Analyse 2 Int´egrale de Riemann, fonctions convexes Licence de math´ematiques, 1`ere ann´ee

Analyse 2

Int´egrale de Riemann, fonctions convexes Licence de math´ematiques, 1`ere ann´ee

Table des mati` eres

Chapitre 1. Subdivisions, fonctions en escalier, fonctions r´egl´ees 5

1. Subdivisions d’un intervalle 5

1.1. Vocabulaire 5

1.2. Le Lemme de Cousin 5

1.3. Une application : continuit´e uniforme 7

2. Fonctions en escalier 8

3. Fonctions r´egl´ees 10

Chapitre 2. Int´egrale sur un segment : th´eorie “minimale” 13

1. Int´egrale des fonctions en escalier 13

2. Fonctions int´egrables au sens de Riemann 17

2.1. D´efinitions 17

2.2. Exemples et contre-exemples 19

2.3. Reformulations de la d´efinition 20

2.4. Propri´et´es de l’int´egrale 22

2.5. Fonctions `a valeurs complexes 26

2.6. Inversion des bornes d’int´egration 28

3. Le “Th´eor`eme fondamental de l’analyse” 28

3.1. La version utile 29

3.2. Une version plus g´en´erale 32

Chapitre 3. Calculs et formules 35

1. Calculs de primitives 35

1.1. Une notation utile 35

1.2. Petite liste de primitives `a connaitre imp´erativement 35

1.3. “Formes usuelles” `a retenir 36

1.4. Primitivation par parties 38

1.5. Primitivation des fonctions rationnelles 39

2. Int´egration par parties 44

3. Changements de variables 45

4. Formule de Taylor 48

4.1. Enonc´´ e et preuve de la formule 48

4.2. Une application : d´eveloppement de l’exponentielle “en s´erie” 52

Chapitre 4. Sommes de Riemann 55

1. D´ecoupages point´es et sommes de Riemann 55

2. Convergence des sommes de Riemann 56

2.1. Deux petits calculs 56

2.2. Un r´esultat g´en´eral 57

3. R´eciproque 61

3

Chapitre 5. Caract´erisation de l’int´egrabilit´e 65 1. Points de continuit´e et points de discontinuit´e d’une fonction 65

2. Ensembles n´egligeables 66

3. Th´eor`eme de Lebesgue-Vitali 69

4. Preuve du Th´eor`eme de Lebesgue-Vitali 71

4.1. Notations 71

4.2. Preuve de l’implication “directe” 72

4.3. Preuve de l’implication “r´eciproque” 73

Chapitre 6. Fonctions convexes 75

1. Vocabulaire g´eom´etrique 75

1.1. Segments 75

1.2. Au dessus, en dessous 75

2. Fonctions convexes, fonctions concaves 76

2.1. D´efinitions g´eom´etriques 76

2.2. Reformulations analytiques 78

2.3. In´egalit´e de Jensen discr`ete 80

2.4. In´egalit´e des 3 pentes 81

3. Cas des fonctions d´erivables 82

4. R´egularit´e des fonctions convexes ; droites d’appui 84

5. Fonctions convexes et fonctions croissantes 86

6. Exemples d’in´egalit´es de convexit´e 88

6.1. Minoration du sinus et du cosinus 88

6.2. Fonctions sous-additives 89

6.3. In´egalit´e arithm´etico-g´eom´etrique 89

6.4. In´egalit´e de Hermite-Hadamard 90

6.5. In´egalit´e de Jensen “continue” 91

6.6. In´egalit´e de H¨older 92

6.7. In´egalit´e de Minkowski 94

Chapitre 1

Subdivisions, fonctions en escalier, fonctions r´ egl´ ees

1. Subdivisions d’un intervalle 1.1. Vocabulaire.

D´efinition 1.1. Soit ra, bs un intervalle ferm´e de R.Une subdivision de ra, bs est une suite finie S “ ps₀, . . . , s_Nq de points de ra, bs deux `a deux distincts et rang´es par ordre croissant, avec s0“aetsN “b. Siaăb, on a donc a“s0ă ¨ ¨ ¨ ăsN “b.

a“s₀ s₁ s₂ s₃ s_N´1 s_N “b

Exemple. S :“ p0,1,3{2,2qetS¹:“ p0,1{4,3{4,1,3{2,7{4,2qsont des subdivisions de ra, bs:“ r0,2s.

Remarque 1. Par d´efinition, la seule subdivision d’un intervalletrivial ra, as “ tau est S “ paq.

