Cours4.Géométried’unesurfacecourbe,géométried’unespace-tempscourbe,letrounoirdeSchwarzschild! Cours4:Lesensdelamétrique 1

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Cours 4: Le sens de la m´etrique 1

Cours 4. G´ eom´ etrie d’une surface courbe, g´ eom´ etrie d’un espace-temps courbe, le

trou noir de Schwarzschild !

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Cours 4: Le sens de la m´etrique 2

R´ esum´ e du cours d’aujourd’hui

— Résumé du dernier cours sur la métrique : le produit

scalaire, la transformation des coordonnées d’un tenseur et un vecteur, une explication des vecteurs de base naturels pour les systèmes de coordonnées curvilignes.

— Courbure intrinsique vs. courbure extrinsique.

— Interpr´etation physique de la m´etrique en explorant les exemples :

1. Exploration de la géométrie d’une sphère.

2. Exploration de la g´eom´etrie de Schwarzschild.

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r´esum´e du cours 3 3

R´ esum´ e du dernier cours sur le calcul vectoriel sur une vari´ et´ e

pseudo-riemannienne

— Tous les vecteurs en quatre dimensions peuvent être écrivés comme :

V~ = a~e₀ + b~e₁ + c~e₂ + d~e₃ = V ^α ~e_α o`u les ~e_α sont les vecteurs de bases et V ^α sont les composants contravariants.

— Si nous changeons les vecteurs de bases, le vecteur ne change pas mais les coordonn´ees nouvelles, A^α⁰, sont li´ees aux

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coordonn´ees ancients, A^β, par une transformation lin´eaire : A^α⁰ = ∂x^α⁰

∂x^β A^β

o`u la matrice de transformation est donn´es par

∂x^α⁰

∂x^β = Λ^α⁰_β. (1)

— Les mathematiques de RR sont plus belles que ceux de mécanique newtonnienne. Comparons un changement de référentiel inertiel dans lequel un observateur se deplace le long de l’axe X à un vitesse constante v. Dans la mécanique newtonnienne, ¸ca implique un changement des vecteurs de position, de vitesse, d’impulsions etc. Il sont liées par une transformation de Galilée. Mais de la RR c’est simplement un changement des vecteurs de bases ! Et donc tous les

quadrivecteurs ne changent pas, mais bien sur les

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coordonn´ees changent par une transformation lin´eaire de Lorentz :

(Λ^α⁰_α) =







α = 0 α = 1 α = 2 α = 3

α⁰ = 0 γ −βγ 0 0

α⁰ = 1 −βγ γ 0 0

α⁰ = 2 0 0 1 0

α⁰ = 3 0 0 0 1







o`u,

β = v c ,

γ = 1

p1 − β² . (2)

— On peut utiliser les vecteurs de bases duals ˜ω^α aussi pour la base,

V~ = V ^α~e_α = V_αω˜^α

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o`u V_α sont les composants covariants.

— Les composants covariants se transform sous un changement de base comme les vecteurs de base.

— On peut aisément se rappeler les transformations par l’idée d’équilibrer des indices :

V_α⁰ = ∂x^β

∂x^α⁰ V_β

~e_α⁰ = ∂x^β

∂x^α⁰~e_β

˜

ω^α⁰ = ∂x^α⁰

∂x^β ω˜^β (3)

— D’o`u viennent les vecteurs de base naturels ~e_α et les bases duaux ? Voir p. 34 et p. 39 du cours 3.

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R´ esum´ e du dernier : m´ etrique

— On prend le produit scalaire avec le tenseur m´etrique : A~ · B~ = g(A, ~~ B) ≡ g_αβA^αB^β

— Le tenseur m´etrique joue le double rˆole d’encoder la

g´eom´etrie et de nous dire comment faire le produit scalaire.

— Une autre d´efinition du tenseur m´etrique est g_αβ ≡ ~e_α ·~e_β

— Dans une variété riemannienne, l’élément linéaire est

vraiment une distance comme nous avons vu pour la sph`ere : ds² = r_s²dθ² + r_s² sin²θ dφ²

— Dans une variété Lorentzienne, l’élément linéaire est la

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limite infin´etesimale de l’intervale de RR

∆s→0lim ∆s² = ds²

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Cours 4 : Le sens de la m´etrique 9

Cours 4 : Interpr´ etation physique de la

m´ etrique

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Courbure intrinsique vs. courbure extrinsique

— « La courbure extrinsique décrit la manière dont un espace est plongé dans un autre de dimension plus grande. »

(Taillet et al., 2009)

— « La courbure intrinsique décrit les propriétés géométriques de la surface elle-même. » (Taillet et al., 2009)

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La sph` ere est courbe

— M´etrique pour la sph`ere :

ds² = r_s²dθ² + r_s² sin²θ dφ²

— Le rayon, r_c, d’un cercle centr´e sur l’axe des z : ds²

φ = r²_sdθ² ds

φ = R_sdθ r_c =

Z θ_c 0

ds

φ = R_sθ_c. (4)

