Cours2.Vari´et´es,g´eom´etriedesvari´et´es,etletenseurm´etrique Cours2:vari´et´espseudo-riemanniennes 1

Cours 2. Vari´et´es, g´eom´etrie des vari´et´es, et le tenseur m´etrique

R´esum´e du cours de aujourd’hui

— R´esum´e du dernier cours sur la Relativit´e Restreinte.

— Qu’est-ce qu’une vari´et´e ?

— Dimensions et coordonn´ees sur une vari´et´e.

— G´eom´etrie des vari´et´es – le tenseur m´etrique.

— Convention de sommation.

— Vari´et´es pseudo-riemanniennes.

— Tenseur m´etrique de l’espace-temps de Minkowski

— RR est une th´eorie de la structure de l’espace et du temps

« l’espace-temps » qui s’applique quand il n’y a pas de masse/´energie importante dans le lieu.

— L’espace-temps de RR remplace celui implicite dans la physique newtonienne, c’est-`a-dire l’espace euclidien et le temps absolu.

— L’espace-temps de RR est plat et permet l’utilisation d’un r´ef´erentiel pseudo-cart´esien global (nous verrons en RG les r´ef´erentiels pseudo-cart´esiens ne s’appliquent que localement car l’espace-temps devient courbe).

— L’universalit´e de la vitesse de la lumi`ere dans le vide entraˆıne tous les resultats de RR.

— Imm´ediatement on a l’intervalle,

∆s² = c² ∆t² − ∆x² − ∆y² − ∆z² = c² ∆t² − ∆l² entre deux ´ev´enements d’espace-temps est invariant

(c’est-`a-dire il ne change pas avec changement du r´ef´erentiel inertiel).

— Avec un petit peu d’alg`ebre on trouve la transformation de Lorentz (qui remplace celle de Galilee) par laquelle

l’intervalle ∆s² est invariant.

— Dans la RR, les coordonn´ees d’´ev´enements dans le r´ef´erentiel S⁰ sont reli´ees `a ses coordonn´ees dans le r´ef´erentiel S par

x⁰ = −β γct + γ x, y⁰ = y,

z⁰ = z. (1)

o`u,

β = v c ,

γ = 1

p1 − β² . (2)

— Et avec un petit plus d’alg`ebre on trouve les r´esultats principaux de RR.

R´esum´e du cours de aujourd’hui

— R´esum´e du dernier cours sur la Relativit´e Restreinte. X

—

Qu’est-ce qu’une vari´et´e ?

— Dimension et coordonn´ees sur une vari´et´e.

— G´eom´etries des vari´et´es – le tenseur m´etrique.

— Convention de sommation.

— Vari´et´es pseudo-riemanniennes.

— Tenseur m´etrique d’espace-temps de Minkowski.

— Une vari´et´e est un objet math´ematique g´en´erale, c’est un ensemble des points avec des fonctions qui relient les points avec des coordonn´ees en R^N.

— L’espace-temps 4D de RR est un exemple d’une vari´et´e en 4 dimensions, dit de Minkowski.

— La relativit´e g´en´erale introduits les espaces g´eom´etriques plus complexes qui sont ´egalement des vari´et´es.

— Une vari´et´e est continue si dans le voisinage du chaque point P il y a des points dont les coordonn´ees sont

infinit´esimalement proche de celles de P.

— Une vari´et´e est diff´erentiable si on peut d´efinir un champ scalaire diff´erentiable en chaque point.

R´esum´e du cours de aujourd’hui

— R´esum´e du dernier cours sur la Relativit´e Restreinte. X

— Qu’est-ce qu’une vari´et´e ? X

—

Dimension et coordonn´ees sur une vari´et´e.

— G´eom´etries des vari´et´es – le tenseur m´etrique.

— Convention de sommation.

— Vari´et´es pseudo-riemanniennes.

— Tenseur m´etrique d’espace-temps de Minkowski.

Dimension et coordonn´ees sur une vari´et´e

— La dimension N d’une vari´et´e est le nombre de parameters n´ecessaire pour specifier un point unique sur la vari´et´e.

— Les N parameters, x¹, x², . . . , x^N sont les coordon´ees d’un point P de la vari´et´e. Nous ´ecrirons x^a o`u il est sous-entendu que a = 1,2, . . . N. (Les indices a sont des exposants ; ne

confondez pas avec la puissance.)

