S´eance 2 : Exercices corrig´es FONCTIONS CONVEXES

(1)

S´eance 2 : Exercices corrig´es FONCTIONS CONVEXES

Question 1

Un circuit électrique : exemple de système non linéaire

• Montrer que les lois de Kirchhoff (la somme des intensités arrivant sur un noeud est nulle) impliquent que les potentiels aux noeuds Vi sont solutions du système d’équations non linéaires

∀i= 1, ..n, X

j|(i,j)∈E

fi,j(Vi−Vj) = 0 (1)

Corr. La question contient la r´eponse...

• On d´efinitV= (V₁, ..., V_n)∈Rⁿ le vecteur associ´e aux potentiels. Soit la fonction F(V) = X

(i,j)∈E

Fi,j(Vi−Vj) Montrer que

∇F(V)i = X

j|(i,j)∈E

fi,j(Vi−Vj)

Corr. Il suffit de calculer les dérivées partielles enVi pour avoir ce résultat.

En d´eduire qu’un vecteur...

Le système (1) se réécrit

∇F(V) = 0

Ses solutions sont donc des points stationnaires de la fonction F(V).

Question 2

Un circuit ´electrique : utilisation du principe du minimum

• Montrer que la fonctionF(V) est strictement convexe (pour la stricte convexit´e utiliser le fait que le circuit est connexe).

Corr. La fonctionFi,j(t) est strictement convexe puisque sa d´eriv´ee est strictement croissante.

Consid´erons la fonction

h(t) =F(U+tV)

(2)

qui est la restriction deF(V) `a une droite. Il faut montrer que cette fonction est strictement convexe pour tout V. Or

h(t) = X

i,j|(i,j)∈E

Fi,j((Ui−Uj) +t(Vi−Vj))

C’est une fonction convexe comme somme de fonctions convexes. Il est plus délicat de montrer qu’elle est strictement convexe. L’un des termesVi−Vj est différents de zéros, sinonVi =Cte (si le circuit est connexe) et donc V_i = 0 (car un noeud au moins est à potentiel fixé), donc l’une des fonctions Fi,j((Ui −Uj) +t(Vi −Vj)) est non constante et donc est strictement convexe. On en déduit que h(t) est strictement convexe.

• Montrer queF(V) est coercive...

Corr.

F(V)≤M ⇔ Fi,j(Vi−Vj)≤M

Comme les fonctionF_i,j(t) tendent vers l’infini `a l’infini cela implique qu’il existeβ_i,j tel que

|Vi−Vj| ≤βi,j. Il suffit de prendre α= mini,jβi,j. Considérons, pour fixer les idées, que le noeud n+ 1 est une masse ; le circuit étant connexe il existe un chemin de longueur au plus nreliant un noeud iet le noeud n+ 1, donc

|V_i|=|V_i−V_n+1| ≤nα Nous avons ainsi montr´e que

F(V)≤M ⇒ ∃α kVk∞≤nα ce qui équivaut à la coercivité de la fonction F(V).

•En déduire que le système (1) qui définit les potentielsVdans le circuit admet une solution et une seule.

Corr. Les solutions du système (1) sont des points stationnaires de la fonction F(V). Un point stationnaire d’une fonction convexe ne peut être qu’un minimum d’après la proposition 7. Or d’après le théorème 14 du chapitre 2 du cours : une fonction coercive et strictement convexe sur un espace de dimension finie admet un minimum et un seul. Donc le système (1) admet une solution et une seule.

Question 3

Optimisation du profil d’une route Il faut r´esoudre le probl`eme d’optimisation







C={u∈C([0, L])/∀x, y∈[0, L] |u(x)−u(y)| ≤α|x−y|}

∀u∈C J(¯u)≤J(u)

(2)

• V´erifier queC est un convexe.

Corr. Imm´ediat, c’est de plus un convexe ferm´e pour la convergence en k k∞, i.e. la convergence uniforme.

(3)

• Donner un argument (de g´enie civil et non pas de math´ematiques...) en faveur du choix φ(y) =|y|².

Corr. Si le profil des talus ou des tranchées a une pente oblique constante, la quantité de matières par unité de longueur est proportionnelle à la surface d’une section et donc au carré de la hauteur de cette section.

Montrer que pour ce choix de la fonctionφ, la solution ¯u de (2) est la projection, au sens de la norme deL²([0, L]), de la fonctiong sur le convexeC.

Corr. Par d´efinition...

Les conditions du théorème de projection énoncé dans le cours sont-elles vérifiées ?

