E xercice 3. La hauteur maximale en mètres de la crue annuelle d’un fleuve emodélisée par une variable aléatoire de Rayleigh de paramètreaqui a pour densité :

(1)

X  – MAP 

PC  –  juin  – Te s

Corrig´e des que ions non abord´ees en PC

Corrigé des exercices non traités surhttp:// www.normalesup.org/ ˜ kortchem/ MAPun peu après la PC.

 E imateurs du maximum de vraisemblance

E ^{xercice 3.}

La hauteur maximale en mètres de la crue annuelle d’un fleuve emodélisée par une variable aléatoire de Rayleigh de paramètreaqui a pour densité :

f(x) =x

ae⁻^x^a^1x≥

o `uaeun param`etre inconnu.

() D´eterminer l’esimateur du maximum de vraisemblanceba_ndea.

() SiXsuit une loi de Rayleigh de paramètrea, démontrer queX^suit une loi exponentielle de paramètre/(a).

() L’eimateurbane-il sans biais ?

() Trouver un intervalle de confiance asymptotique pouraau niveau%.

On rappelle que la variance d’une loi exponentielle de param`etreλe/λ^.

() Une compagnie d’assurance eime qu’une catarophe correspond à une crue de plus dem. Trouver un intervalle de confiance asymptotique pour la probabilitépqu’une catarophe se produise durant une année au niveau%.

Corrigé : Soit (Xi)i≥une suite de variables aléatoires indépendantes de loi de Rayleigh.

() Une densit´e de (X_, . . . , Xn) au point (x_, . . . , xn) e Q_n

i=x_i aⁿ e⁻

Pn i=x

a i.

Pour chercher quelle valeur deamaximise cette quantité, on calcule sa dérivée par rapport àa, qui vaut

−n Qn

i=x_i a^n+ e⁻

Pn i=x

a i + Qn

i=x_i aⁿ ·

Pn i=x_i^

a^ ·e⁻

Pn i=x

a i = Qn

i=x_i a^n+ e⁻

Pn i=x

a i −an+ Pn

i=x^_i



! .

Ainsi,

ba_n= Pn

i=X_i^

n .

() On utilise la m´ethode de la fonion muette. Soit F :R→R une fonion continue born´ee. Alors, avec le changement de variableu=x^(et doncx=√

uetdx=_^du^√_u) :

E[F(X)] = Z ^∞

 F(x^)x ae⁻^x



adx= Z^∞

 F(u) 

ae⁻^aûdu, d’o ù le résultat.

() CommeX_^suit une loi exponentielle de paramètre/(a), on aE[X_^] =a, et par linéarité de l’espéranceba_n esans biais.

Pour des queions, demande d’explications etc., n’h´esitez pas `a m’envoyer un mail.



(2)

() D’après le théorème central limite,

√ n·

Pn i=X_i^

n −a

!

−→

n→∞ N(,Var(X_^)) =N(,a^)).

On en d´eduit en utilisant le lemme de Slutsky que

√ n

ba_n (ba_n−a) −→

n→∞

N(,).

En notantz_−α/'.le quantile de niveau−α/de la loi gaussienne centrée réduite, on en déduit que bI_n=

"

ba_n −z_√⁻α/

n

!

,ba_n +z_√⁻α/

n

!#

eun intervalle de confiance asymptotique pouraau niveau%.

() La probabilit´e d’une catarophe e p=

Z ^∞



x

ae⁻^x^a^dx=

e⁻^x^a^ ^∞

 =e⁻^/a. Ainsi, un interalle de confiance asymptotique pourpau niveau% e:

bJ_n=





 exp







− 

ba_n

+^z^^√⁻^α/_n





 ,exp







− 

ba_n

−^z^^√⁻^α/

n











 .

