Séance 2 : Exercices corrigés FONCTIONS CONVEXES

Séance 2 : Exercices corrigés FONCTIONS CONVEXES

Question 1

Un circuit électrique : exemple de système non linéaire

• Montrer que les lois de Kirchhoff (la somme des intensités arrivant sur un noeud est nulle) im- pliquent que les potentiels aux noeudsVisont solutions du système d’équations non linéaires

∀i= 1, ..n, X

j|(i,j)∈E

f_i,j(V_i−V_j) = 0 (1)

Corr. La question contient la réponse...

•On définitV= (V₁, ..., V_n)∈Rⁿle vecteur associé aux potentiels. Soit la fonction F(V) = X

(i,j)∈E

F_i,j(V_i−V_j)

Montrer que

∇F(V)_i = X

j|(i,j)∈E

f_i,j(V_i−V_j)

Corr. Il suffit de calculer les dérivées partielles enV_ipour avoir ce résultat.

En déduire qu’un vecteur...

Le système (1) se réécrit

∇F(V) = 0

Ses solutions sont donc des points stationnaires de la fonctionF(V).

Question 2

Un circuit électrique : utilisation du principe du minimum

•Montrer que la fonctionF(V)est strictement convexe (pour la stricte convexité utiliser le fait que le circuit est connexe).

Corr.La fonctionFi,j(t)est strictement convexe puisque sa dérivée est strictement croissante. Consi- dérons la fonction

h(t) =F(U+tV)

qui est la restriction deF(V)à une droite. Il faut montrer que cette fonction est strictement convexe pour toutV. Or

h(t) = X

i,j|(i,j)∈E

F_i,j((U_i−U_j) +t(V_i−V_j))

C’est une fonction convexe comme somme de fonctions convexes. Il est plus délicat de montrer qu’elle est strictement convexe. L’un des termesVi−Vj est différents de zéros, sinonVi = Cte(si le circuit est connexe) et doncV_i = 0(car un noeud au moins est à potentiel fixé), donc l’une des fonctionsFi,j((Ui−Uj) +t(Vi−V_j))est non constante et donc est strictement convexe. On en déduit queh(t)est strictement convexe.

•Montrer queF(V)est coercive...

Corr.

F(V)≤M ⇔ Fi,j(Vi−Vj)≤M

Comme les fonctionFi,j(t)tendent vers l’infini à l’infini cela implique qu’il existeβi,jtel que|V_i− Vj| ≤βi,j. Il suffit de prendreα= mini,jβi,j. Considérons, pour fixer les idées, que le noeudn+ 1 est une masse ; le circuit étant connexe il existe un chemin de longueur au plusnreliant un noeudiet le noeudn+ 1, donc

|V_i|=|V_i−Vn+1| ≤nα Nous avons ainsi montré que

F(V)≤M ⇒ ∃αkVk_∞≤nα ce qui équivaut à la coercivité de la fonctionF(V).

•En déduire que le système (1) qui définit les potentielsVdans le circuit admet une solution et une seule.

Corr.Les solutions du système (1) sont des points stationnaires de la fonctionF(V). Un point sta- tionnaire d’une fonction convexe ne peut être qu’un minimum d’après la proposition 7. Or d’après le théorème 14 du chapitre 2 du cours : une fonction coercive et strictement convexe sur un espace de dimension finie admet un minimum et un seul. Donc le système (1) admet une solution et une seule.

Question 3

Optimisation du profil d’une route Il faut résoudre le problème d’optimisation

( C ={u∈C([0, L])/∀x, y∈[0, L] |u(x)−u(y)| ≤α|x−y|}

∀u∈C J(¯u)≤J(u)

(2)

•Vérifier queCest un convexe.

Corr. Immédiat, c’est de plus un convexe fermé pour la convergence enk k_∞, i.e. la convergence uniforme.

•Donner un argument (de génie civil et non pas de mathématiques...) en faveur du choixφ(y) =|y|². Corr.Si le profil des talus ou des tranchées a une pente oblique constante, la quantité de matières par unité de longueur est proportionnelle à la surface d’une section et donc au carré de la hauteur de cette

section.

Montrer que pour ce choix de la fonctionφ, la solutionu¯de (2) est la projection, au sens de la norme deL²([0, L]), de la fonctiongsur le convexeC.

Corr.Par définition...

Les conditions du théorème de projection énoncé dans le cours sont-elles vérifiées ?

