^r+1C^{rk ;}1x^k; car C^rr;1= 0

n

P

k=^rC^{rk ;}₁x^k = ^Pn

k=^rC^rkx^k+1=x(F^r;n(x)^;C^nrxⁿ) D'ou :

(1^;x)F^r;n(x) = xF^r;1^;n;1(x)^;C^nrxⁿ⁺¹ b) Soitx²]0;1[. Raisonnons par recurrence surr:

si r = 0, F0^;n(x) = ^Pn

k=0x^k admet 11^;x pour limite lorsque n tend vers l'inni.

sir= 1,F1^;n(x) = ^Pn

k=0kx^k admet x

(1^;x)² pour limite lorsquentend vers l'inni.

supposons que pourr >0,F^r;1^;n(x) admette x^r;1

(1^;x)^r pour limite lorsque ntend vers l'inni ; la relation precedente et la remarque suivante :

C^rnxⁿ⁺¹= n(n^;1):::(n^;r+ 1)

r! xⁿ⁺¹ n^r r!xⁿ⁺¹

quantite qui tend vers 0 lorsquentend vers l'inni (preponderance classique), donnent pourx²]0;1[ :

lim

n!+¹F^r;n(x) = x^r (1^;x)^r+1

2. a) La loi conditionnelle deX, conditionnee par la realisation de l'evenement [N =n] est une loi binomiale de parametresnet q, et ([N =n])^n2N est un systeme complet d'evenements. Donc pour tout k^2N :

P(X =k) = ^P1

n=1P(X =k=N =n)P(N=n) = ^P1

n=^kC^knq^kp^n;kpq^n;1

=^;q p^{k ;1}

1

P

n=^kC^kn(pq)ⁿ=^;q

p^{k ;1 (}pq)^k

(1^;pq)^k+1 = pq^{2k ;1} (1^;pq)^k+1 Et pourk= 0 :

P(X = 0) = ^P1

n=1qⁿpq^n;1= q p

1

P

n=1(q²)ⁿ= pq

1^;q^{2 =} q 1 +q b) La serie^P

k

k pq₍₁ ^{2k ;1}

;pq)^k+1 est convergente.

Le terme general s'ecrit : pq

(1^;pq)²k^; q²

1^;pq^{k ;1, avec 0}< q₁ ²

;pq <^1.