Remarque 2. Une subdivisionS “ ps0, . . . , sNq dera, bscontientN`1 points. Elle d´etermine un d´ecoupage de ra, bsen N intervalles ferm´es cons´ecutifsJ₀, . . . , J_N´1 :

J_k“ rs_k, s_k`1s pour k“0, . . . N ´1.

a“s₀ s₁ s₂ s₃ s_k sk`1 sN´1 s_N “b

J₀ J₁ J₂ J_k J_N´1

D´efinition 1.2. SoientS et S¹ deux subdivisions de ra, bs. On dit queS¹ est plus fine queS, et on ´ecrit S¹ľS, siS¹ contient tous les points de S

Exemple. S¹ “ p0,1{4,3{4,1,3{2,7{4,2q est une subdivision de ra, bs “ r0,2s plus fine que S“ p0,1,3{2,2q.

1.2. Le Lemme de Cousin. Le r´esultat suivant peut `a juste titre sembler tr`es abstrait ; mais il est ´egalement tr`es utile. Il porte le nom deLemme de Cousin.

Th´eor`eme 1.3. Soitra, bs ĎRun intervalle ferm´e born´e. Pour tout xP ra, bs, on suppose donn´e un intervalle ouvert Vx tel que x P Vx. Alors il existe une subdivision S “ ps<sub>0</sub>, . . . , s<sub>N</sub>qde ra, bstelle que chaque intervalle rs<sub>k</sub>, s<sub>k`1</sub>sest enti`erement contenu dans Vxk pour un certain xkP ra, bs, avec de plus xkP rsk, sk`1s.

5

D´emonstration. On dira qu’un intervalle ferm´e J Ď ra, bsestgentils’il existe une subdivision S “ ps0, . . . , sNq de J telle que chaque intervalle rsk, sk`1s est contenu dans un certain V<sub>xk</sub> avec x<sub>k</sub> P rs<sub>k</sub>, s<sub>k`1</sub>s (et on dira qu’une telle S est une bonne subdivision deJ). Bien entendu, un intervalle qui n’est pas gentil sera ditm´echant.

Avec cette terminologie, il s’agit de montrer que l’intervalle J “ ra, bsest gentil.

Fait 0. SixP ra, bs, alors tout intervalle ferm´e J ĎV_x tel quexPJ est gentil.

Preuve du Fait 0. C’est ´evident : si J “ ru, vs, alors pu, vq est une bonne subdivi-

sion de J puisque xP ru, vs ĎVx.

Fait 1. Soientu, v, mP ra, bsavecuďmďv. Siru, msetrm, vssont gentils, alors ru, vsest gentil.

Preuve du Fait 1. Il suffit de mettre “bout `a bout” une bonne subdivision deru, ms et une bonne subdivision de rm, vs. (Exo : ´ecrire les d´etails.)

Dans la suite, on notera |J|la longueur d’un intervalle J.

Fait 2. Soit J Ď ra, bs un intervalle ferm´e. Si J est m´echant, alors il existe un intervalleJ¹ ĎJ avec |J¹| “ ¹₂|J|qui est encore m´echant.

Preuve du Fait 2. Ecrivons´ J “ ru, vs, et soit m le milieu de ru, vs. Par le Fait 1, l’un des deux intervallesru, msetrm, vsn’est pas gentil ; donc il suffit de prendre pour

J¹ cet intervalle.

Maintenant, montrons par l’absurde que ra, bsest gentil.

Supposons que J0 :“ ra, bs ne soit pas gentil. Par le Fait 2, on peut trouver un intervalle J1 Ď ra, bsqui est m´echant et v´erifie|J1 “ ¹₂|J0|. En r´eappliquant le Fait 2, on trouve un intervalle J2ĎJ1 qui est encore m´echant et v´erifie|J2| “ ¹₂|J1| “ ₂¹2|J0|.

Et ainsi de suite : par r´ecurrence, on construit une suite d´ecroissante d’intervalles J1, J2, J3, . . . telle que |Jn| “ ₂¹n|J0|etJn est m´echant, pour toutně0.

Par le Th´eor`eme des segments emboit´es, il existe un (et un seul) point x P ra, bs appartenant `a tous les intervallesJn. Comme Vx est un intervalle ouvert contenantx, on peut trouverεą0 tel querx´ε, x`εs ĎV<sub>x</sub>; et comme|J<sub>n</sub>| Ñ0 quandnÑ 8, on peut ensuite trouver un entier ntel que |J<sub>n</sub>| ďε. Alors J<sub>n</sub>Ď rx´ε, x`εscar xPJ_n (micro-exo) ; et doncJnĎVx. DoncJnest gentil par le Fait 0 (puisque xPJn), ce qui

contredit le choix de J_n.

