— les vecteurs de base,

Cours 3. G´ eom´ etrie pseudo-Riemannienne :

— les vecteurs de base,

— le produit scalaire,

— g´ eom´ etrie pseudo-Riemannienne,

— transformations des coordonn´ ees,

— la m´ etrique de la sph` ere.

Information practique :

Mail : [email protected]

Site web : http://stockage.univ-brest.fr/~scott/

Bureau : C303

Manuels scolaires de la physique :

(Hobson et al., 2010) : Tr` es claire mais ` a un niveau un peux ´ elev´ e (disponible en francais et anglais)

(Schutz , 2009) : Tr` es claire et ` a un bon niveau mais disponible en

anglais uniquement.

R´ esum´ e du cours d’aujourd’hui

— R´ esum´ e du dernier cours sur les vari´ et´ es. ds ² = g _αβ dx ^α dx ^β .

— L’intervalle de RR comme un produit scalaire : ds ² = ds ~ · ds. ~

— Une nouvelle d´ efinition de l’intervalle : g _αβ ≡ ~ e _α · ~ e _β .

— Les bases naturelles, la matrice de transformation.

— Quelques vecteurs importants en RR et RG.

R´ esum´ e du dernier cours sur les vari´ et´ es

— La signature de la m´ etrique est la diff´ erence entre le nombre d’entr´ ees positive et le nombre n´ egative des valeurs propres : Pour l’espace-temps, c’est +1 − 1 − 1 − 1 = −2. (Dans le

convention de Schutz, elle est −1 + 1 + 1 + 1 = +2.)

— Une vari´ et´ e est une espace des points (ex. les points d’un

plan ou la surface d’une sph` ere), et nous localisons les points avec les param` etres ou coordonn´ ees, x ^a , o` u a = 1, 2, . . . N , et N est la dimension de la vari´ et´ e. Les donn´ ees des

coordonn´ ees et les fonctions qui relient chaque N -uplet de coordonn´ ees avec un point unique de la vari´ et´ e sont le

syst` eme de coordonn´ ees (ex. coordonn´ ees cart´ esiennes pour le plan ou latitude et longitude pour la sph` ere.)

— En 4 dimensions, nous ´ ecrivons les coordonn´ ees comme x ^µ ,

ou µ = 0, 1, 2, 3 dont x ⁰ = c t (c est la vitesse de la lumi` ere dans le vide, et t est le temps).

— Tous vari´ et´ es sont continues. Nous utiliserons les vari´ et´ es diff´ erentiables (on peut d´ efinir un champ scalaire sur la vari´ et´ e que l’on peut diff´ erencier), et avec la g´ eom´ etrie pseudo-riemannienne.

— La g´ eom´ etrie d’une vari´ et´ e est d´ etermin´ ee par la fonction,f , pour un syst` eme des coordonn´ ees donn´ e, qui relie la distance entre deux points x ^µ et x ^µ + dx ^µ et les coordonn´ ees. Pour les vari´ et´ es pseudo-riemannienne on a

ds ² = f (x ^µ , dx ^µ ) = g _αβ (x ^µ ) dx ^α dx ^β .

— g _αβ est le tenseur m´ etrique. Il a une repr´ esentation par une matrice de 16 valeurs dont seulement 10 sont ind´ ependantes

`

a cause de la sym´ etrie g _αβ = g _βα .

— Nous pouvons changer le syst` eme de coordonn´ ees (e.g. de

cart´ esiennes ` a polaires ) sans affecter les points ou la

distance entre les points. (Mais ´ evidement la fonction g _αβ change avec le syst` eme des coordonn´ ees. )

— Dans l’espace euclidien de 2 dimensions en coordonn´ ees cart´ esiennes, le tenseur m´ etrique est

(g _αβ ) =





1 0 0 1





et

ds ² = (dx ¹ ) ² + (dx ² ) ² (x ¹ ≡ x, x ² ≡ y)

— En RR, nous avons l’espace plat de Minkowski, ou

g _αβ ≡ η _αβ et

(η _αβ ) =















1 0 0 0

0 −1 0 0

0 0 −1 0

0 0 0 −1















et c’est un peu comme l’espace euclidien, donc nous disons pseudo-euclidien.