Corr. Le théorème de projection affirme l’existence et l’unicité de la projection d’un point sur un convexe fermé au sens de la norme deL²([0, L]). Le problème délicat est ici de montrer queC est fermé au sens de la norme deL²([0, L]) ce qui n’est pas évident. La démonstration qui suit n’est pas au programme.

Soitf_nune suite de fonctions deCqui converge au sens de L²([0, L]) vers une fonctionf, i.e.

Z L 0

(fn(x)−f(x))²dy→0 nous allons montrer que

f_n(x)−f(x)→0 ce qui impliquera que f ∈C.

Commefn(x)−f(x) est uniform´ement lipschitzienne de constante 2αil suffit de montrer que si une suite de fonction uniform´ement lipschitziennefntend vers 0 au sens de L²([0, L]) elle tend vers 0 ponctuellement.

On a, pour touth∈Rtel que [x−h, x+h]⊂[0, L]

Z x+h x−h

(f_n(x))²dy→0 On a aussi

f_n(x)−f_n(y)≤α|x−y| tout comme −f_n(x) +f_n(y)≤α|x−y| donc, en choisisssant la première inégalité,

Z _x+h

x−h

fn(x)dy− Z _x+h

x−h

fn(y)dy≤α Z _x+h

x−h |x−y|dy et donc

2hf_n(x)− Z x+h

x−h

f_n(y)dy≤2αh² en majorant |x−y|parh. Comme, d’apr`es Cauchy-Schwartz,

Z x+h x−h

fn(y)dy≤√ 2h

s Z x+h

x−h

fn(y)²dy

(4)

il vient

2hfn(x)≤√ 2h

s Z _x+h

x−h

fn(y)²dy+ 2αh² ou encore

f_n(x)≤ r 1

2h s

Z x+h x−h

f_n(y)²dy+αh En utilisant au départ la deuxième égalité, on montrerait de même

−fn(x)≤ r 1

2h s

Z x+h x−h

fn(y)²dy+αh et donc

|fn(x)| ≤ r 1

2h s

Z x+h x−h

fn(y)²dy+αh

Choisissanthassez petit on peut rendre le second terme petit, en faisant tendrenvers l’infini on peut alors rendre le premier terme petit, on a donc montr´e quef_n(x) tend vers 0.

• Montrer que la fonction J(u) est convexe, et strictement convexe si φ est strictement convexe.

Corr. Montrons la stricte convexit´e de la fonctionv→ R1

0 φ(v(x))dx, la stricte convexité de J(u) en découle. C’est un cas particulier d’un résultat du cours.

On utilise l’inégalité de convexité pourφ(x)

φ(λv₁(x) + (1−λ)v₂(x))≤λφ(v₁(x)) + (1−λ)φ(v₂(x))

l’inégalité étant stricte sur un intervalle enx si les deux fonction v₁ et v₂ sont distinctes, et on intègre

Z 1 0

φ(λv₁(x) + (1−λ)v₂(x)))dx < λ Z 1

0

φ(v₁(x))dt+ (1−λ) Z 1

0

φ(v₂(x))dx En d´eduire l’unicit´e de la solution si la fonctionφ(x) est strictement convexe.

Corr. Une fonction strictement convexe admet au plus un minimum sur un convexe, en effet s’il y en avait deux distincts u₁ etu₂ on aurait

J(v₁+v₂

2 )< J(v₁) +J(v₂) 2

Corr. Montrons, c’est hors programme, l’existence du minimum. La fonction J(u) est con- tinue surC muni de la distance induite par la norme infinie. L’ensemble des fonctionsu∈C telles que J(u) ≤Cte est born´e pour la norme infinie : supposons le contraire, soit M une constante positive, s’il existe x₀ tel que |u(x₀)| ≥ M on a u(x) = u(x₀) +u(x)−u(x₀) ≤

|u(x₀)|+α|x−x₀|et donc

∀x∈[0, L]|u(x)| ≥M−αL

Soit M₁ une constante positive, en choisissant M assez grand et en tenant compte de la coercivit´e de φ(x) il en r´esulterait que φ(u(x)−g) > M₁ et donc J(u) = RL

0 φ(u−g)dx≥

(5)

M₁L. L’ensemble des fonctions u ∈C telle que J(u) ≤Cte, est donc fermé borné, il suffit donc de montrer que les parties fermées bornées de C sont compactes pour la norme infinie pour obtenir l’existence d’un minimum sur C. Cela résulte d’une forme faible du théorème d’Ascoli :

Une suite bornée et uniformément Lipchiztienne de fonctions sur un intervalle [0, L] admet une sous suite qui converge uniformément.