Du Lemme de Cousin, on peut d´eduire un autre r´esultat tr`es utile, qu’on appelle le Lemme de Lebesgue.

Corollaire 1.4. Supposons donn´e, pour tout x P ra, bs, un intervalle ouvert Vx

tel que xPV_x. Alors on peut trouverδ ą0 tel que : tout intervalle J Ď ra, bs v´erifiant

|J| ăδ est contenu dans un certain Vx.

D´emonstration. Soit ps₀, . . . , s_Nq une subdivision de ra, bs donn´ee par le Lemme de Cousin. Chaque intervalle rsk, sk`1s est donc contenu dans Vxk pour un certain x<sub>k</sub>P ra, bs. Comme lesV<sub>xk</sub> sont des intervalles ouverts, on peut, pour k“0, . . . , N´1, trouver δ<sub>k</sub>ą0 tel quers<sub>k</sub>´δ<sub>k</sub>, s<sub>k`1</sub>`δ_ks ĎV_xk (micro-exo).

Soit alors δ “ minpδ0, . . . , δN´1q. Si J Ď ra, bs est un intervalle non vide tel que

|J| ăδ, alorsJ rencontrers_k, s_{k`1</sub>spour un certaink, doncJ Ď rs<sub>k</sub>´δ, s<sub>k`1}`δs(exo), et donc J Ď rsk´δk, sk`1`δks ĎVxk puisqueδ ďδk. Par cons´equent,δ convient.

1. SUBDIVISIONS D’UN INTERVALLE 7

La preuve du Lemme de Lebesgue qu’on vient de donner n’est sans doute pas la plus naturelle qui soit. En voici donc une autre.

Preuve directe du Lemme de Lebesgue. Par l’absurde, on suppose que la conclusion n’est pas vraie, i.e. que pour tout δ ą 0, il existe un intervalle Jpδq Ď ra, bs tel que

|Jpδq| ăδ mais Jpδq n’est contenu dans aucunV_x. PournPN, on pose J_n“Jp2^´nq, et on choisit un point xnPJn. Ainsi :

r |Jn| Ñ0,

r Jn n’est contenu dans aucunVx, r x_nPJ_n.

La suite px_nq est born´ee (x_nP ra, bs), donc elle poss`ede une sous-suite convergente pxnkq par le Th´eor`eme de Bolzano-Weierstrass : xnk ÑxP ra, bs.

Comme V_x est un intervalle ouvert et x P V_x, on peut trouver ε ą 0 tel que rx´2ε, x`2εs ĎV<sub>x</sub> (faire un dessin). Et commex<sub>nk</sub> Ñxet|J<sub>nk</sub>| Ñ0, on peut ensuite trouver un entier ktel que|xn<sub>k</sub>´x| ďεet|Jn<sub>k</sub>| ďε. AlorsJn<sub>k</sub> Ď rxn<sub>k</sub>´ε, xn<sub>k</sub>`εs Ď rx´2ε, x`2εs(compl´eter le dessin). DoncJ_nk ĎV_x, ce qui contredit la d´efinition des

Jn!

1.3. Une application : continuit´e uniforme.

Rappel. Soit I un intervalle de R. Une fonction f :I Ñ R est continue sur I si elle est continue en tout point deI; ce qui s’´ecrit comme suit avec des quantificateurs :

@xPI @εą0Dδą0 d´ependant de εet de x tel que

@yPI v´erifiant |y´x| ăδ, on a |fpyq ´fpxq| ăε.

D´efinition 1.5. Soit I un intervalle de R, et soit f : I Ñ R. On dit que f est uniform´ement continue sur I si

‚ f est continue ;

‚ pourεą0donn´e, on peut prendre le mˆeme “δ de continuit´e” pour tous les x de I.

Autrement dit :

@εą0Dδą0 d´ependant uniquement de ε tel que

@x, yPI v´erifiant|y´x| ăδ, on a |fpyq ´fpxq| ăε.

(˚)

Exemple. fptq:“test uniform´ement continue surR, maisfptq “t² ne l’est pas.

