LOIS DE PROBABILTES DISCRETES
I) LOI UNIFORME DISCRETE faire ex 27 p 205
Définition :
Soit n ∈ ℕ* et X la variable aléatoire qui prend ses valeurs dans S ={1;2 ;... ; n}.
Dire que la loi de probabilité de X est une loi uniforme signifie que toutes les valeurs prises par X sont équiprobables.
Donc pour tout k ∈ S, P(X=k)=1 n . Propriété :
Si la la variable aléatoire X suit la loi uniforme sur S ={1;2 ;... ; n} alors son espérance est E(X)=n+1
2
Exercices : 24-26 - 28 p 205 (pour 28 même question avec y = somme des deux dés) II) LOI BINOMIALE
1) Epreuve de Bernoulli
Ex 1 :(feuille) Un feu tricolore reste 20s au vert, 10 s à l'orange et 30 s au rouge. Soit X la variable aléatoire qui prend la valeur 1 si l'on peut passer sinon elle prend la valeur 0.
Déterminer la loi de probabilité, l’espérance, la variance et l'écart-type de X.
Définition :
Une épreuve de Bernoulli est une expérience qui n'a que deux issues possibles, l'une appelée le succès (S) et l'autre l'échec ( S )
Exemples : on lance une pièce : pile est S et face est S On lance un dé : 1 est S et les autres résultats S
Définition :
La loi de Bernoulli de paramètre p avec p ∈ [0;1] d'une épreuve X de Bernoulli qui prend la valeur 1 en cas de succès et 0 sinon est : P(X=1) = p et donc P( X=0) = 1-p
Propriété :
Si la variable aléatoire X suit la loi de Bernoulli de paramètre p alors : E(X) = p V(X) = p(1-p) et (X) =
√
p(1−p).2) loi binomiale Exercice 2 :(feuille)
On lance 4 fois de suite une pièce truquée dont la probabilité de face est 0,6. On appelle X la variable aléatoire représentant le nombre de faces obtenues.
1) Représenter cette expérience par un arbre pondéré.
2) Déterminer la loi de probabilité de X.
3) Déterminer l'espérance de X.
Définition :
Soit un schéma de Bernoulli de paramètres (n;p). On note X la variable aléatoire qui à chaque résultat de ce schéma de Bernoulli associe le nombre de succès.
La loi de probabilité de X est appelée loi binomiale de paramètres n et p.
Définition :
Quand on représente à l'aide d'un arbre un schéma de Bernoulli de paramètres n et p, pour tout entier naturel k n , le nombre de de chemins réalisant k succès sur les n expériences est
(
kn)
que l'on lit « k parmi n ». Ces nombres sont appelés coefficients binomiaux.
Pour calculer
103
= 120 avec une calculatrice :TEXAS : 10 MATH PRB nCr 3 ENTER CASIO : 10 OPTN F 6 PROB nCr 3 EXE Propriété :
Si X est variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres n et p, alors pour tout entier naturel k n on a P(X=k) =
(
kn)
pk (1 – p)n – kEx : 14 p 201 ( utilisation calculatrice)
Propriété :
Si X est variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres n et p, alors E(X) = n.p et V(X) = n p (1-p) et (X) =
√
np(1−p)Propriété :
Pour tous les entiers naturels n ≠ 0 et k avec k n :
n0
= 1
nn
=1
nk
=
n – kn
nk
+
k1n
=
n1k1
Triangle de Pascal : En utilisant la dernière propriété : « la somme des deux rouges donne la bleue »
p
n 0 1 2 3 4 5 6
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20 15 6 1
Exercices : Ex 3 (feuille) 56 – 57 – 58 p 207
III) LOI GEOMETRIQUE
Définition :
On répète une épreuve de Bernoulli dont la probabilité du succès est p.
Soit X la variable aléatoire qui compte le nombre d'épreuves nécessaires pour avoir le premier succès.
La loi de probabilité de X est appelée loi géométrique de paramètre p.
Propriété :
Si X est variable aléatoire qui suit une loi géométrique de paramètre p, alors : pour tout k1, P ( X = k ) = p (1−p)k−1 , P ( X > k ) = (1−p)k
et E(X) = 1 p Démonstration :
Propriété : admise
Si X est variable aléatoire qui suit une loi géométrique de paramètre p, alors : E(X) = 1
p et pour tout k1, P ( X > k ) = (1−p)k.
Propriété :
Si X est variable aléatoire qui suit une loi géométrique de paramètre p, alors : pour tout k1 et n 1 , P(X>n)(X > n+k) = P(X > k)
P(X>10)(X > 15) = P(X > 5)
Cela signifie si l'on sait qu'il y a eu déjà 10 échecs, la probabilité que cela se réalise après 15 essais est la même que cela se réalise après 5 essais si on part de la première
On dit que c'est une loi sans mémoire.
Exercices : de 64 à 70 p 208
Exercice 1 :
Un feu tricolore reste 20s au vert, 10 s à l'orange et 30 s au rouge. Soit X la variable aléatoire qui prend la valeur 1 si l'on peut passer sinon elle prend la valeur 0.
Déterminer la loi de probabilité, l’espérance, la variance et l'écart-type de X.
Exercice 2 :
On lance 4 fois de suite une pièce truquée dont la probabilité de face est 0,6. On appelle X la variable aléatoire représentant le nombre de faces obtenues.
1) Représenter cette expérience par un arbre pondéré.
2) Déterminer la loi de probabilité de X.
3) Déterminer l'espérance de X.
Exercice 3 :
Dans la population française il y a 12 % de gauchers.
1) Dans une classe de 33 élèves calculer la probabilité : a) D'avoir exactement 4 gauchers.
b) Au plus 2 gauchers.
c) Au moins un gaucher.
2) Combien de gauchers peut-on s'attendre à trouver en moyenne dans une classe de 33 élèves.
