SÉANCE 6-7 : PROPRÉTÉS DES FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES

(1)

6.1. Plus de résultats sur la di↵érentiabilité

SoientEun espace vectoriel de rang fini surR. On fix une base (ei)^d_i=1deE. Pour tout i 2{1, . . . , d}, on d´esigne pare^__i l’application lin´eaire de E versR qui envoie

1e1+· · ·+ deden i.

Théorème 6.1. — Soitf une application définie sur un ouvert non-videU deEet

`

a valeurs dans un espace vectoriel normé. On suppose que, pour tout i2{1, . . . , d}, la dérivée partielle@_e_if existe et définit une application continue deU versF. Alors l’applicationf est di↵érentiable surU et on a

Df(x) = Xd i=1

@eif(x)e^__i

quel que soitx2U.

Démonstration. — Sans perte de généralité, on suppose queEest muni de la norme k.ktelle quek 1e₁+· · ·+ _de_dk:= max{| 1|, . . . ,| d|}. Soithun vecteur dansEde la forme ₁e₁+· · ·+ _de_d. Soitaun élément deU. On a

f(a+h) f(a) = Xd i=1

f(a+ ₁e₁+· · ·+ _ie_i) f(a+ ₁e₁+· · ·+ _i ₁e_i ₁).

Par cons´equent, on a

f(a+h) f(a) Xd i=1

i@eif(a)

6 Xd

i=1

f

✓ a+X

j6i jej

◆ f

✓ a+X

j<i jej

◆

i@eif(a) .

(2)

24 S ÉANCE 6-7 : PROPRÉTÉS DES FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES

Comme@eif est une application continue, on obtient f

✓ a+X

j6i je_j

◆ f

✓ a+X

j<i je_j

◆

i@_e_if(a)

6 f

✓ a+X

j6i je_j

◆ f

✓ a+X

j<i je_j

◆

i@_e_if

✓ a+X

j<i ie_j

◆

+| i| · @_e_if

✓ a+X

j<i ie_j

◆

@_e_if(a)

=o(khk)

puisque@eif est continue, d’o`u le r´esultat.

Exemple 6.2. — Considérons la fonction f : R² ! R définie comme f(x, y) = x²+y². On a ^@f_@x = 2x et ^@f_@y = 2y. Ce sont des fonctions continues sur R². On en déduit donc que la fonctionf est de classeC¹surR²et que la di↵érentielle def est de la forme

Df(x, y) = 2xdx+ 2ydy,

où dxet dydésignent les applications linéaires deR²versRdéfinies par les projection en les deux coordonnées respectivement.

Proposition 6.3. — Soient F un espace vectoriel normé et (fi)^d_i=1 une famille de fonctions continues (resp. di↵érentiables, dérivable dans une directionh2F) définies sur un ouvert non-vide V deF, alors la fonctionf :V !Edéfinie comme

(x2V)7 !f1(x)e1+· · ·+fd(x)ed

est continue (resp. di↵´erentiable, d´erivable dans la directionh).

Démonstration. — Sans perte de généralité, on peut supposer que la norme sur E satisfait à la relationk 1e1+· · ·+ dedk= max(| 1|, . . .| d|). On a alors

kf(x+h) f(x)k= max

16i6d|f_i(x+h) f_i(x)|.

Donc f est continue dès que les fi sont continues. De même, si les fi sont di↵érentiables, alors on a

f(x+h) f(x) Xd i=1

Dfi(x)(h)ei = max

16i6d|fi(x+h) fi(x) Dfi(x)(h)|. Doncf est di↵´erentiable enxet on aDf(x) =Pd

i=1Dfi(x)ei. La démonstration du troisième énoncé est similaire, on la laisse comme un exercice.