— C’est toujours possible de changer le syst` eme de coordonn´ ees tel que

g _αβ = η _αβ (1)

∂g _αβ

∂x ^µ = 0 (2)

— L’espace-temps ressemble toujours localement ` a l’espace de

Minkowski. C’est un r´ esultat tr` es fondamental grˆ ace au

principe d’´ equivalence.

(de cours 2) Vari´ et´ e Riemannienne et pseudo-Riemannienne

— En RG, nous avons besoin des vari´ et´ es avec l’intervalle donn´ e par l’expression

ds ² (x ^µ ) = g _ab (x ^µ ) dx ^a dx ^b (3) et ds ² peut ˆ etre n´ egatif. Elles sont nomm´ ees vari´ et´ es

pseudo-Riemanniennes. ds ² peut ˆ etre n´ egatif parce que la matrice de la m´ etrique a des valeurs propres de signe

diff´ erents.

— Dans le cas o` u l’intervalle (au carr´ e) est strictement positive dans (3), nous disons que les vari´ et´ es sont Riemanniennes.

Ils ont tous ses valeurs propres positive.

— Attention : Les physiciens sont notoirement peu soign´ es et

parfois appellent vari´ et´ es pseudo-Riemanniennes « vari´ et´ es Riemanniennes » .

— La signature de la m´ etrique est la diff´ erence entre le nombre

d’entr´ ees positive et le nombre n´ egative des valeur propre :

Pour l’espace-temps, c’est +1 − 1 − 1 − 1 = −2. (Dans le

convention de Schutz, elle est −1 + 1 + 1 + 1 = +2.)

Cours 3

L’intervalle ds ² comme un produit scalaire.

— Rappelez-vous que l’intervalle (au carr´ e) ds ² est une sorte de distance, en effet c’est la limite infinit´ esimalle de l’intervalle de RR

∆s→0 lim ∆s ² = ds ²

— ds ² est invariant par les transformations de Lorentz ; c’est l’analogue de dl ² dans le plan euclidien.

— On peut ´ ecrire dl ² = dl ~ · dl, o` ~ u j’ai introduit le produit

scalaire et les vecteurs de base cart´ esienne et donc dl ² = dl ~ · dl ~ = (dl ^x ~ e _x + dl ^y ~ e _y ) · (dl ^x ~ e _x + dl ^y ~ e _y )

= (dl ^x ) ² ~ e _x · ~ e _x + dl ^x dl ^y ~ e _x · ~ e _y + dl ^y dl ^x ~ e _y · ~ e _x + (dl ^y ) ² ~ e _y · ~ e _y (4) o` u

dl ~ = (dl ^x ~ e _x + dl ^y ~ e _y ) = (dx~ e _x + dy~ e _y ). (5)

— Mais nous savons la g´ eom´ etrie du plan euclidien, dl ² = dx ² + dy ²

— ¸ Ca implique quoi pour les vecteurs de base ?

~ e _x · ~ e _x = 1, ~ e _x · ~ e _y = 0, (6)

~ e _y · ~ e _x = 0, ~ e _y · ~ e _y = 1. (7)

— En g´ en´ erale, le produit scalaire sur un espace-vectoriel r´ eel

est une forme bilin´ eaire, sym´ etrique, non-d´ eg´ en´ er´ e et d´ efinie positive. On peut ´ ecrire une telle forme bilin´ eaire :

A ~ · B ~ = A ^α B ^β g _αβ .

— Et parce que dl ² = dl ~ · dl, les coefficients sont le tenseur ~ m´ etrique !

— Le tenseur m´ etrique joue le double rˆ ole d’encoder la

g´ eom´ etrie et de nous dit comment faire le produit scalaire.

