Mathématiques 2 1
Séance 2 : Exercices FONCTIONS CONVEXES
Programme du cours
Dans le chapitre 2 les définitions des ensembles convexes (§ 2.1.1) et le paragraphe sur les fonctions convexes (§ 2.2).
Question 1
Un circuit électrique : exemple de système non linéaire
On considère un circuit électrique composé den+pnoeuds et de composants définis par un ensemble Ede paires de noeuds(i, j). Le circuit est supposé connexe (i.e. en un seul morceau). On noteVile potentiel au nœudi, potentiel connu pouri > n(masse, générateurs), et on suppose que les intensités dans les composants (résistances ou diodes) sont fonctions (généralement non linéaires) des potentiels à leurs bornesIi,j =fi,j(Vi−Vj).
On suppose que les fonctions fi,j(t) sont des fonctions monotones strictement croissantes et que fi,j(0) = 0 ; on note
Fi,j(t) = Z t
0
fi,j(τ)dτ
qui est une primitive defi,j(t). Les hypothèses surfi,j(t)impliquent queFi,j(t)≥0et que
t→±∞lim Fi,j(t) = +∞ (1)
Une résistance pureRi,jcorrespond à une fonctionfi,j(Vi−Vj) = VRi−Vj
i,j , cette situation est étudiée en détail au chapitre 1 du cours “Approximation des équations aux dérivées partielles”.
• Montrer que les lois de Kirchhoff (la somme des intensités arrivant sur un noeud est nulle) im- pliquent que les potentiels aux noeudsVisont solutions du système d’équations non linéaires
∀i= 1, ..n, X
j|(i,j)∈E
fi,j(Vi−Vj) = 0 (2)
•On définitV= (V1, ..., Vn)∈Rnle vecteur associé aux potentiels. Soit la fonction F(V) = X
(i,j)∈E
Fi,j(Vi−Vj)
Montrer que
∇F(V)i = X
j|(i,j)∈E
fi,j(Vi−Vj)
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Mathématiques 2 2
En déduire qu’un vecteurV = (V1, ..., Vn) ∈Rnest une solution du système (2) siVest un extré- mum de la fonctionF(V).
Question 2
Un circuit électrique : utilisation du principe du minimum
•Montrer que la fonctionF(V)est strictement convexe (pour la stricte convexité utiliser le fait que le circuit est connexe).
•Montrer queF(V)est coercive (indic : montrer en utilisant (1) que F(V)≤M ⇒ ∃α sup
j|(i,j)∈E
(Vi−Vj)≤α
et utiliser le fait que le circuit est connexe et qu’il y a un noeud au moins (une masse) où le potentiel est nul) .
•En déduire que le système (2) qui définit les potentielsVdans le circuit admet une solution et une seule.
On peut résoudre ce système en utilisant une méthode d’optimisation appliquée à la minimisation de la fonctionF(V).
Remarque : Dans cet exemple on a montré que ce système non-linéaire a une solution et une seule pour toutes les valeurs des données. On comparera avec l’étude du flambement d’une poutre au cha- pitre 1 du polycopié : dans ce système le nombre de solutions dépend de la valeur de certains para- mètres du problème.
Question 3
Optimisation du profil d’une route
On considère une première approche simplifié du problème du profil d’une route de longueurL. On construit la route en faisant uniquement des tranchées et des talus ; le tracé est supposé donné, seules la profondeur des tranchées et la hauteur des talus (i.e. le profil de la route) sont à définir.−La route est tracée sur un sol dont l’altitude est définie par une fonctiong(x), x∈[0, L].
−L’altitude, ou le profil, de la chaussée, est définie par la fonctionu(x), x∈[0, L].
−L’objectif est définir un profilu(x)qui ne dépasse jamais une penteαtout en minimisant le coût des remblais et des tranchées à effectuer que l’on suppose évalué par la fonction
J(u) = Z L
0
φ(u(x)−g(x))dx
−La fonctionφ(y), y ∈ Rest supposé convexe et coercive. Noter que si la coercivité est naturelle, la convexité est une hypothèse “ad hoc”.
