GIS 1 Mesure et Probabilit´e Ann´ee 2003–2004
Devoir Surveill´e, 21 janvier 2003 Conditions de d´eroulement de l’´epreuve :
Dur´ee : 2 heures.
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Le corrig´e du devoir sera disponible au format pdf `a partir de 12h, `a l’URL : http://math.univ-lille1.fr/~suquet/index.html
Ex 1. Simulation d’un d´e (5 points).
1) SoitU une variable al´eatoire de loi uniforme sur ]0,1]. Que valent les probabilit´es P(U ∈]1/3,2/3]), P(U > 2/3) ?
2) On dispose d’un g´en´erateur de nombres al´eatoires capable de simuler une variable al´eatoireU de loi uniforme sur ]0,1]. D´ecrire une m´ethode permettant de simuler `a partir de ce g´en´erateur une variable al´eatoireX ayant mˆeme loi que les points indiqu´es par un d´e ´equilibr´e. Indication : il n’est pas n´ecessaire de passer par la fonction de r´epartition deX.
Ex 2. Calculs d’int´egrales (3 points).
On noteδ1 la mesure de Dirac au point 1 etλ la mesure de Lebesgue surR. Calculer les int´egrales suivantes
Z
]0,1]
(3x2+ 1) dδ1(x), Z
]0,1[
(3x2+ 1) dδ1(x), Z
]0,1[
(3x2+ 1) dλ(x).
Ex 3. Loi exponentielle censur´ee (11 points).
On note X une variable al´eatoire d´efinie sur un espace probabilis´e (Ω,T, P) et `a valeurs dans R+. On suppose que X suit la loi exponentielle de param`etre 1, ce qui signifie que sa loi PX admet pour densit´e
f :t 7→e−t1R+(t)
par rapport `a la mesure de Lebesgue λ sur R. La fonction de r´epartition de X not´eeF est donn´ee par
∀x∈R, F(x) = 1−e−x
1R+(x) =
(0 si x <0, 1−e−x si x≥0.
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1) V´erifier que pour tous r´eels a, b (a < b), Z b
a
te−tdt= (a+ 1)e−a−(b+ 1)e−b. 2) Expliquer pourquoi EX existe et la calculer.
3) Pour tout entier n≥1, on d´efinit la variable al´eatoire Xn par
Xn := min(X, n), c’est-`a-dire, ∀ω∈Ω,Xn(ω) =
(X(ω) siX(ω)≤n, n siX(ω)> n.
On dit que l’on acensur´ela variableX au niveaun. D´eterminer la fonction de r´epartition Fn de Xn. Tracer la repr´esentation graphique de Fn. La loi de Xn a-t-elle une densit´e par rapport `aλ?
4) En utilisant le r´esultat trouv´e pourFn, v´erifier que la loiPXn deXnest la mesure µn=νn+ e−nδn,
o`u νn est la mesure de densit´e (par rapport `a λ)
fn:t 7−→f(t)1]−∞,n](t) = e−t1[0,n](t).
Indication : comparer µn(I) etPXn(I) pourI intervalle de la forme ]− ∞, x] avec xr´eel quelconque.
5) Donner un argument simple prouvant que Xn a une esp´erance. CalculerEXn en utilisant le r´esultat ci-dessus pour PXn. En d´eduire que quand n tend vers +∞, EXn tend vers 1.
6) Retrouver la limite deEXn sans aucun calcul, en utilisant un th´eor`eme du cours (il y a au moins deux solutions possibles).
Ex 4. Loi de Pareto (6 points).
Une variable al´eatoireX a pour densit´e par rapport `aλ f(t) = a
ta+11[1,+∞[(t), o`u le param`etre a est un r´eel strictement positif.
1) Expliquer pourquoi f est bien la densit´e d’une loi de probabilit´e (on admettra la mesurabilit´e de f). La loi de densit´e f s’appelle loi de Pareto de param`etre a.
2) ExprimerE|X|comme une int´egrale de Riemann g´en´eralis´ee (en justifiant votre r´eponse).
3) Pour quelles valeurs de a, a-t-on E|X|<+∞? Calculer EX dans ce cas.
4) SoitY : Ω→R+une variable al´eatoire de loi exponentielle de param`etrea(donc de densit´e g(t) = ae−at1R+(t)). On pose Z = eY. Calculer la fonction de r´epartition de Z et en d´eduire la loi de Z.
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