• Montrer que siφ(y) =|y|² on a Z L

0

¯

u(x)−g(x)dx= 0

Corr.Si le minimum est atteint en ¯u∈C, la fonction ¯u+test aussi dans C. On a donc

∀t∈RJ(¯u)≤J(¯u+t) et donc

d

dtJ(¯u+t)|t=0= 0 ce qui s’´ecrit

Z L 0

¯

u(x)−g(x)dx= 0 Question 4

Approximation du probl`eme du profil d’une route

−On approche l’intégrale J(u) en rempla¸cant les intégrales exactes par leur approximation par la formule des trapèzes

Z xi

xi−1

φ(u(x)−g(x))dx∼ h

2(φ(u(xi−1)−g(xi−1)) +φ(u(xi)−g(xi))) ce qui donne

J(u)∼I(U) =h(1

2φ(u0−g0) +φ(u1−g1) +...+ 2φ(un−2−gn−2) +1

2φ(un−1−gn−1))

• SoitC_h est le polyèdre de Rⁿ défini par les inéquations

Ch ={U∈Rⁿ/∀i, 1≤i≤n−1 ⇒ |ui−u_i−1| ≤αh} Montrer que

u∈V_h∩C ⇔ U∈C_h

Corr. De gauche à droite c’est évident, de droite à gauche, six∈[xi, x_i+1],y ∈[xj, x_j+1] on a

u(y)−u(x)

y−x = ^(y−x^j⁾

u(y)−u(xj)

y−xj +...+(x_k+1−xk)^u(^xk+1⁻^u(^xk⁾⁾

xk+1−xk +...+(xi+1−x)^u(^xi+1)⁻^u(x)

xi+1−x

y−x (3)

(6)

Si U est dans C_h tous les rapports du second membre sont inférieurs à α, il en est donc de même de û(x)−u(y)_x−y qui est une combinaison convexe de ces rapports.

• Pour approcher (2) on pose le probl`eme d’optimisation







Ch={U∈Rⁿ/∀i, 1≤i≤n−1 ⇒ |ui−u_i−1| ≤αh}

∀U∈Ch I( ¯U)≤I(U)

(4)

Montrer, si φ(y) =y², l’existence et l’unicit´e de la solution du probl`eme (4).

Corr. Ici contrairement au problème exact il n’y a aucune difficulté à appliquer le théorème de projection pour la norme issue du produit scalaire

hx, yi=h(1

2x₀y₀+x₁y₁+...+x_n−2y_n−2+1

2x_n−1y_n−1)

carC_h est un convexe fermé pour la convergence dansRⁿ. Pour le cas général, il faut montrer que que l’ensembleEM ={U/ I(U)≤M}est fermé borné, ce qui résulte de la continuité et de la coercivité de φ(x), donc l’ensemble EM ∩Ch est fermé borné dans Rⁿ, donc compact, l’existence du minimum deI(U) surC_h en résulte.

• On choisit φ(y) = |y|. Montrer que le problème d’optimisation (4) est équivalent au problème





 minui,zi

1

2z0+z1+...+zn−2+...+1

2zn−1 sous les contraintes :

∀i, 1≤i≤n−1 ⇒ |ui−ui−1| ≤αh

∀i, 0≤i≤n−1 ⇒ zi ≥h|ui−gi|

(5)

et que ce problème est un problème de minimisation d’une fonction linéaire sous des contraintes d’inégalité linéaire.

Corr. Le probl`eme (4) s’´ecrit





 minui

h(1

2|u₀−g₀|+|u₁−g₁|+...+|u_n−2−g_n−2|+...+1

2|u_n−1−g_n−1|) sous les contraintes :

∀i, 1≤i≤n−1 ⇒ |ui−u_i−1| ≤αh

(6) Soit U∈C_h et zi, i= 1, ..., n−1 des nombres tels que zi ≥h|ui−gi|, on a

1

2z0+z1+...+zn−2+...+1

2zn−1≥h(1

2|u0−g0|+|u1−g1|+...+|un−2−gn−2|+...+1

2|un−1−gn−1|) donc le minimum dans (5) est supérieur au minimum dans (6), comme ce minimum est atteint si on choisit z_i=h|u¯_i−g_i|, où les ¯u_i réalisent le minimum de (6), les deux problèmes ont la même solution.

Note : nous verrons ultérieurement un algorithme, la méthode du simplexe, qui fournit la solution en un nombre fini d’étapes.