— Alors, une autre d´ efinition du tenseur m´ etrique est g _αβ ≡ ~ e _α · ~ e _β

— Notre produit scalaire est muni de tous les propri´ et´ es

attendues pour un produit scalaire (forme bilin´ eaire,

symm´ etrique), sauf il n’est pas d´ efini positif.

Vecteurs et tenseurs

— Les tenseurs sont les g´ en´ eralisations des vecteurs.

— On peut d´ efinir un tenseur comme une fonction qui a des vecteurs ou mˆ emes les « dual vecteurs » comme arguments et qui donne un nombre r´ eel :

g _µν : R ⁴ × R ⁴ → R . (8)

— Les vecteurs et tenseurs sont les objets math´ ematiques qui sont ind´ ependents du choix du syst` eme de coordonn´ ees.

— Par exemple, quand je fait une rotation du syst` eme des

coordonn´ ees cartesien les composants d’un vecteur changent, A ^α 6= A ^α

mais le vecteur reste le mˆ eme.

— On repr´ esente un quadrivecteur par quatre valeurs A ^α . On

repr´ esente un tenseur (de rang deux en N dimensions) par

une matrice carr´ ee avec N × N composants. La matrice

change avec le syst` eme des coordonn´ ees, mais le tenseur

reste le mˆ eme.

Outils importants (` a apprendre par cœur !)

— Donn´ e deux syst` emes des coordonn´ ees, x ^α et x ^α

, qui sont reli´ es par les fonctions inversibles

x ^α = x ^α (x ^α

), (9) x ^α

= x ^α

(x ^α ). (10) on peut transformer un vecteur (contravariant) A ^α avec une matrice de transformation T ^α _α

A ^α

= T ^α _α

A ^α o` u T ^α _α

≡ ∂x ^α

∂x ^α (11)

— Pour un vecteur covariant A _α (ce que Schutz appelle un

« one-form » ) on a

A _α

= ∂x ^α

∂x ^α

A _α (12)

— Pour un tenseur avec deux indices en bas, comme la m´ etrique g _αβ on a

g _α

_β

= ∂x ^α

∂x ^α

∂x ^β

∂x ^β

g _αβ (13)

Justification br` eve

— L’intervalle est invariant sous un changement des coordonn´ ees

ds ² = g _αβ dx ^α dx ^β (14)

= g _α

_β

dx ^α

dx ^β

(15)

— Utilisant le calcul ´ el´ ementaire

x ^α = x ^α (x ^α

), (16) dx ^α = ∂x ^α

∂x ^α

dx ^α

. (17)

— Substituant Eq. (17) dans Eq. (14) on trouve

imm´ ediatement Eq. (15). [Write on board, or use as TD.]

G´ eom´ etrie d’un espace-temps courbe, le trou noir de Schwarzschild

— Quel est le tenseur m´ etrique (la m´ etrique) pour l’´ el´ ement de longueur (de Schwarzschild)

ds ² = (1 + 2Φ)c ² dt ² − 1

(1 + 2Φ) dr ² − r ² dθ ² − r ² sin ² θdφ ²

— Ici, la fonction Φ(r) a la forme du potentiel gravitationnel de Newton :

Φ = − Gm c ² r

et m est la masse relativiste. Dans la limite de faible

gravitation Φ s’approche du potentiel gravitationnel. Mais Φ

n’est pas exactement le potentiel parce que r n’est pas la

distance du centre de l’astre.

— Comment mesurer les distances dans l’espace donn´ e ?

Exploration de la (surface de la) sph` ere

— Trouver la m´ etrique – une construction g´ eom´ etrique.

— Verifier la m´ etrique – transformer la m´ etrique de l’espace euclidien en 3D des coordonn´ ees cartesiennes ` a coordonn´ ees sph` eriques. Puis garder r = r _s , ¸ ca nous donne une sph` ere de rayon r _s et la m´ etrique aussi : dl ² = r _s ² dθ ² + r _s ² sin ² θdφ ² .

— Calculer quelques longueurs sur la sph` ere.

Trouver la m´ etrique d’une sph` ere

— Pour trouver la m´ etrique d’une sph` ere nous commen¸ cons avec une construction g´ eom´ etrique de l’´ el´ ement de longueur.