Corr. Le théorème de projection affirme l’existence et l’unicité de la projection d’un point sur un convexe fermé au sens de la norme deL²([0, L]). Le problème délicat est ici de montrer queC est fermé au sens de la norme deL²([0, L])ce qui n’est pas évident. La démonstration qui suit n’est pas au programme.

Soitfnune suite de fonctions deCqui converge au sens deL²([0, L])vers une fonctionf, i.e.

Z L 0

(f_n(x)−f(x))²dy→0

f_n est donc une suite de Cauchy au sens deL²([0, L]), nous allons montrer que c’est une suite de Cauchy au sens de la convergence ponctuelle ce qui impliquera que sa limite est dansC.

Commefn(x)−fp(x)est uniformément lipschitzienne de constante2αil suffit, pour établir le critère de Cauchy, de montrer que si une suite de fonction uniformément lipschitziennef_ntend vers0au sens deL²([0, L])elle tend vers0ponctuellement.

On a, pour touth∈Rtel que[x−h, x+h]⊂[0, L]

Z x+h x−h

(fn(x))²dy→0

On a aussi

fn(x)−fn(y)≤α|x−y| tout comme −fn(x) +fn(y)≤α|x−y|

donc, en choisissant la première inégalité, Z x+h

x−h

f_n(x)dy− Z x+h

x−h

f_n(y)dy≤α Z x+h

x−h

|x−y|dy

et donc

2hf_n(x)− Z _x+h

x−h

f_n(y)dy≤2αh² en majorant|x−y|parh. Comme, d’après Cauchy-Schwartz,

Z x+h x−h

f_n(y)dy≤√ 2h

s Z x+h

x−h

f_n(y)²dy

il vient

2hf_n(x)≤√ 2h

s Z _x+h

x−h

f_n(y)²dy+ 2αh² ou encore

f_n(x)≤ r 1

2h s

Z x+h x−h

f_n(y)²dy+αh

En utilisant au départ la deuxième égalité, on montrerait de même

−f_n(x)≤ r 1

2h s

Z x+h x−h

fn(y)²dy+αh

et donc

|f_n(x)| ≤ r 1

2h s

Z x+h x−h

f_n(y)²dy+αh

Choisissanthassez petit on peut rendre le second terme petit, en faisant tendrenvers l’infini on peut alors rendre le premier terme petit, on a donc montré quefn(x)tend vers0.

•Montrer que la fonctionJ(u)est convexe, et strictement convexe siφest strictement convexe.

Corr.Montrons la stricte convexité de la fonctionv → R1

0 φ(v(x))dx, la stricte convexité deJ(u) en découle. C’est un cas particulier d’un résultat du cours.

On utilise l’inégalité de convexité pourφ(x)

φ(λv1(x) + (1−λ)v2(x))≤λφ(v1(x)) + (1−λ)φ(v2(x))

l’inégalité étant stricte sur un intervalle enxsi les deux fonctionv1etv2sont distinctes, et on intègre Z 1

0

φ(λv₁(x) + (1−λ)v₂(x)))dx < λ Z 1

0

φ(v₁(x))dt+ (1−λ) Z 1

0

φ(v₂(x))dx

En déduire l’unicité de la solution si la fonctionφ(x)est strictement convexe.

Corr.Une fonction strictement convexe admet au plus un minimum sur un convexe, en effet s’il y en avait deux distinctsu₁etu₂on aurait

J(v₁+v₂

2 )< J(v₁) +J(v₂) 2

Corr.Montrons, c’est hors programme, l’existence du minimum. La fonctionJ(u) est continue sur C muni de la distance induite par la norme infinie. L’ensemble des fonctions u ∈ C telles que J(u) ≤Cteest borné pour la norme infinie : supposons le contraire, soitM une constante positive, s’il existex0tel que|u(x₀)| ≥M on au(x) =u(x0) +u(x)−u(x0)≤ |u(x₀)|+α|x−x0|et donc

∀x∈[0, L]|u(x)| ≥M−αL

SoitM₁ une constante positive, en choisissantM assez grand et en tenant compte de la coercivité de φ(x)il en résulterait queφ(u(x)−g)> M1et doncJ(u) =RL

0 φ(u−g)dx≥M1L. L’ensemble des fonctionsu∈Ctelle queJ(u)≤Cte, est donc fermé borné, il suffit donc de montrer que les parties fermées bornées deC sont compactes pour la norme infinie pour obtenir l’existence d’un minimum surC. Cela résulte d’une forme faible duthéorème d’Ascoli:

Une suite bornée et uniformément Lipchiztienne de fonctions sur un intervalle[0, L]admet une sous suite qui converge uniformément.