Corollaire 6.4. — Soient F un espace vectoriel normé et (fi)^d_i=1 une famille de fonctions définies sur un ouvert non-videV deF. Soitf :V !Ela fonction définie comme (x 2V)7 !f1(x)e1+· · ·+fd(x)ed. Soit g une application définie sur un voisinage de f(x) est à valeur dans un autre espace vectoriel normé G. Soit a un

(3)

élément deV. Si l’applicationf est continue enaet dérivable enadans la direction de h 2F est si la fonctiong est di↵érentiable en f(a), alors la fonction composée g f est dérivable enadans la direction deh. En outre, on a

@h(g f)(a) = Xd i=1

@hfi(a)@eig(f(a)).

Démonstration. — Comme la fonction g est di↵érentiable en f(a), elle est continue enf(a). Donc la fonction composéeg f est bien définie dans un voisinage dea. En outre, pourt2Rdont la valeur absolue est suffisamment petite, on a

(g f)(a+th) g(f(a)) =g(f(a) + (f(a+th) f(a))) g(f(a))

=Dg(f(a))(f(a+th) f(a)) +o(kf(a+th) f(a)k) Commef est d´erivable enadans la direction deh, on a

f(a+th) f(a) =t@hf(a) +o(|t|) = Xd i=1

t@hfi(a)ei+o(|t|).

Par cons´equent, (g f)(a+th) g(f(a)) =tPd

i=1@_hf_i(a)@_e_ig(f(a)) +o(|t|).

Remarque 6.5. — SoitEun espace vectoriel de rang fini surRet (e_i)^d_i=1une base deE. Pour touti2{1, . . . , d}, soite^__i :E!Rla projection sur lai-`eme coordonn´ee:

elle envoie 1e1+· · ·+ dedvers i. C’est une application linéaire entre des espaces vectoriels de rang fini surR, donc est continue. On en déduit qu’elle est di↵érentiable.

Sif est une application définie sur un ouvert d’un espace vectoriel norméF versE qui est di↵érentiable, alors il en est de même de chaquefi= pr_i f. Sachant que la fonctionf s’écrit sous la forme f = f1e1+· · ·+fded, on obtient que la fonction f est di↵érentiable si et seulement si chaque projectionfi (i2{1, . . . , d}) l’est, compte tenu de la proposition 6.3.

6.2. Matrice jacobienne

Soitd>1 un entier. On désigne par (ei)^d_i=1la base canonique deR^d. Considérons une application f définie sur un ouvert non-vide U de R^d et à valeurs dans R^d. L’applicationf s’écrit sous la formef1e1+· · ·+fded, où chaquefi est une fonction sur U. Si f est une application di↵érentiable en a 2 U (ou de fa¸con équivalente, chacune des fonctions fi est di↵érentiable en a), on appelle matrice jacobienne la matrice carrée de la forme

Jf(a) :=

0 BB B@

@e1f1(a) @e2f1(a) · · · @edf1(a)

@e1f2(a) @e2f2(a) · · · @edf2(a) ... ... . .. ...

@e1fd(a) @e2fd(a) · · · @edfd(a) 1 CC CA

(4)

On observe aussitˆot queDf(a) est inversible si et seulement si le d´eterminant de la matrice jacobienne est non-nul.

Exemple 6.6. — Consid´erons l’applicationf : ]0,+1[⇥R ! R² qui envoie (r,✓) en (rcos(✓), rsin(✓)). On a

Jf(r,✓) =

✓cos(✓) rsin(✓) sin(✓) rcos(✓)

◆

Le d´eterminant deJ_f(r,✓) estr, qui est strictement positif.

Exemple 6.7. — Consid´erons l’applicationg: ]0,+1[⇥R²!R³qui envoie (r,✓, ) en (rcos(✓) cos( ), rcos(✓) sin( ), rsin(✓)). On a

Jg(r,✓, ) = 0

@

cos(✓) cos( ) rsin(✓) cos( ) rcos(✓) sin( ) cos(✓) sin( ) rsin(✓) sin( ) rcos(✓) cos( )

sin(✓) rcos(✓) 0

1 A Donc

d´et(J_g(r,✓, )) = sin(✓)( r²sin(✓) cos(✓)) rcos(✓)(rcos(✓)²)

= r²cos(✓).