[Draw figure.]

— Construction analytique de l’´ el´ ement de longueur.

x = r sin θ cos φ y = r sin θ sin φ

z = r cos θ (18)

— ´ El´ ements de la matrice de transformation :

∂x

∂r = sin θ cos φ ^∂x _∂θ = r cos θ cos φ _∂φ ^∂x = −r sin θ sin φ

∂y

∂r = sin θ sin φ ^∂y _∂θ = r cos θ sin φ _∂φ ^∂y = r sin θ cos φ

∂z

∂r = cos θ ^∂z _∂θ = −r sin θ _∂φ ^∂z = 0

(19)

— Utilisez g _α

_β

= ^∂x

∂x

∂x

∂x

g _αβ .

Les vecteurs : pr´ esentation g´ en´ erale

Changement de base pour les vecteurs contravariants

— Pour chaque syst` eme de coordonn´ ees, on peut d´ efinir une base. (Nous utiliserons toujours les base naturelles, obtenu par les vecteurs tangents des lignes de coordonn´ ees, expliqu´ e dans quelques minutes).

— La base e ~ ⁰ _µ ≡ ~ e _µ

est un ensemble de quatre vecteurs de

l’espace vectoriel de ~ e _µ et donc nous pouvons ´ ecrire chacun

par une combinaison lin´ eaire comme :

~ e ₀

= a~ e ₀ + b~ e ₁ + c~ e ₂ + d~ e ₃ , .. .

~ e ₃

= e~ e ₀ + f~ e ₁ + g~ e ₂ + h~ e ₃ ,

(20) o` u a, b, c, d, e, f, g, h ∈ R . Plus succinctement, on peut ´ ecrire,

e ~ ⁰ _µ ≡ ~ e _µ

= T ^α _µ

~ e _α (21) o` u T ^α _µ

est une matrice de 16 composantes, la matrice de transformation.

— Nous pouvons trouver la r` egle qui relie les composantes du

mˆ eme vecteur ´ ecrit avec les deux bases : A ~ = A ^µ ~ e _µ

= A ^ν

~ e _ν

, par d´ efinition (22)

= A ^ν

T ^α _ν

~ e _α , en utilisant (21) (23)

— Remarquez que α est un indice muet, c’est-a-dire qu’il est r´ ep´ et´ e dans le mˆ eme monˆ ome, et donc il y a une sommation implicite sur toutes les (4) valeurs possibles de α.

— Et donc nous pouvons utiliser n’importe quelle lettre grecque pour ¸ ca, et pourquoi pas µ ?

— Qu’est-ce qu’est la relation entre A ^µ et A ^ν

?

Changement de base pour les vecteurs contravariants . . .

— Ce choix nous permet de voir imm´ ediatement que A ^µ = T ^µ _ν

A ^ν

— Les vecteurs dont les composantes se transforment ainsi sont

appel´ es des vecteurs contravariants.

Changement de base pour les vecteurs contravariants . . .

— On peut aussi ´ ecrire,

~ e _µ = T _µ ^ν

~ e _ν

(24)

— Quelle est la relation entre T ^α _ν

et T _µ ^ν

? Ils sont des

transformations inverses. Pourquoi ?

Transformations inverses

— Parce que :

~ e _µ = T _µ ^ν

~ e _ν

utilisant (24)

= T _µ ^ν

T ^α _ν

~ e _α utilisant (21) Mais les vecteurs de base sont ind´ ependants, donc

T _µ ^ν

T ^α _ν

= δ _µ ^α . (25)

— TD : En rempla¸cant les transformation par leur d´ efinitions Eq. (11)

T ^α _α

≡ ∂x ^α

∂x ^α , T ^α _α

≡ ∂x ^α

∂x ^α

(26)

v´ erifier Eq. (25).