— Pour nous, d’habitude N = 4, et nous ´ecrirons x^µ, o`u les

lettres grecques prennent les valeurs µ = 0,1,2,3, pour notre

espace-temps quadri-dimensionnel c t = x⁰

x = x¹ y = x² z = x³















coordonn´ees pseudo-cart´esiennes (3)

— Pour quelque syst`eme de coordonn´ees, il y a des points o`u il n’y a pas des coordonn´ees unique. Par exemple, pour la

vari´et´e simple du plan en 2 dimension, R², avec le syst`eme de coordonn´ees polaires (r, θ), l’origine est d´eg´en´er´e. (La valeur de θ n’est pas unique.)

— Bien entendu pour cet exemple on peut ´eviter le probl`eme par utilisant le syst`eme de coordonn´ees cart´esiennes. Il s’agit juste d’une d´eg´en´erescene de coordonn´ees. Mais il y a des vari´et´es pour laquelle il n’y a pas un seul syst`eme de

coordonn´ees non-d´eg´en´er´e. Un exemple simple est la sph`ere

o`u, avec les coordonn´ees latitude et longitude (θ, φ) les deux pˆoles (θ = π/2 et θ = −π/2) sont d´eg´en´er´es. La solution est d’utiliser un syst`eme de coordonn´ees non-d´eg´en´er´e locale.

R´esum´e du cours de aujourd’hui

— R´esum´e du dernier cours sur la Relativit´e Restreinte. X

— Qu’est-ce qu’une vari´et´e ? X

— Dimension et coordonn´ees sur une vari´et´e. X

—

G´eom´etries des vari´et´es – le tenseur m´etrique.

— Convention de sommation.

— Vari´et´es pseudo-riemanniennes.

— Tenseur m´etrique d’espace-temps de Minkowski.

distance infinit´esimale s´eparant ce point de ses proches voisins qui d´etermine la g´eom´etrie locale de la vari´et´e.

— Pour un point P d’une vari´et´e, avec les coordonn´ees x^a,

consid´erons un point Q infinit´esimalement proches de P, de coordonn´ees x^a + dx^a. La distance ou intervalle au carr´e ds² qui s´epare P et Q est en g´en´eral donn´ee par la fonction

ds² = f(x^a, dx^a),

et cette fonction d´etermine la g´eom´etrie locale de la vari´et´e en point P.

— La distance au carr´ee, ds², est invariante sous un

changement de coordonn´ees. Par exemple, pour la vari´et´e

d’un plan en deux dimensions d’espace euclidien, la distance entre P et un point Q infinit´esimalement proche de P, est la mˆeme en coordonn´ees cart´esiennes x^a = (x, y) et

coordonn´ees polaires x^a = (r, θ) :

ds² = dl² = dx² + dy² = r²dθ² + dr²

— Et rappelez-vous que dans l’espace-temps de Minkowski, l’intervalle de RR est :

ds² = c²dt² − dx² − dy² − dz²,

= (x⁰)² −

3

X

i=1

(dxⁱ)², utilissant (3) (4)

— La fonction qui donne l’intervalle d´epend `a la fois de la g´eom´etrie locale de la vari´et´e au point P et du syst`eme de coordonn´ees choisi. Cependant, c’est claire que la g´eom´etrie de l’espace-temps de Minkowski est diff´erente que celle d’une

vari´et´e dans l’espace euclidien parce qu’il n’y a pas un changement de coordonn´ees qui donne la mˆeme fonction pour l’intervalle.

Le tenseur m´etrique

— Pour RG, nous n’avons besoin que des vari´et´es avec

g´eom´etrie dont la fonction qui donne l’intervalle au point P est de la forme :

ds²(x) =

N

X

b=1 N

X

a=1

g_ab(x)dx^a dx^b (5) o`u x = x^c est les coordonn´ees du point P.

— g_ab(x) sont les composantes du tenseur m´etrique. Pensez de g_ab comme une fonction d’espace avec N × N composantes qui d´etermine la g´eom´etrie locale `a chaque point P de la vari´et´e.

— R´esum´e du dernier cours sur la Relativit´e Restreinte. X

— Qu’est-ce qu’une vari´et´e ? X

— Dimension et coordonn´ees sur une vari´et´e. X

— G´eom´etries des vari´et´es – le tenseur m´etrique.X

—

Convention de sommation.

— Vari´et´es pseudo-riemanniennes.

— Tenseur m´etrique d’espace-temps de Minkowski.

Convention de sommation

— Pour le calcul tensorielle nous devons souvent faire des sommes, comme dans (5).

— Donc, nous utilisons la convention de sommation : quand il y a un indice r´ep´et´es dans un mˆeme monˆome une fois en bas et une fois en haut, il y a une sommation implicite sur toutes les (N) valeurs possibles de cet indice. Par exemple,

ds² =

N

X

b=1 N

X

a=1

g_ab(x) dx^a dx^b

= g_ab(x) dx^a dx^b (6)

— Nous disons que a et b sont des indices muets.

