4 donc la forme exponentielle de u est u 2

CORRECTION DES EXERCICES 5 ET 6 DE LA FICHE A FAIRE PENDANT LE COURS DU MARDI 12 MAI

Exercice 5

1. | | ^{u 2} (diagonale d un carré de côté 1 ou 1² ( 1)² 2 ) et arg (u )

4 donc la forme exponentielle de u est u 2

e ⁱ⁴

.

2. Soit un réel.

e

ⁱ

(1 i ) e

ⁱ

2 e

ⁱ⁴

2 e

ⁱ

(

⁴

)

D autre part, e

ⁱ

(1 i) (cos( ) i sin( ))(1 i ) cos( ) isin( ) i cos( ) sin( ) e

ⁱ

(1 i ) (cos( ) sin( )) i (sin( ) cos( )).

La forme algébrique de e

ⁱ

(1 i ) est (cos( ) sin( )) i (sin( ) cos( )) et la forme exponentielle de e

ⁱ

(1 i ) est 2 e

ⁱ

(

⁴

)

3. Soit z e

ⁱ

(1 i).

D après ce qui précède, arg( z)

4 ; | | z 2 et Re( z) cos( ) sin( ) Alors, d après le cours, cos

 

 

4

cos( ) sin( )

2 , c'est-à-dire cos( ) sin( ) 2 cos

 

 

4

. Exercice 6

Affirmation 1 : c 1

2 e

ⁱ³

1 2  

  cos  

 

3

i sin

 

 

3

1 2  

 

1

2

i

³ 2

1 4

i 3 4

1

4 ( ^{1 i 3} ) . L affirmation est fausse.

Affirmation 2 : Soit n ; c

³ⁿ

 

 

1 2

e

ⁱ³

3n

 

 

1 2

3n

e

^{i3 3n}

 

 

1 2

3n

e

^{i n}

 

 

1 2

3n

e

^{i n}

 

 

1 2

3n

( 1)

ⁿ

. L affirmation est vraie.

Affirmation 3 : O a pour affixe 0 ; S a pour affixe c ² et T a pour affixe 1 c

( OT OS ) arg

 

 

zS zO

zT zO

arg

 



 



c²

1 c

arg ( ) c

³

arg

 

 

 

 

1 2

3

e

ⁱ

. ( OT OS ) est un angle plat donc O S et T sont alignés. L affirmation est vraie.

Affirmation 4 : Soit n .

| | ^c | | ^{c ²} … | | ^c

ⁿ

^c ( | | ^c )

²

… ( | | ^c )

ⁿ

| | ^c ( ^{1 | | c} ( | | ^c )

²

… ( | | ^c )

^{n 1}

) | | ^{c 1} ( ^{| | c} )

ⁿ

1 | | ^c

| | c

 

 

1

2

e

ⁱ³

1 2

Donc | | c | | c² … | | c

ⁿ

c ( | | c )

²

… ( | | c )

ⁿ

1 2

1  

 

1 2

n

1  

 

1 2

1 2

1  

 

1 2

n

1 2

1  

 

1 2

n

.

L affirmation est vraie.