•Montrer que siφ(y) =|y|² on a Z L

0

¯

u(x)−g(x)dx= 0

Corr.Si le minimum est atteint enu¯∈C, la fonctionu¯+test aussi dansC. On a donc

∀t∈RJ(¯u)≤J(¯u+t) et donc

d

dtJ(¯u+t)|_t=0= 0 ce qui s’écrit

Z L 0

¯

u(x)−g(x)dx= 0

Question 4

Approximation du problème du profil d’une route

−On approche l’intégraleJ(u) en remplaçant les intégrales exactes par leur approximation par la formule des trapèzes

Z xi

xi−1

φ(u(x)−g(x))dx∼ h

2(φ(u(xi−1)−g(xi−1)) +φ(u(x_i)−g(x_i))) ce qui donne

J(u)∼I(U) =h(1

2φ(u0−g0) +φ(u1−g1) +...+ 2φ(un−2−gn−2) +1

2φ(un−1−gn−1))

•SoitC_h est le polyèdre deRⁿdéfini par les inéquations

C_h ={U∈Rⁿ/∀i, 1≤i≤n−1 ⇒ |u_i−ui−1| ≤αh}

Montrer que

u∈V_h∩C ⇔ U∈C_h

Corr.De gauche à droite c’est évident, de droite à gauche, six∈[xi, xi+1],y∈[xj, xj+1]on a

u(y)−u(x)

y−x =

(y−x_j)^u(y)−u(_y− ^xj)

xj +...+(xk+1−x_k)^{u(xk+1−u(xk))}

xk+1−xk +...+(xi+1−x)^{u(xi+1)−u(x)}

xi+1−x

y−x (3)

SiUest dansCh tous les rapports du second membre sont inférieurs àα, il en est donc de même de

u(x)−u(y)

x−y qui est une combinaison convexe de ces rapports.

•Pour approcher (2) on pose le problème d’optimisation

( C_h ={U∈Rⁿ/∀i, 1≤i≤n−1 ⇒ |u_i−ui−1| ≤αh}

∀U∈C_h I( ¯U)≤I(U) (4)

Montrer, siφ(y) =y², l’existence et l’unicité de la solution du problème (4).

Corr.Ici contrairement au problème exact il n’y a aucune difficulté à appliquer le théorème de pro- jection pour la norme issue du produit scalaire

hx, yi=h(1

2x₀y₀+x₁y₁+...+xn−2yn−2+1

2xn−1yn−1)

carCh est un convexe fermé pour la convergence dansRⁿ. Pour le cas général, il faut montrer que que l’ensembleE_M = {U/ I(U) ≤ M} est fermé borné, ce qui résulte de la continuité et de la coercivité deφ(x), donc l’ensembleE_M ∩C_h est fermé borné dans Rⁿ, donc compact, l’existence du minimum deI(U)surChen résulte.

•On choisitφ(y) =|y|. Montrer que le problème d’optimisation (4) est équivalent au problème





 minui,zi

1

2z0+z1+...+zn−2+...+1

2zn−1 sous les contraintes :

∀i, 1≤i≤n−1 ⇒ |u_i−ui−1| ≤αh

∀i, 0≤i≤n−1 ⇒ zi ≥h|u_i−gi|

(5)

et que ce problème est un problème de minimisation d’une fonction linéaire sous des contraintes d’inégalité linéaire.

Corr.Le problème (4) s’écrit





 minui

h(1

2|u₀−g0|+|u₁−g1|+...+|un−2−gn−2|+...+1

2|un−1−gn−1|) sous les contraintes :

∀i, 1≤i≤n−1 ⇒ |u_i−ui−1| ≤αh

(6) SoitU∈C_hetz_i, i= 1, ..., n−1des nombres tels quez_i ≥h|u_i−g_i|, on a

1

2z0+z1+...+zn−2+...+1

2zn−1≥h(1

2|u₀−g₀|+|u₁−g₁|+...+|un−2−gn−2|+...+1

2|un−1−gn−1|) donc le minimum dans (5) est supérieur au minimum dans (6), comme ce minimum est atteint si on choisitz_i ≥ h|¯u_i −g_i|, où lesu¯_i réalisent le minimum de (6), les deux problèmes ont la même solution.

Note : nous verrons ultérieurement un algorithme, la méthode du simplexe, qui fournit la solution en un nombre fini d’étapes.