E xercice 1. SoitV une variable al´eatoire de loi uniforme sur [, π]. D´eterminer la loi de sin(V).

X  – MAP 

PC  – Lundi  mai  – Lois et esp´erances

Igor Kortchemski –igor.kortchemski@cmap.polytechnique.fr

 M´ethode de la fon ion muette (pour des v.a. r´eelles)

E ^{xercice 1.}

^SoitV une variable al´eatoire de loi uniforme sur [, π]. D´eterminer la loi de sin(V).

E ^{xercice 2.}

^{Soit X} une variable al´eatoire exponentielle de param`etre λ >  et Y une variable al´eatoire ind´ependante de X telle que telle que P(Y =) = P(Y =−) = /.

D´eterminer la loi de la variable al´eatoireXY.

 Ve eurs de variables al´eatoires r´eelles

E ^{xercice 3.}

^{Soit (X, Y}) un couple de variables al´eatoires `a valeurs dansR^ dont la loi a pour densit´e

f_(X,Y)(x, y) = 

(+xy)1⁻_^≤x,y≤. () D´eterminer la loi deX.

() CalculerE h_

X

i. () CalculerE[XY].

E ^{xercice 4.}

^{Soit (X, Y}) un couple de variables al´eatoires `a valeurs dansR^ dont la loi a pour densit´e

f_(X,Y)(x, y) = 

πe^{−x(+y)}1x,y≥. () V´erifier quef_(X,Y) ebien une densit´e.

() D´eterminer les lois deX et deY.

() Les variables al´eatoiresX etY sont-elles ind´ependantes ?

E ^{xercice 5.}

^{SoientX etY} deux variables al´eatoires ind´ependantes telles queX suit une loi exponentielle de param`etreλ >etY suit une loi exponentielle de param`etreµ >.

() Soita >. CalculerE[X1X≤a].

() Quelle ela loi du couple (X, Y) ? CalculerP(X≤Y).

Pour des queions, demande d’explications etc., n’h´esitez pas `a m’envoyer un mail.



 Propri´et´es g´en´erales de l’esp´erance

E ^{xercice 6.}

(In´egalit´e de Paley-Zygmund) SoitX une variable al´eatoire r´eelle int´egrable telle queE[X]≥.

() Montrer que pour toutλ >,X≤λE[X] +X1^{X>λE[X]}.

() On suppose que, de plus,<E[X^]<+∞. Montrer que pour toutλ∈],[ on a P(X > λE[X])≥(−λ)^E[X]^

E[X^].

E ^{xercice 7.}

^{On note Sn} l’ensemble des permutations de {,, . . . , n} (on rappelle qu’une permutation de S_n eune bijeion de {,, . . . , n}dans {,, . . . , n}). Si σ ∈ S_n, on dit que i ∈ {,, . . . , n}eun point fixe deσ siσ(i) =i. SoitXune variable al´eatoire `a valeurs dans S_net de loi uniforme. On noteN(X) le nombre de points fixes deX.

En remarquant que

N(X) =1eun point fixe deX+1eun point fixe deX+· · ·+1neun point fixe deX, calculer la valeur deE[N(X)].

E ^{xercice 8.}

Dans cet exercice, on ´etudie un mod`ele simple de propagation d’une popu- lation, qu’on mod´elise comme suit.

– Chaque site deN={,,, . . .}eoccup´e soit par un (seul) individu, soit evide.

– `A l’inantt=, un individu occupe le siteet tous les autres sites sont vides.

– Si un individu e `a cˆot´e d’un site vide, au bout d’un temps al´eatoire, ind´ependant de tout le ree, diribu´e selon une variable al´eatoire exponentielle de param`etre

, il donne naissance `a un individu qui va occuper ce site vide.

SoitT_nle premier temps o `u un individu occupe le siten. On fixea >/.

() Juifier qu’on peut ´ecrireT_n=E_+· · ·+E_n, o `u les variables al´eatoiresE<sub></sub>, . . . , E<sub>n</sub>sont des variables al´eatoires ind´ependantes et exponentielles de param`etre.

() Montrer que

P(T_n≥n+n^a)≤e⁻

√

n−n^a−/ 

−/√ n

!n

.

() Montrer qu’avec probabilit´e, `a partir d’un certain rang on aT_n< n+n^a.

 Exercice `a chercher pour la prochaine fois

E ^{xercice 9.}

^SoitN une variable al´eatoire r´eelle gaussienne centr´ee r´eduite. D´eterminer la loi de la variable al´eatoire/N^.



 Plus appliqu´e (hors PC)

E xercice 10.

