Sup PCSI 2 — Colle n◦ 15 et 16 — Quinzaine du 29/1 au 9/2
Les points marqu´es d’un •peuvent faire l’objet de questions de cours avec d´emonstrations d´etaill´ees. Les points marqu´es d’unI se prˆetent particuli`erement `a des exercices.
1 D´ eveloppements limit´ es
•D´efinition duDLn(a) d’une fonctionf : I 7→R, o`ua∈I. Exemple :DLn(0) dex7→ 1 1−x.
•Lien entre leDLn(a) def et leDLn(0) deh7→f(a+h). Restriction, troncature.
•Si a∈ I, l’existence du DL0(a) ´equivaut `a la continuit´e de f en a; l’existence du DL1(a) ´equivaut `a la d´erivabilit´e def ena.
•Unicit´e du DLn(0) ; cons´equence pour le DLn(0) d’une fonction paire ou impaire.
•Sommes et produits deDLn(0).
•Int´egration de DLn(0). Obtention desDLn(0) de x7→ln(1 +x),x7→ln(1−x), arctan.
•Formule de Taylor-Young(´enonc´e). Obtention de DLn(0) `a partir de cette formule :DLn(0) de exp, sin, cos, sh, ch,x7→(1 +x)α.
•Les ´etudiants connaissent plusieurs m´ethodes pour obtenir le DL5(0) de tan.
•Exemples de d´eveloppements limit´es g´en´eralis´es, et de d´eveloppements limit´es au voisinage de +∞.
IRien n’interdit de demander le calcul d’unDLn(a) aveca6= 0. . .
2 Fonctions convexes
• I Brefs rappels sur la notion de barycentre de deux points. D´efinition du segment [A, B]. D´efinition d’une partie convexe du plan ; exemples de parties convexes.
• D´efinition d’une fonction convexe sur un intervalleI de R: l’ensemble des points situ´es au-dessus de la courbe repr´esentative est convexe. Exemples :x7→x2,x7→ |x|.
•Une fonction est convexe ssi sa courbe repr´esentative est situ´ee hhsous ses cordesii.
•I Caract´erisation des fonctions convexes par l’in´egalit´e de convexit´ef (1−λ)x+λy
6(1−λ)f(x)+λf(y).
Equivalence avec l’in´egalit´e `´ anpoints.
•Caract´erisation des fonctions convexes d´erivables, puis deux fois d´erivables (d´emonstration non exigible).
La continuit´e et la d´erivabilit´e `a droite et `a gauche en tout point int´erieur `aI ont ´et´e prouv´ees, mais ne sont pas exigibles.
I D´emonstration d’in´egalit´es en faisant appel `a des fonctions convexes.
3 Et aussi
. . .N’h´esitez pas `a poser des calculs de toutes sortes : limites, ´equivalents, simplification de sommes, r´esolution d’´equations (dansC, ou trigonom´etriques, d’in´equations) !
N’oubliez pas d’indiquer sur la fiche de colle votre nom, et surtout le num´ero de la semaine en cours !
MPB : 89 AC : 15 CP : 130 BM : 187