6.3. Norme d’opérateur, dérivées supérieures

Soient E et F deux espaces vectoriels normés. On désine parL(E, F) l’espace vectoriel des applications linéaire continue deE versF. Pour tout'2L(E, F), on définit

k'k:= sup

x2E\{0}

k'(x)k

kxk = sup

y2E,kyk=1k'(y)k. C’est un ´el´ement dansR>0, compte tenu du corollaire 2.7.

Proposition 6.8. — L’application k.k : L(E, F) ! R>0 qui envoie ' enk'k est une norme surL(E, F).

D´emonstration. — Sik'k= 0, alors pour toutx2E\ {0}on ak'(x)k60 (et donc k'(x)k= 0). On en d´eduit que'= 0. En outre, pour tout 2Ret touty2Eon a ( ')(y) = '(y). Donc

k 'k= sup

y2E,kyk=1| | ·k'(y)k=| | sup

y2E,kyk=1k'(y)k=| | ·k'k.

Enfin, si' et sont deux applications lin´eaires continues, pour touty 2E tel que kyk= 1 on a

k('+ )(y)k=k'(y) + (y)k6k'(y)k+k (y)k. Donc

k'+ k= sup

y2E,kyk=1k'(y) + (y)k6k'k+k k.

(5)

Définition 6.9. — Soient E et F deux espaces linéaires normés sur R, et f une application définie sur un ouvertUdeEet à valeurs dansF. On dit que l’application f est de classeC⁰si elle est continue. De fa¸con récurrsive, pour tout entiern>1, on dit quef est de classeCⁿsi elle est di↵érentiable en tout point deU, et l’application Df :U !L(E, F) est une application de classeCⁿ ¹. On dit que l’applicationf est de classeC¹ si elle est de classeCⁿ pour tout entiern>0.

Remarque 6.10. — On note L⁽¹⁾(E, F) =L(E, F), et pour tout n>2, on note (de fa¸con r´ecurssive) L⁽ⁿ⁾(E, F) = L(E,L⁽ⁿ ¹⁾(E, F)). Si f : U ! E est une application de classeCⁿ, alors l’application

Dⁿf :=D(D(D· · ·D

| {z }

nfois

(f)· · ·)) :U !L⁽ⁿ⁾(E, F)

est bien définie et est continue surU. En outre, pour touta2Uet tout (h1, . . . , hn)2 Eⁿ, on désigne par Dⁿf(a)(h1, . . . , hn) le vecteur Dⁿf(a)(h1)(h2)· · ·(hn) 2 F. L’application Dⁿf(a) : Eⁿ ! F est n-linéaire (c’est-à-dire qu’elle est linéaire par rapport à chaque coordonnée) et continue. Si h est un élément de E, on utilise l’expressionDⁿf(a)(h⁽ⁿ⁾) pour désignerDⁿf(a)(h, . . . , h

| {z }

ncopies

).

Définition 6.11. — Soit ':Eⁿ!F une applicationn-linéaire. On dit que' est symétrique si, pour toute bijection :{1, . . . , n}!{1, . . . , n}on a

'(x ₍₁₎, . . . , x _(n)) ='(x1, . . . , xn).

Proposition 6.12. — Soit ' : Eⁿ ! F une application n-lin´eaire continue sym´etrique. Soit f : E ! F l’application qui envoie x 2E en '(x, . . . , x). Alors l’applicationf est de classeC¹, et on a

D^kf(x)(h1, . . . , hk) =n!

k!'(x, . . . , x

| {z }

n kcopies

, h1, . . . , hk), k2{0, . . . , n};

et D^kf= 0 lorsquek > n.

Démonstration. — On raisonne par récurrence sur n. Le cas où n = 1 est trivial.

Supposons maintenant que le résultat a été démontré pourn 1 (oùn>2). Pour tous élémentsxethdansE, on a

f(x+h) f(x) = Xn k=1

✓n k

◆

'(x^{(n k)}, h^(k)) ='(x⁽ⁿ ¹⁾, h) +o(khk).