— Un indice non-muet est un indice libre. Par exemple, quand nous disons x = x^c, l’indice c est libre et il peut prendre

toute N valeurs possibles.

R´esum´e du cours de aujourd’hui

— R´esum´e du dernier cours sur la Relativit´e Restreinte. X

— Qu’est-ce qu’une vari´et´e ? X

— Dimension et coordonn´ees sur une vari´et´e. X

— G´eom´etries des vari´et´es – le tenseur m´etrique.X

— Convention de sommation.X

—

Vari´et´es pseudo-riemanniennes.

— Tenseur m´etrique d’espace-temps de Minkowski.

— En RG, nous avons besoin des vari´et´es avec l’intervalle donn´e par l’expression (5)

ds²(x) = g_ab(x)dx^a dx^b (7) et ds² peut ˆetre n´egatif. Elles sont nomm´ees vari´et´es

pseudo-Riemanniennes. ds² peut ˆetre n´egatif parce que la matrice de la m´etrique a des valeurs propres de signe

diff´erents.

— Dans le cas o`u l’intervalle est strictement positive dans (5), nous disons que les vari´et´es sont Riemanniennes. Ils ont tous ses valeurs propres positive.

— Attention : Les physiciens sont notoirement peu soign´es et

parfois appellent vari´et´es pseudo-Riemanniennes « vari´et´es Riemanniennes ».

— La signature de la m´etrique est la diff´erence entre le nombre d’entr´ees positives et le nombre n´egatives des valeurs

propres : Pour l’espace-temps, c’est +1 − 1 − 1 − 1 = −2.

(Dans le convention de Schutz, elle est −1 + 1 + 1 + 1 = +2.)

— R´esum´e du dernier cours sur la Relativit´e Restreinte. X

— Qu’est-ce qu’une vari´et´e ? X

— Dimension et coordonn´ees sur une vari´et´e. X

— G´eom´etries des vari´et´es – le tenseur m´etrique.X

— Convention de sommation.X

— Vari´et´es pseudo-riemanniennes.X

—

Tenseur m´etrique

d’espace-temps de Minkowski.

M´etrique de l’espace-temps de Minkowski

— Comparons l’intervalle g´en´eral d’une vari´et´e

pseudo-Riemannienne (5) avec l’intervalle de RR (10) : ds² = c²dt² − dx² − dy² − dz²,

= (dx⁰)² −

3

X

i=1

(dxⁱ)², utilissant (3) (8)

— TD : Qu’ est-ce que le tenseur m´etrique d’espace-temps de Minkowski ?

(l’espace-temps plat de RR) : g₀₀ = +1

g_ii = −1, i > 0 g_αβ = 0, α 6= β











en coordonn´ees pseudo-cart´esiennes (9)

— Nous avons suivi la convention que les indices latin i, j, k, . . . prennent les valeurs i = 1,2,3, et les indices gr`eques

α, β, µ, ν, . . . prennent les valeurs α = 0,1,2,3.

— Une autre convention : Le tenseur m´etrique de

l’espace-temps de Minkowski est tel important qu’il a son propre lettre, η_αβ = g_αβ.

— Nous pouvons ´ecriver un tenseur comme le tenseur m´etrique comme une matrice,

[η_αβ] =















1 0 0 0

0 −1 0 0

0 0 −1 0

0 0 0 −1















en coordonn´ees pseudo-cart´esiennes.

2-dimensions

— Comparons l’intervalle g´en´eral d’une vari´et´e

pseudo-Riemannienne (5) avec l’intervalle du plan euclidien : ds² = g_abdx^adx^b,

= dx² + dy² = r²dθ² + dr² (10)

— TD : Qu’est-ce que le tenseur m´etrique d’´espace euclidien ? (g_ab) =





g₁₁ g₁₂ g₂₁ g₂₂



 = ?

Coordonn´ees localement cart´esiennes des vari´et´es riemanniennes

— C’est plus facile de visualizer une vari´et´e riemannienne comme la surface d’une sph`ere, donc nous allons discuter quelques id´ees tr`es importantes pour ce cas. Par la suite

nous appliquons ces id´ees aux vari´et´es pseudo-riemanniennes quadri-dimensionnelles.

Changement des coordonn´ees

— Nous avons vu que la matrice du tenseur m´etrique change quand nous changeons les syst`emes des coordonn´ees (par exemple de cart´esiennes `a polaires).

— TD : Est-ce qu’il est possible de simplifier g_αβ ? Comment ?

Est-ce qu’il est possible de simplifier g_αβ ?