D´emonstration. Le fait que fptq “ t soit uniform´ement continue sur R est un micro-exo. Pour fptq “t², on observe que siδą0 est donn´e, alors

x:“ 1

δ et y:“x`δ 2 v´erifient

|y´x| “ δ

2 ăδ et y²´x² “xδ`δ²

4 ěxδ“1.

Donc, pour ε:“1, il est impossible de trouverδ ą0 tel que p˚q soit v´erifi´ee.

Le r´esultat suivant s’appelle leTh´eor`eme de Heine. On aura l’occasion de s’en servir au Chapitre 4.

Th´eor`eme 1.6. Si I “ ra, bs est un intervalle ferm´e born´e, alors toute fonction continue f :ra, bs ÑRest uniform´ement continue.

D´emonstration. Soit εą0 : on cherche un δą0 tel que p˚qsoit v´erifi´e.

Comme f est continue, pour chaque z P ra, bs on peut trouver un δ_z ą0 tel que

|fpuq ´fpzq| ăε{2pour toutu v´erifiant |u´z| ăδz. Pour zP ra, bs, on pose V_z:“ sz´δ_z, z`δ_zr. Alors

@x, yPV_zX ra, bs : |fpyq ´fpxq| ď |fpxq ´fpzq| ` |fpzq ´fpyq| ăε{2`ε{2“ε.

Par le Lemme de Lebesgue, il existe un δ ą 0 tel que tout intervalle J Ď ra, bs v´erifiant |J| ăδ est contenu dans un certainV_z. Montrons queδ v´erifiep˚q.

Soit xP ra, bs quelconque, et soity tel que |y´x| ăδ. Alors J :“ rx, ys(ou ry, xs si y ăx) v´erifie|J| ăδ. Donc J ĎV_z pour un certainzP ra, bs. En particulierx et y

sont dans V_z, et donc|fpyq ´fpxq| ăε.

Pour faire bonne mesure, voici les grandes lignes d’une

Preuve directe du Th´eor`eme de Heine. Soitf :ra, bs ÑRcontinue. Par l’absurde, supposons quef ne soit pasuniform´ement continue. Alors (micro-exo) on peut trouver εą0 et deux suitespxnq,pynq Ď ra, bstelles que |yn´xn| ă2<sup>´n</sup>et|fpynq ´fpxnq| ěε pour tout n P N. Quitte `a extraire une sous-suite (Bolzano-Weierstrass), on peut supposer que la suite pxnq converge, xn Ñ p P ra, bs. Alors yn Ñ p ´egalement car

|yn´xn| Ñ0 (micro-exo) ; et comme|fpxnq ´fpynq|ne tend pas vers 0, cela contredit

la continuit´e de f au point p.

2. Fonctions en escalier

D´efinition 2.1. Soit ra, bs Ď R, et soit ϕ:ra, bs ÑR. On dit que la fonction ϕ est en escalier sur ra, bs s’il existe une subdivision S “ ps₀, . . . , s_Nq de ra, bs telle que ϕest constante sur chaque intervalle Ik“ ssk, sk`1r,0ďkďN´1. On dit alors que la subdivision S estadapt´ee `a ϕ.

a“s0 s₁ s₂ s₃ s₄ s_N´1 sN “b

Une fonction en escalier

2. FONCTIONS EN ESCALIER 9

Remarque 2.2. Par d´efinition, une fonction en escalier ne prend qu’un nombre fini de valeurs.

Remarque 2.3. Si une fonction ϕ est en escalier sur ra, bs, alors sa restriction `a tout tout sous-intervalle ru, vs Ď ra, bsest en escalier surru, vs.

D´emonstration. Exo.

Exemple 0. Toute fonctionconstante est en escalier !

Exemple 1. La fonction “partie enti`ere” est en escalier sur tout intervalle ra, bs.

(Faire un dessin.)

Exemple 2. SoitI Ď ra, bs. Lafonction indicatrice deI est la fonction not´ee1_I d´efinie par

1_Iptq “

"

1 si tPI 0 si tRI Si I est un intervalle, alors la fonction 1I est en escalier.

a b

1

I 0

Fonction indicatrice

Exemple 3. ϕptq:“tn’est en escalier sur aucun intervallera, bsnon trivial, car elle prend une infinit´e de valeurs surra, bs. (Faire un dessin.)

Exercice 1. SoitE Ď ra, bs, et soit1_E la fonction indicatrice deE. Montrer que1_E est en escalier sur ra, bssi et seulement siE est une r´eunion finie d’intervalles.

Exercice 2. Soit ϕ : ra, bs Ñ R une fonction en escalier. Montrer que si ϕ est continue sur ra, bs, alors elle est constante.