On obtient donc quef est de classeC¹et queDf(x)(h) ='(x⁽ⁿ ¹⁾, h). Soit '1:Eⁿ ¹ !L(E, F)

(6)

l’application (n 1)-lin´eaire qui envoie (x1, . . . , xn 1) en l’application xn 7!

'(x1, . . . , xn 1, xn), alors on a Df(x) = '1(x, . . . , x). On applique l’hypthèse de récurrence àDf et'1et obtient le résultat.

Théorème 6.13. — Soient E et F deux espaces vectoriels normés sur R et f une application définie sur un ouvert U deE et à valeurs dans F, qui est de classe Cⁿ. Alors pour tout a2U l’applicationn-linéaireDⁿf(a) :Eⁿ!F est symétrique. En outre, pour tout(h₁, . . . , h_n)2Eⁿ, l’application@_h₁· · ·@_h_nf :U!F est bien définie et on a

@h1· · ·@hnf(x) =Dⁿf(x)(h1, . . . , hn) quel que soitx2U.

Démonstration. — Quitte à passer au complété de l’espace vectoriel normé F on peut supposer que F est complet. Comme toute permutation de {1, . . . , n} s’écrit comme composé de transpositions, il suffit de montrer le résultat dans le cas oùn= 2 (appliqué àDⁿ ²f lorsque l’on considère le cas général). Pour tous les nombres réels

etµsuffisamment petits, soit

A( , µ) :=f(a+ h₁+µh₂) f(a+ h₁) f(a+µh₂) +f(a).

La fonctionAest di↵´erentialble dans un voisinage ouvert de (0,0), et on a

@µA( , µ) =@h2f(a+ h1+µh2) @h2f(a+µh2), d’o`u

A( , µ) =µ Z 1

0

@_h₂f(a+ h₁+sµh₂) @_h₂f(a+sµh₂) ds

= µ

Z 1

0

Z 1

0

@_h₁@_h₂f(a+t h₁+sµh₂) dtds.

Comme f est de classe C², on obtient A( , µ) = µDf(a)(h₁, h₂) +o( µ). Par le mˆeme argument (en intervertisant les rˆoles de etµ), on obtient

A( , µ) = µDf(a)(h₂, h₁) +o( µ).

Le r´esultat est donc obtenu.

6.3.1. Formule de Taylor. — La formule de Taylor décrit des propriétés locales fines d’une application di↵érentiable à l’ordre supérieur.

Lemme 6.14. — SoientE et F deux espaces linéaires normés sur R, et g une application définie sur un ouvertU deEet à valeurs dansF, qui est de classeCⁿ. Sia est un point deU avecD^kf(a)soit l’application nulle pour toutk2{0, . . . , n}, alors on af(x) =o(kx akⁿ)lorsquex7!a.

(7)

Démonstration. — On raisonne par récurrence sur n. Le cas où n = 0 est trivial.

Supposons que le résultat est démontré pourn 1 (n>1). Commef est de classe Cⁿ, elle est continuement di↵érentiable, d’où

f(a+h) f(a) = Z 1

0

@_hf(a+th) dt.

L’hypoth`ese de r´ecurrence montre quekDf(a+th)k=o(khkⁿ ¹). Donc k@hf(a+th)k=kDf(a+th)(h)k=o(khkⁿ).

Le résultat est donc démontré.

Théorème 6.15. — Soient E et F deux espaces linéaires normés sur R, et f une application définie sur un ouvert U deE et à valeurs dans F, qui est de classe Cⁿ. Alors pour touta2U on a

f(a+h) = Xn k=0

1

k!D^kf(a)(h⁽ⁿ⁾) +o(khkⁿ).

D´emonstration. — L’application g(x) :=f(x)

Xn k=0

1

k!D^kf(a)((x a)^(k))

de U versF est de classeCⁿ, et on aD^kg(a) = 0 pour toutk 2{0, . . . , n}, compte tenu de la proposition 6.12. Par le lemme 6.14, on obtient le r´esultat.

