X – MAP
PC – juin – E imateurs, TCL, ve eurs gaussiens
Igor Kortchemski –[email protected]
Corrig´e des exercices non trait´es surhttp:// www.normalesup.org/ ˜ kortchem/ MAPun peu apr`es la PC.
E xercice 1. (Manipulations sur les gaussiennes)On rappelle qu’une variable al´eatoire gaus- sienneXde param`etres (m, σ) a pour fonion cara´eriiqueφ(t) =E
heitXi
=eimt−σt. () SoitX=N(,) une loi gaussienne centr´ee r´eduite.Quelle ela loi dem+σ X?
() SoientX=N(m, σ) etY =N(m, σ) deux variables al´eatoires gaussiennes ind´ependantes.
Quelle ela loi deX+Y? Ce r´esultat ree-t-il vrai siXetY ne sont pas ind´ependantes ? () Soit (Xk)k≥une suite de gaussiennes centr´ees r´eduites ind´ependantes. On pose
Yn= n
Xn k=
√ kXk.
´Etudier la convergence en loi deYn.
E imateur du maximum de vraisemblance
E xercice 2. (EMV pour des variables exponentielles)On observe un ´echantillon (X, . . . , Xn) de ntemps d’attente du RER B, qu’on suppose ind´ependants et de mˆeme loi exponentielle de param`etreθ >inconnu.
() D´eterminer l’eimateur du maximum de vraisemblanceθbn=θn(X, . . . , Xn) deθet mon- trer qu’il converge presque s ˆurement versθlorsquen→ ∞.
() Cet eimateur e-il sans biais ?
On rappelle que la densit´e de la loiΓ(a, λ)e Γ(a)λaxa−e−λx1x>. () D´emontrer que√
n(bθn−θ) converge en loi vers une loi qu’on d´eterminera.
Indication.On pourra utiliser lam´ethode delta.
E xercice 3. (Plus appliqu´e) Une colonie de vampires a ´elu domicile dans un chˆateau des Carpates, et la comptesse D. souhaite eimer leur nombre. Pour cela, une nuit de pleine lune, la comptesse en capture , leur mord les oreilles, puis les relˆache. La nuit suivante, elle en captureau hasard. Trois ont une morsure aux oreilles.
Aidez la comptesse D. en utilisant un eimateur du maximum de vraisemblance.
Pour des queions, demande d’explications etc., n’h´esitez pas `a m’envoyer un mail.
Probl`eme r´ecapitulatif
E xercice 4. (Mod`ele auto-r´egressif d’ordreAR()). Soit (Yn)n≥une suite de variables al´eatoires ind´ependantes et de mˆeme loiN(m, σ). Soienta∈RetXune variable al´eatoire de loiN(m, σ) ind´ependante de (Yn)n≥. Pour toutn≥, on d´efinit la suite r´ecurrente al´eatoire (Xn)n≥ par
Xn=aXn−+Yn.
Il s’agit d’un cas particulier des´eries temporelles, utilis´ees pour mod´eliser l’´evolution pass´ee d’une quantit´e pour en pr´evoir le comportement futur.
Premi`ere partie.
() Montrer que (X, . . . , Xn) eun veeur gaussien.
() D´eterminer la loi deXn et exprimer Cov(Xk, Xn) en fonion de Var(Xk) pour ≤k≤n.
Trouver la valeur dectelle queX+cX soit ind´ependant deX.
() `A quelle condition surala suite (Xn) converge-t-elle en loi ?Quelle ealors la loi limite ? Quelle ela loi deXnsiX a cette loi limite ?
() Montrer que si a∈]−,[, le veeur (Xn, Xn+) converge en loi vers un veeur gaussien dont on d´eterminera les param`etres.
() Poura∈]−,[, ´etudier la convergence en loi de la moyenne empiriqueXn=nPn
i=Xi.
Deuxi`eme partie. On suppose maintenant que (Yn)n≥ e une suite de variables al´eatoires ind´ependantes et de mˆeme loiN(, σ) (avecσ connu), queX=et queaeinconnu.
() Soitg la densit´e d’une loi gaussienneN(, σ). Montrer qu’une densit´efnde (X, . . . , Xn) au point (x, . . . , xn) e
fn(x, . . . , xn) =g(x)g(x−ax)· · ·g(xn−axn−).
() D´eterminer l’eimateur du maximum de vraisemblanceban=ban(X, . . . , Xn) dea.
A chercher pour la prochaine fois `
E xercice 5. Soit (Xk)k≥des variables al´eatoires ind´ependantes de mˆeme loi uniforme sur [, θ]
(avecθinconnu).
() Montrer que l’eimateur du maximum de vraisemblance θbn = bθn(X, . . . , Xn) de θ e θbn= max(X, . . . , Xn).
() Montrer queWn=n
−bθn
θ
converge en loi quandn→ ∞et d´eterminer sa limite.
Pour aller plus loin
E xercice 6. (Eimateurs lin´eaires)SoientX, . . . , Xndes variables al´eatoires ind´ependantes de mˆeme loi et de carr´e int´egrable. Trouver l’eimateurθbnde la moyenneθ=E[X], qui soit sans biais (c’e-`a-dire E
h θbni
= θ et de variance minimale dans la classe des eimateurs lin´eaires θbn=Pn
k=akXk.
E xercice 7. Soitg : [,]→ [,] une fonion (mesurable) born´ee. On souhaite calculer m= R
g(x)dx. On pose σ =R
g(x)dx−m. Soient X etY des variables al´eatoires ind´ependantes de loi uniforme sur [,]. On pose
U=1Y≤g(X), V =g(X), W = g(X) +g(−X)
.
() Calculer l’esp´erance et la variance deU , V , W. Comparer les variances deU etV. () Proposer trois m´ethodes de type Monte-Carlo pour calculerm.
On suppose dans la suite quegemonotone.
() V´erifier queE[g(X)g(−W)]≤m et comparer les variances deV etW.
Indication.On pourra montrer que (g(x)−g(y))(g(−x)−g(−y))≤pour toutx, y∈[,].
Soit (Xi)i≥ une suite de variables al´eatoires ind´ependantes de loi uniforme sur [,].
() On consid`ere les eimateurs suivants dem: An=
n Xn
k=
g(Xk) et
n Xn
k=
(g(Xk) +g(−Xk)).
Montrer qu’ils sont sans biais. Lequel poss`ede la plus petite variance ?
() Dans le cas o `ug(x) =x, d´eterminer le nombrende simulations n´ecessaires garantissant une pr´ecision relative de% sur le calcul dem en erreur quadratique avec An etBn(la pr´ecision relative ´etant Var(Amn),Var(Bmn)).