— Oui, il est toujours possible de choisir le r´ef´erentiel tel que localement

g_αβ = η_αβ

en un point donn´e, et proche de ce point g_αβ ≈ η_αβ

— Mais, pourquoi donc ´etudier la RG ? ! [Rappel : η_αβ est le tenseur m´etrique d’espace-temps plat, de RR. RG est l’´etude d’espace-temps courbe.]

— Mais, globalement, s’il l’espace-temps n’est pas plat, nous ne pouvons pas trouver un seul syst`eme de coordonn´ees dont

g_αβ = η_αβ

`

a tous les points.

— Quand la vari´et´e est courbe, on n’a que g_αβ ≈ η_αβ dans un petit voisinage autour du point pour lequel on a choisi le syst`eme des coordonn´ees.

— En coupant la vari´et´e en petits morceaux dont la courbure n’est pas important, on trouve la courbure des bordes des morceaux mets en ´evidence la courbure de l’espace-temps.

Note to self : Consider adding

— Curves and surfaces

— Coordinate transformations

— Intrinsic geometry

— Lengths, areas, volumes

— Local Cartesian coordinates

— Tangent spaces to manifolds

impulsion-´energie est m c. Rappellez-vous u^α ≡ dx^α

dτ . HEL Eq. (5.10), ou (?, §2.3) (11) Utilisons (γdτ = dt), nous trouvons,

u^α = dx^α dτ

= γ

cdt

dt, dx

dt , dy

dt , dz dt

= (γc, γv^x, γv^y, γv^z). (12) 2. On revient `a la m´ecanique classique. Nous consid´erons une

particule ponctuelle qui se d´eplace dans le plan euclidien.

Elle suit une trajectoire avec coordonn´ees (x(t), y(t)), o`u t est le temps coordonn´e (il n’y a pas d’autre temps en

physique classique) et x(t) et y(t) sont les fonctions

continues et diff´erentiables. Au moment t = 0 la particule se trouve `a point P, et au instant t = 1 elle se trouve `a Q.

3. Ecrire une expression g´en´erale pour la distance infinit´esimale au carr´ee d`<sup>2</sup> le long de la trajectoire `a l’instant t en

fonction des intervales des coordonn´ees dx et dy.

4. Ecrire une expression g´en´erale pour la distance infinit´esimale d` le long de la trajectoire `a l’instant t en fonction de

l’intervale du temps dt.

5. Ecrire une expression g´en´erale pour la distance parcouru entre P et Q, utilisant votre r´esultat pr´ec´edent.

6. Maintenant on d´ecrit la mˆeme trajectoire (x(t), y(t)) avec les coordonn´ees polars (r(t), θ(t)). R´ep´eter les 3 exercices

donn´ee par la courbe param´etr´ee r(t) = r₀,

θ(t) = 2πt. (13)

Utiliser vos r´esultats pr´ec´edents en coordonn´ees polaires,

question 6, pour v´erifier que la distance parcouru entre t = 0 et t = 1 est belle et bien la circonf´erence 2πr₀ du cercle du rayon r₀.

8. V´erifier si vos r´esultats pr´ec´edents en coordonn´ees

cart´esiennes, question 5, donnent la mˆeme distance parcouru entre t = 0 et t = 1.

9. Les coordonn´ees pr´ef´er´ees d´ependent du probl`eme. Une

droite entre P et Q s’´ecrit en coordonn´ees cart´esiennes x(t) = x_Q + (x_Q − x_P)t,

y(t) = y_Q + (y_Q − y_P)t. (14) Essayer de d´ecrire cette droite en coordonn´ees polaire.

10. Ecrire une expression g´en´erale pour la distance infinit´esimale d` le long de cette droite `a l’instant t en fonction de

l’intervale du temps dt. [Ne perdez pas trops du temps sur ce probl`eme.]

11. On reste dans la m´ecanique classique. Nous consid´erons une particule ponctuelle qui se d´eplace sur le globe id´ealis´e

comme une sph`ere. Elle suit une trajectoire avec coordonn´ees (θ(t), φ(t)), o`u t est le temps coordonn´e et θ(t) et φ(t) sont les coordonn´ees sph`eriques en fonctions du temps, continues et diff´erentiables. Au moment t = 0 la particule se trouve `a point P, et au instant t = 1 elle se trouve `a Q.

12. Ecrire une expression g´en´erale pour la distance infinit´esimale au carr´ee d`<sup>2</sup> le long de la trajectoire `a l’instant t en

fonction des intervales des coordonn´ees dθ et dφ.

13. Ecrire une expression g´en´erale pour la distance infinit´esimale d` le long de la trajectoire `a l’instant t en fonction de

l’intervale du temps dt.

14. Ecrire une expression g´en´erale pour la distance parcouru entre P et Q, utilisant votre r´esultat pr´ec´edent.

R´ef´erences R´ef´erences