On consid`ere un gˆateau circulaire avec une cerise sur le bord. On d´ecoupe le gˆateau en deux parts en coupant suivant deux rayons choisis au hasard.

() Avec quelle probabilit´e la part contenant la cerise e-elle plus petite que la part ne contenant pas la cerise ?

() Quelle ela longueur angulaire moyenne de la part contenant la cerise ?

E xercice 11.

On consid`ere un bˆaton sur lequel on trace au hasard deux marques. On d´ecoupe le bˆaton suivant les deux marques.Quelle ela probabilit´e pour que l’on puisse faire un triangle avec les trois morceaux ainsi obtenus ?

 Pour aller plus loin (hors PC)

E xercice 12.

SoientX,Y etZdes variables al´eatoires r´eelles d´efinies sur un mˆeme espace de probabilit´e.

() On suppose queP(X=Y) =. Montrer queXetY ont la mˆeme loi. Montrer que la r´eciproque efausse.

() On suppose queXetY ont la mˆeme loi.

(a) Soit f : R → R une fonion mesurable. Montrer que les variables al´eatoires f(X) etf(Y) ont la mˆeme loi.

(b) Montrer que les variables al´eatoiresXZetY Zn’ont pas n´ecessairement la mˆeme loi.

E xercice 13.

^{Soient X et Y} deux variables al´eatoires r´eelles ind´ependantes de densit´es respeivesf_X etf_Y. Soit F :R^ →R₊ une fonion mesurable. Montrer que E[F(X, Y)] = E[G(Y)] o `uGela fonion d´efinie parG(y) =E[F(X, y)] pour touty∈R.

E xercice 14.

^{Soient (X}i)_≤i≤n des variables al´eatoires r´eelles ind´ependantes et de mˆeme loi. On suppose qu’elles sont `a densit´e.

() Montrer queP

∃i, j∈ {,, . . . , n}:i,j etX_i =X_j

=.

() Montrer qu’il exie une permutation al´eatoireσ telle que P

X_σ() <· · ·< X_σ(n)

=

et que la loi deσ euniforme sur l’ensemble des permutations de{,, . . . , n}.



E xercice 15.

(Sommes d’Erd˝os : exercice `a dollars). Pour tout entier n≥, on note f(n) le plus grand entierk≥tel qu’il exie des entiers diinsx<sub></sub>, . . . , x<sub>k</sub> ∈ {,, . . . , n}tels que les sommes qu’on puisse former en utilisant ces entiers (chacun ´etant utilis´e au plus une seule fois) soient toutes diff´erentes (on consid`ere quex_i tout seul eune somme).

Par exemple, f() ≥ , car en choisissant ,,, les sommes qu’on peut former sont

,,,+,+,+,++ qui sont toutes diff´erentes. Par ailleurs, il e clair que f()≤et quef() =n’epas possible. En effet, si f() =, on doit choisir les entiers

,,,et les deux sommes+=sont les mˆemes. Ainsi,f() =.

Erd˝os a conjeur´e qu’il exie une conanteC >telle que

pour tout entiern≥, f(n)≤ln_(n) +C (o `u ln_(x) = ln() ln(x)),

et a offert  dollars `a la premi`ere preuve corree. Cette conjeure n’a pas encore ´et´e prouv´ee (ou r´efut´ee).

Le but de cet exercice ede d´emontrer que f(n)≤ln_(n) +

ln_(ln_(n)) +C en utilisant des outils probabilies.

() Montrer quef(n)≥+bln_(n)c(o `ubxcd´esigne la partie enti`ere dex).

On fixe maintenantn ≥  et on consid`ere x<sub></sub>, . . . , x<sub>k</sub> ∈ {,, . . . , n} tels que les sommes qu’on puisse former en utilisant ces entiers soient toutes diff´erentes. On va montrer l’exis- tence deC(ind´ependant den) tel quek≤ln<sub></sub>(n) +<sup></sup><sub></sub>ln<sub></sub>(ln<sub></sub>(n)) +C. Pour cela, on consid`ere des variables al´eatoiresB_, . . . , B_k ind´ependantes de mˆeme loi Bernoulli de param`etre/.

On pose

X=B_x_+· · ·+B_kx_k.

() Soitλ >. En utilisant l’in´egalit´e de Bienaym´e-Tchebychev, montrer que P

|X−E[X]|< λn

√ k/

≥−  λ^.

() Montrer que pour tout entier x on a soit P(X=x) = , soit P(X=x) = ^−k. En remarquant qu’il y a au plus λn

√

k+entiers x tels que |x−E[X]| < λn

√k/, en d´eduire que

P

|X−E[X]|< λn

√k/

≤^−k(λn

√ k+).

() Conclure en prenantλ=√

.