Nouvelles composantes par rapports aux ancients

— Nous pouvons trouver l’autre r` egle qui relie les composantes du mˆ eme vecteur ´ ecrit dans les deux bases :

A ~ = A ^µ ~ e _µ

= A ^ν

~ e _ν

, mˆ eme vecteur, base diff´ erente

= A ^µ T _µ ^ν

~ e _ν

, en utilisant (24) (27)

— Donc,

A ^µ

= A ^µ T _µ ^µ

(28)

R´ esum´ e : composantes contravariantes

— Si les vecteurs de base sont reli´ es par les deux matrices de transformation :

~ e _µ

= T ^α _µ

~ e _α

~ e _µ = T _µ ^α

~ e _α

(29) puis les matrices de transformation doivent ˆ etre inverses :

T _µ ^ν

T ^α _ν

= δ _µ ^α

et les composantes contravariantes sont reli´ es par

A ^µ

= A ^µ T _µ ^µ

(30)

A ^µ = A ^ν

T ^µ _ν

(31)

Comment obtenir les ~ e _α ? Les bases naturelles

— Supposons que nous avons un syst` eme de coordonn´ ees, x ^µ , pour une vari´ et´ e quadridimensionnelle. Nous pouvons

facilement d´ efinir les courbes, dites courbes ou lignes de coordonn´ ees, fixant toutes les coordonn´ ees sauf une seule, x ^α∗ (o` u ici α∗ est fixe). Permettons x <sup>α∗</sup> de changer avec le temps-propre τ (ou un autre param` etre commode) :

— x ^α∗ = x ^α∗ (τ ) est la ligne de coordonn´ ee, et l’ensemble de 4 courbes (il y a 4 valeurs possibles de α∗) sont les 4 lignes de coordonn´ ees dans la vari´ et´ e, voyez Fig. 3.4 de (Hobson et al., 2010).

— Le vecteur tangent au point P de la vari´ et´ e ` a la ligne de

coordonn´ ee x ^α∗ nous donne un vecteur de base ~ e _α∗ .

— Comment obtenir un vecteur tangent ? Voir (Hobson et al.,

2006, §3.3) si vous ˆ etes curieux.

Comment obtenir la matrice de transformation T ^α _µ ⁰ ?

— Consid´ erons deux points P et R voisins pas forc´ ement sur une ligne coordonn´ ee. Le vecteur de d´ eplacement

infinit´ esimal s´ eparant P et R est d~ s d~ s = ~ e _µ dx ^µ

Remarquez que µ est ici un indice muet, et donc il y a une sommation implicite de 4 vecteur ci-dessus.

— Si nous changeons les coordonn´ ees de x ^µ ` a x ^µ

nous

changeons les vecteurs de base de ~ e _µ ` a ~ e _µ

, mais bien sˆ ur

nous ne changeons pas le vecteur de d´ eplacement

infinit´ esimal s´ eparant P et R.

d~ s = ~ e _µ dx ^µ = ~ e _µ

dx ^µ

(32)

— Les nouvelles coordonn´ ees sont les 4 fonctions de coordonn´ ees originales,

x ^µ

= x ^µ

(x ^µ )

et nous supposons que les fonctions sont les bijections (sont d’un ` a un) donc nous avons aussi leurs 4 fonctions

r´ eciproques :

x ^µ = x ^µ (x ^µ

)

— C’est un r´ esultat du calcul diff´ erentiel que dx ^µ = ∂x ^µ

∂x ^µ

dx ^µ

— En utilisant la formule ci-dessus dans (32) nous trouvons

imm´ ediatement

~ e _µ dx ^µ = ~ e _µ

dx ^µ

, mˆ eme vecteur, base diff´ erente

~ e _µ ∂x ^µ

∂x ^µ

dx ^µ

= ~ e _µ

dx ^µ

,

~ e _µ ∂x ^µ

∂x ^µ

= T ^µ _µ

~ e _µ = ~ e _µ

. parce que dx ^µ

est arbitraire (33) Donc :

T ^µ _µ

= ∂x ^µ

∂x ^µ

C’est tr` es important, donc n’oubliez pas !