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— Le p´erim`etre d’un cercle, p_c : ds²

θ = r_s² sin²θ_c dφ² ds

θ = R_s sinθ_c dφ p_c =

Z 2π 0

ds

θ = 2πR_s sinθ_c. (5)

— Rapport :

p_c

r_c = 2πsinθ_c

θ_c < 2π. (6)

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Courbure de l’espace-temps autour d’un trou noir de Schwarzschild

— La m´etrique de Schwarzschild

ds² = (1 + 2Φ)dt² − (1 + 2Φ)⁻¹dr² − r²(dθ² + sin²θ dφ²), (7) o`u Φ = −GM/c²r, G est la constante newtonienne, c la

vitesse de la lumière, M la masse. Donc Φ est comme le potentiel gravitational sauf que le fait que r n’est pas la distance au centre, c’est juste la coordonnée radiale. Ces coordonnées de Schwarzschild sont comme les coordonnées sphèrique : 0 ≤ θ ≤ π et 0 ≤ φ ≤ 2π sont les coordonnées angulaires ; r est la coordonnée radiale ; t est la coordonnée temporelle.

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— Mais dt n’est pas un intervalle de temps, et dr n’est pas une petite distance. Il faut utiliser la métrique pour définir les intervalles physiques. On va voir bientôt !

— Considérons la sous-variété r = R_s, t = t₀. On a dl² ≡ −ds²

R_s,t₀ = R²_s(dθ² + sin²θ dφ²). (8)

— Remarquez-vous que l’intervalle (au carré) peut être négatif ou positif. Quand il est négatif nous disons que il est « du genre espace »; l’intervalle positif est « du genre temps ».

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Cours 4 : Le sens de la m´etrique 14-1

Table 1 – Interpretation physique de l’intervalle ds² < 0, dl = √

−ds²

dl = distance propre

dl = distance on mesure avec une r`egle ds² > 0, √

ds² = c dτ

dτ = temps propre

dτ = temps on mesure avec une horloge

Les mesures en RR et RG sont effectuées avec des horloges et des règles au repos. En fait, on define un référentiel comme un essemble d’observateurs chaqun portant une horloge et une règle avec lesquelles ils font leurs mesures.

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G´ eom´ etrie de Schwarzschild est sph` erique symetrique

— C’est claire à partir de Eq. (8) que les surfaces obtenues avec t = t₀, r = R_s sont les sphères. Pourquoi ? Rappelez-vous que toutes les informations géométriques sont continues dans la métrique et donc l’élément linéaire. Et d’ailleurs nous savons la métrique de la sphère a la forme de Eq. (8). Alors, elles sont des sphères.

— Nous dissons que l’espace-temps ou g´eom´etrie de

Schwarzschild est symétrique sphèrique. En effet, on peut presque trouver la métrique Eq. (7) cherchant les

espace-temps qui sont indépendents du temps et symétriques sphèriques. C’est la piste normalement utilisée pour

introduire l’espace-temps de Schwarzschild (Hobson et al.,

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2010, §9.1) ou (Schutz, 2009, §10.1 et §10.2).

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G´ eom´ etrie de Schwarzschild : sens de r

— Pour calculer la surface d’une sph`ere, on a besoin d’une

élément d’aire, dA, le produit de deux éléments linéaires orthogonaux. Est-ce que dθ et dφ sont orthogonaux ? On calcule le produit scalaire entre les vecteurs de base

correspondant,

~e_θ ·~e_φ = g_θφ = 0. =⇒ ~e_θ, ~e_φ sont orthogonaux

=⇒ dθ, dφ sont orthogonaux (9)

— La distance dans la direction ~e_θ lors de changement de

coordonnée θ → θ + dθ est donnée par l’élément linéaire dl² en Eq. (8)

dl = √

g_θθdθ = R₀dθ (10)

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— De la mˆeme fa¸con, on a une distance √

g_θθdθ = R₀ sin θ dans la direction ~e_φ, et donc

dA = R²₀ sinθdθdφ. (11)

— On peut calculer la surface des sphères utilisant l’élément linéaire dl² en Eq. (8).

A =

Z π 0

Z 2π 0

dA =

Z π 0

Z 2π 0

(R_sdθ)(R_s sinθ dφ)

= R²_s4π. (12)

— Attention ! ! Malgré la familiaritée de cet expression, on ne peut pas dire que R_s est la distance au centre de la sphère ! Les distances sont définis par un intégral de la racine carrée de l’intervalle du genre espace ; voir Table 1 ci-dessus. En effet, pour le trou noir de Schwarzschild il y a un singularité

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de coordonnée à r = r_s ≡ 2M G/c² où g_rr = (1 + 2Φ)⁻¹ = 1

1 − ^{2M G}_c₂_r

s

= ∞

— La sph`ere r = r_s est l’horizon de trou noir de Schwarzschild.

Si vous traversez cette sph`ere vous ne pouvez pas resortir.

Même la lumière ne peut pas échapper l’interieur de l’horizon d’un trou noir.