 Plus appliqu´e

E ^{xercice 4.}

On considère les décimales du nombreπe on souhaite savoir si elles sont uniformément réparties sur X ={, . . . , n}. On calculeπ à⁻ⁿ près avecn=, ce qui nous donne lesnpremières décimales deπ. On trouve N_=,N_=,N_=,N_=,N_=,N_=,N_=,N_=,N_=etN_=.

Teer l’hypothèse que les décimales deπsont uniformément réparties au niveau%.

Corrigé : On effeue un teduχ^ d’adéquation à une loi uniforme sur{,, . . . ,}. En notantθb_i la proportion du nombre deiet en posantθ_i =/, on forme

ζ_n=n X j=

θb_j−θ_j

θ_j '..

Sous l’hypothèseH_“les décimales sont uniformément réparties”,ζnconverge en loi cers une loi duχ_àdegrés de liberté. SiZ∼χ^_, on aP(Z≥.) =.. Commeζ_n≥., on accepte au niveau (asymptotique)%.

 Quelques exercices pour finir...

E ^{xercice 5.}

Démontrer qu’il n’epas possible de truquer deux dés indépendants de façon à ce que la somme des points obtenus en les lançant indépendamment suive la loi uniforme sur l’ensemble{,,, . . . ,}.



(3)

Indication.On pourra noterU etV deux variables aléatoires indépendantes à valeurs dans{,, . . . ,}, supposer que S=U+V suit la loi uniforme sur{,, . . . ,}et exploiter le fait queE

hx^Si

=E hx^Ui

·E hx^Vi

.

Corrig´e : Notonsu_i =P(U =i) etv_i =P(V =i) pour≤i≤. Tout d’abord, on doit avoiru_>etv_>(car sinon _^ =P(S=) =P(U=etV =) =. D’autre part,



(x^+· · ·+x^) = (u_x+· · ·+u_x^)(v_x+· · ·+v_x^).

Donc 

· · ·x^−

x− = (u_+· · ·+u_x^)(v_+· · ·+v_x^).

Comme un polynôme à coefficients réels de degré impair admet au moins une racine réelle, on en déduit que ^x_x^−⁻^

poss`ede au moins deux racines r´eelles, ce qui eabsurde.

E ^{xercice 6.}

Selon Shakespeare, César dit à Brutus au moment de mourir : “Et tu, Brute ? Then fall, Cæsar !”. Eimez la probabilité que vous inhaliez à cet inant l’une des molécules d’air exhalées par César prononçant cette ultime phrase.

On supposera qu’il y a^molécules d’air en tout, qu’il y a environ·^ molécules d’air dans.litres d’air et qu’une inhalation ou une exhalation représentent.litres d’air.

Corrigé : On noteN =^le nombre de molécules d’air (supposé conant). Soitale nombre de molécules d’air inhalées/exhalées pendant une respiration. Notonspla probabilité qu’on inhale à cet inant l’une des molécules d’air exhalées par César prononçant cette ultime phrase.

La probabilité qu’une moléculare d’air donnée ait été exhalée par César vauta/N. Donc

−p= − a

N a

(en supposant que les molécules d’air sont uniformément réparties dans l’atmosphère et en utilisant l’approximation tirage sans remise = tirage avec remise caraebeaucoup plus petit queN).

On aa=.·^^·^^

. =^_·^, de sorte

−p= exp 

·^·ln −

·⁻^

!!

'exp −



! '.,

en utilisant l’approximation ln(−x)' −xpourxpetit. Ainsi,p'..



E xercice 3. La hauteur maximale en mètres de la crue annuelle d’un fleuve emodélisée par une variable aléatoire de Rayleigh de paramètreaqui a pour densité :

X  – MAP 

PC  –  juin  – Te s

Corrig´e des que ions non abord´ees en PC

 E imateurs du maximum de vraisemblance

E xercice 3.

 Plus appliqu´e

E xercice 4.

 Quelques exercices pour finir...

E xercice 5.

E xercice 6.

E ^{xercice 3.}

E ^{xercice 4.}

E ^{xercice 5.}

E ^{xercice 6.}