Les espaces duaux

— Pour un ensemble de vecteurs de base ~ e _µ , nous pouvons toujours d´ efinir un second ensemble de vecteurs de base ˜ ω ^ν par la relation

˜

ω ^ν · ~ e _µ ≡ δ _µ ^ν = 0 quand µ 6= ν

= 1 quand µ = ν (34)

— ˜ ω ^ν sont nomm´ es l’ensemble de vecteurs de base duaux ou duale.

— Attention ! (Hladik , 2006, Section 2.2.2) parle de l’ensemble de vecteurs de base duale comme les composants des

vecteurs contravariants, x ^ν . Moi, je le trouve d´ eroutant.

Hobson et al. (2010, Section 3.4) et Schutz (2009, Section

3.3) sont beaucoup plus simples et clairs.

— Nous pouvons ´ ecrire le mˆ eme vecteur avec les deux bases, A ~ = A ^µ ~ e _µ

= A _µ ω ˜ ^µ (35)

ou A _µ sont les composantes covariantes. Dans quelque

minutes nous allons voir pourquoi.

Les vecteurs covariants

— Pourquoi A _µ sont dites composantes covariantes ?

— Comment les composantes covariantes se transforment

quand nous changeons les coordonn´ ees, et donc les base ~ e _µ et aussi les base duaux ˜ ω ^µ ?

— R´ ep´ etant les arguments ci-dessus, nous trouvons les r´ esultats

suivants :

R´ esum´ e : composantes covariantes

— Si les vecteurs de base sont reli´ es par la matrice de transformation

~ e _µ

= T ^α _µ

~ e _α (36)

~ e _µ = T _µ ^α

~ e _α

avec, (37) T _µ ^ν

T ^α _ν

= δ _µ ^α (38) puis les vecteurs de base duaux sont reli´ es par

˜

ω ^µ

= T _α ^µ

ω ˜ ^α

˜

ω ^µ = T ^µ _α

ω ˜ ^α

(39)

et les composantes contravariantes sont reli´ es par

A _ν

= A _µ T ^µ _ν

(40) A _µ = A _ν

T _µ ^ν

(41)

— Comparant (36) avec (40) [ou (37) avec (41) ] nous voyons que les composantes covariantes se transforment comme les vecteurs de base. (Mais d’apr` es mois c’est une raison bˆ ete parce que les vecteurs de base duaux se transforme contra des composantes covariantes !)

— On voit aussi le terme « one-form » ou « une forme

monolin´ eaire » pour vecteur covariant (Misner et al., 1973;

Schutz , 2009) ou

http://www-cosmosaf.iap.fr/MIT-RG2F.pdf.

R´ ef´ erences

Hladik, J. (2006), Introduction ` a la Relativit´ e G´ en´ erale, Ellipses, Paris.

Hobson, M., G. Efstathiou, and A. Lasenby (2006), General Relativity : An introduction for physicists, Cambridge, Cambridge University Press, UK.

Hobson, M., G. Efstathiou, and A. Lasenby (2010), Relativit´ e G´ en´ erale, de boeck, Bruxelles.

Misner, C. W., K. S. Thorne, and J. A. Wheeler (1973),

Gravitation, W. H. Freeman and company, San Francisco.

Schutz, B. (2009), A first course in General Relativity, Cambridge

University Press, Cambridge UK.

Things I missed

— Scalar fields on manifolds (helpful not critical)

— Tangent space (could also have covered in Lecture 2 on manifolds)

— Raising and lower indices, connection of dot product and metric tensor (very important, but maybe cover in tensors lecture ?)

— Sections 3.8, 3.9, 3.10 (affine business, will need later when talking about geodesics !)

— Section 3.11 Geodesics

— Section 3.12 Covariant derivative of a vector ! ! ! !

— 3.13 Vector operators in component form ?

— Parallel transport ! ! ! (will need this to talk about curvature)

— 3.16, 3.17, 3.18, 3.19, 3.20 more on geodesics.

Cours 3 bis : Pourquoi on a besoin des composantes contravariantes et

covariantes des vecteurs ?

—

—