— Restons à l’extérieur de l’horizon ! (L’analyse à l’intérieur de l’horizon est bizarre car r devient une coordonnée du genre temps et t devient une coordonnée du genre espace !).

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L’espace-temps de Schwarzschild est courbe

— On peut trouver les sphères dans l’espace plat (espace euclidien ou espace-temps de Minkowski à un instant du temps). Nous l’avons déjà fait en cours 4 ! Et donc jusqu’à maintenant c’est n’est pas claire que l’espace est courbe autour d’un trou noire de Schwarzschild.

— Comparons la surface de deux sph`eres avec coordonn´ee

radiale r = R > r_s et r = 2R. La surface de la deuxi`eme est 4 fois la premi`ere :

A₂

A₁ = 4(2R)²π

4R²π = 4.

— Dans l’espace plat, ¸ca implique que la distance entre les

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deux sph`eres est R. Mais dans l’espace-temps de Schwarzschild la distance est :

Z 2R R

q

−ds|_t,θ,φ =

Z 2R R

√−g_rrdr =

Z 2R R

√ 1

1 + 2Φdr 6= R.

— L’espace dans l’espace-temps de Schwarzschild est courbe.

— La courbure d’espace n’est pas comme une sph`ere – c’est plutˆot comme un chapeau.

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Figure 1 – Plongement du plan ´equatoriel coupant la terre. Il y a juste deux dimensions d’espace montr´es. L’hauteur est une dimension imaginaire pour montrer la courbure.

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Figure 2 – Plongement du plan ´equatoriel coupant la terre – pers- pective plus famili`ere.

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Explication qualitative

— Imaginez-vous que la Terre est homog`ene, sph´erique, et

qu’elle ne tourne pas. La géométrie autour d’elle serait celle de Schwarzschild. Et la géométrie ne change pas avec le

temps ; elle est permanente et figée comme une statue. En fait, le trou noir de Schwarzschild a la même géométrie en dehors de l’horizon.

— On peut mettre en ´evidence la courbure d’un tranche d’espace ou d’espace-temps `a deux dimensions avec la cartographie (diSessa, 1981).

— On a vu que la sphère est courbe. Si je coupe la sphère en deux morceaux et que je mets les deux morceaux sur une surface plate, ils ne restent pas plats sur la surface. Si je le coupe en 4 morceaux, c’est toujours la même situation.

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— Si je le coupais en beaucoup de morceaux, j’aurais les morceaux très minces. Je n’ai pas changé la courbure de chaque morceau mais et j’arriverais à les aplatir avec

minimum distorsion ! Je vais utiliser cette id´ee tout `a l’heure !

— Ce n’est pas le cas avec le cylindre. Je peux le couper une seule fois, le d´ecouler, et il devient parfaitement plat.

— Pour la sphère je peux continuer de la couper en plusieurs morceaux jusqu’à ce qu’ils paraissent plats, même si la

courbure reste la même que la sphère de départ. Et ¸ca c’est vrai pour n’importe quelle surface en deux dimensions si la surface est lisse. Une surface lisse a une courbure finie ; il n’y a pas de singularité.

— La courbure des bords des morceaux met en évidence la courbure globale de la surface. Pour reconstruire la surface globale, il faut mentalement «recoudre» les bords, sans détendre la surface, c’est à dire ne pas changer la distance

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entre les points.

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Figure 3 – Qu’est-ce qu’il y a dans l’espace blanc sur la carte ? Par exemple, l’espace entre les deux cotés de Grœnland ? Rien ! Il s’agit du néant ! La surface de la terre consiste uniquement en la région colorée de la carte !

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Courbure d’espace ` a 3 dimensions

— Rappelez-vous que nous parlons de la surface, une chose en deux dimensions. Nous avons, juste pour l’instant, imagin´e que la troisi`eme dimension d’espace n’existe pas. Bien

entendu c’est normal d’imaginer la surface courbe dans la troisi`eme dimension, mais ce n’est pas n´ecessaire de

r´eintroduire la troisi`eme dimension quand on recoud les bords des morceaux.

— ¸Ca c’est le grand effort d’imagination qu’on doit faire pour comprendre la courbure d’espace.

— Quand vous êtes à l’aise avec cette idée de la courbure pour l’espace en deux dimensions, vous devez simplement faire exactement pareil pour l’espace en trois dimensions. C’est à dire, vous devez imaginer qu’il est possible d’avoir une

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courbure dans l’espace `a trois dimensions. Je ne peux pas facilement le dessiner, mais ce n’est pas important.

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Bibliographie R´ ef´ erences

diSessa, A. A. (1981), An elementary formalism for general relativity, Am. J. Phys., 49(5), 401–411.

Hobson, M., G. Efstathiou, and A. Lasenby (2010), Relativité Générale, de boeck, Bruxelles.

Schutz, B. (2009), A first course in General Relativity, Cambridge University Press, Cambridge UK.

Taillet, R., V. Villain, and P. Febvre (2009), Dictionnaire de physique, de boeck, Bruxelles.