−On envisagera les deux cas particuliers
φ(y) =|y|
et
φ(y) =|y|2
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Mathématiques 2 3
Il faut résoudre le problème d’optimisation
( C ={u∈C([0, L])/∀x, y∈[0, L] |u(x)−u(y)| ≤α|x−y|}
∀u∈C J(¯u)≤J(u)
(3)
•Vérifier queCest un convexe.
•Donner un argument (de génie civil et non pas de mathématiques...) en faveur du choixφ(y) =|y|2. Montrer que pour ce choix de la fonctionφ, la solutionu¯de (3) est la projection, au sens de la norme de L2([0, L]), de la fonctiong sur le convexeC. Les conditions du théorème de projection énoncé dans le cours sont-elles vérifiées ?
• Montrer que la fonction J(u) est convexe, et strictement convexe si φ est strictement convexe.
En déduire l’unicité de la solution si la fonctionφ(x) est strictement convexe. On admettra (voir le corrigé) l’existence de la solution de (3).
•Montrer que siφ(y) =|y|2 on a Z L
0
¯
u(x)−g(x)dx= 0
Question 4
Approximation du problème du profil d’une route
Nous allons discrétiser le problème précédent en approchant le profilu(x)par une fonction continue affine par morceaux. Soit :
−h= n−1L , oùn∈Nest donné,
−Vhl’ensemble des fonctions continues affines par morceaux sur[0, L]pour un partage en intervalles de longueurh.
−On pose :
xi =ih, i= 0, ..., n−1, ui =u(xi),U= (u0, ..., un−1)t, gi=g(xi),G= (g0, ..., gn−1)t.
Une fonction u(x) de Vh est obtenue par interpolation linéaire entre des valeurs ui = u(xi) aux point xi. Elle est parfaitement définie par ces valeurs, ce qui, en termes plus savants, montre que l’application qui àu ∈ Vh associe U ∈ Rn est un isomorphisme d’espace vectoriel : on peut donc identifierVhetRn.
−On approche l’intégraleJ(u) en remplaçant les intégrales exactes par leur approximation par la formule des trapèzes
Z xi
xi−1
φ(u(x)−g(x))dx∼ h
2(φ(u(xi−1)−g(xi−1)) +φ(u(xi)−g(xi))) ce qui donne
J(u)∼I(U) =h(1
2φ(u0−g0) +φ(u1−g1) +...+φ(un−2−gn−2) +1
2φ(un−1−gn−1))
•SoitCh est le polyèdre deRndéfini par les inéquations
Ch ={U∈Rn/∀i, 1≤i≤n−1 ⇒ |ui−ui−1| ≤αh}
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Montrer que
u∈Vh∩C ⇔ U∈Ch
•Pour approcher (3) on pose le problème d’optimisation
( Ch ={U∈Rn/∀i, 1≤i≤n−1 ⇒ |ui−ui−1| ≤αh}
∀U∈Ch I( ¯U)≤I(U) (4)
Montrer, si φ(y) = y2, l’existence et l’unicité de la solution du problème (4) (pour le cas général, voir le corrigé).
Note : nous verrons au chapitre 5 des méthodes numériques de résolution de ce problème qui est un problème d’optimisation quadratique sous des contraintes d’inégalité linéaires.
•On choisitφ(y) =|y|. Montrer que le problème d’optimisation (4) est équivalent au problème
minui,zi
1
2z0+z1+...+zn−2+...+1
2zn−1 sous les contraintes :
∀i, 1≤i≤n−1 ⇒ |ui−ui−1| ≤αh
∀i, 0≤i≤n−1 ⇒ zi ≥h|ui−gi|
(5)
et que ce problème est un problème de minimisation d’une fonction linéaire sous des contraintes d’inégalités linéaires.
Note : nous verrons dans le cours “Optimisation discrète” un algorithme, la méthode du simplexe, qui fournit la solution en un nombre fini d’étapes.
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