6.4. Comportement local d’une fonction de classe C²

Dans ce paragraphe, on fixe un espace vectoriel de rang finiE. Soitfune fonction d´efinie sur un sous-ensemble non-vide A de E. On dit qu’un point a 2 A est un maximum (resp. minimum) local de la fonction f s’il existe un voisiange U de a dansAtel que f(a)>f(x) (resp. f(a)6f(x)) quel que soit x2U. On dit que a est un maximum (resp. minimum) global de la fonctionf si pour tout x2A on a f(a)>f(x) (resp. f(a)6f(x)). On dit queaest un extremum local (resp. global) s’il est un maximum local (resp. global) ou un minimum local (resp. global).

Proposition 6.16. — Soit f une fonction d´efinie sur un ouvert U de E qui est d´erivable ena2U dans la direction deh2E. Siaest un extremum local def, alors

@_hf(a) = 0.

Démonstration. — Sans perte de la généralité, on peut supposer queaest un maximum local de f. Pour tout nombre suffisamment petit, on a f(a+ h)6 f(a).

Donc

@hf(a) = lim

!0+

f(a+ h) f(a)

>0 et @hf(a) = lim

!0

f(a+ h) f(a) 60, d’o`u@hf(a) = 0.

(8)

Remarque 6.17. — Soient f un fonctoin définie sur un ouvert non-videU etaun point deU. On dit queaest unpoint critiquedef si la fonctionf est di↵érentiable en aet siDf(a) = 0. La proposition précédente montre que, siaest un extremum local de la fonction f et si la fonctionf est di↵érentiable en a, alors aest un point critique def.

Soit':E⇥E!Rune forme bilinéaire symétrique surE. On dit que'est définie positive (resp. négative) si pour tout élément non-nulx2Eon a '(x, x)>0 (resp.

'(x, x)<0)

Théorème 6.18. — Soit f une fonction de classe C² définie sur un ouvert non- videU deE. Siaest un point critique def et queD²f(a)soit définie positive (resp.

n´egative), alorsaest un minimum (resp. maximum) local de la fonctionf.

D´emonstration. — Pour tout vecteur h2E tel quekhksoit assez petit, la formule de Taylor d’ordre 2 montre que

f(a+h) =f(a) +Df(a)(h) +D²f(a)(h, h) +o(khk²).

Doncf(a+h) f(a) =D²f(a)(h, h) +o(khk²) puisqueaest un point critique def.

Supposons que D²f(a) est défini positif. Comme le cercle unité de E est compact, il existe">0 tel quekD²f(a)(h, h)k>"khk² pour touth2E. Par conséquent, si khk est assez petit, on af(a+h) f(a) > 0, et donca est un minimum local de f. La démonstration de l’autre assertion est très similaire et est laissée comme un exercice.

Définition 6.19. — Soitf une fonction de classeC²définie sur un ouvert non-vide U deR^d. Siaest un point deU, on désigne parHf(a) la matrice symétrique

0 BB B@

@²_e₁f(a) @_e₁@_e₂f(a) · · · @_e₁@_e_df(a)

@²_e₂f(a) @²_e₂ · · · @_e₂@_e_df(a)

... ... . .. ...

@_e²_df(a) @_e_d@_e_df(a) · · · @_e²_df(a) 1 CC CA,

appelée la matrice hessienne de f en a, où (e1, . . . , ed) désigne la base canonique de R^d. Par définition, sih=a1e1+. . .+adedest un élément deR^d, alors on a

D²f(a)(h, h) = (a₁, . . . , a_d)H_f(a) 0 B@

a₁ ... ad

1 CA

En particulier,D²f(a) est d´efini positive si et seulement si toutes les valeurs propres deHf(a) sont strictement positives.

(9)

Remarque 6.20. — Considérons une matrice symétrique carrée

✓a b b c

◆ .

Son polynˆome caract´eristique estP( ) = ² (a+c) + (ac b²). Donc les valeurs propres de cette matrice sont strictement positives si et seulement si a+c > 0 et ac b²>0.