Notation. On noteEpra, bsqEEpra, bsqpra, bsql’ensemble de toutes les fonctions en escalier surra, bs.

Lemme 2.4. SoitϕPEpra, bsq. SiS est une subdivision de ra, bsadapt´ee `a ϕ, alors toute subdivision S<sup>1</sup> plus fine que S est adapt´ee `a ϕ.

D´emonstration. Ecrivons´ S “ ps0, . . . , sNq etS¹ “ ps¹₀, . . . , s¹_Mq.

Fait. Chaque intervalle ss¹_l, s¹<sub>l`1</sub>rest contenu dans un intervallessk, sk`1r.

Preuve du Fait. L’intervalle ss¹_l, s¹_{l`1</sub>r ne contient aucun point de S<sup>1</sup>, donc aucun point de S puisque S<sup>1</sup> ľS. Donc, si on note k0 le plus grand k tel que sk ďs<sup>1</sup><sub>l</sub>, on a forc´ement s<sub>k0`1} ěs¹_{l`1</sub>, et doncss<sup>1</sup><sub>l</sub>, s<sup>1</sup><sub>l`1}rĎ ss_k, s_k`1r.

s_k0 s¹_l s¹_{l`1</sub> s<sub>k0`1}

La preuve du lemme est maintenant imm´ediate : par hypoth`ese, ϕ est constante sur ss<sub>k</sub>, s<sub>k`1</sub>rpour k“0, . . . , N´1, et d’apr`es le Fait, chaque intervalle ss<sup>1</sup><sub>l</sub>, s<sup>1</sup><sub>l`1</sub>rest contenu dans un certain ssk, sk`1r; doncϕest constante sur chaquess<sup>1</sup><sub>l</sub>, s<sup>1</sup><sub>l`1</sub>r, et donc

S¹ est adapt´ee `aϕ.

Corollaire 2.5. Si ϕ₁, . . . , ϕ_dPEpra, bsq, il existe une subdivisionS de ra, bs qui est adapt´ee `a toutes lesϕi.

D´emonstration. Pouri“1, . . . , d, soitS_i une subdivision adapt´ee `aϕ<sub>i</sub>; et soitSla subdivision obtenue en prenant les points de toutes les subdivisions S1, . . . , Sd. Alors S ľSi pour touti, doncS est adapt´ee `a chaqueϕi par le lemme.

Corollaire 2.6. Si ϕ₁, . . . , ϕ_d P Epra, bsq et si F : R^d Ñ R est une fonction quelconque, alors la fonction Φ d´efinie par Φptq “Fpϕ1ptq, . . . , ϕdptqqest en escalier.

D´emonstration. SoitS“ ps₀, . . . , s_Nqune subdivision adapt´ee `a toutes lesϕ<sub>i</sub>. Pour k“0, . . . , N, toutes les ϕ<sub>i</sub> sont constantes surss<sub>k</sub>, s<sub>k`1</sub>r; donc Φ aussi par d´efinition.

Donc ΦPEpra, bsqetS est adapt´ee `a Φ.

Corollaire 2.7. Si ϕ et ψ sont des fonctions en escalier et si λ P R, alors les fonctions ϕ`ψ, λϕ, ϕψ et |ϕ|sont en escalier.

D´emonstration. On a pϕ`ψqptq “ Fpϕptq, ψptqq, o`u F : R² Ñ R est d´efinie par Fpu, vq “ u`v; donc ϕ`ψ est en escalier par le corollaire pr´ec´edent. Mˆeme

raisonnement pour cϕ,ϕψ et|ϕ|(exo).

Exercice. Montrer qu’une fonction ϕ:ra, bs Ñ Rest en escalier si et seulement si elle est de la forme

ϕ“

M

ÿ

j“1

λj1_Ij,

o`u lesI_j sont des intervalles (et les λ_j sont des constantes).

3. Fonctions r´egl´ees

D´efinition 3.1. Soit ra, bs Ď R, et soit f :ra, bs Ñ R. On dit que la fonction f est r´egl´ee si

r f admet une limite `a gauche et `a droite en tout point xP sa, br; r f admet une limite `a droite en aet une limite `a gauche en b.

Exemple 1. Toute fonctioncontinue est r´egl´ee ( !) Exemple 2. Toute fonctionmonotone est r´egl´ee.

Exemple 3. Toute fonctionen escalier est r´egl´ee.

3. FONCTIONS R ´EGL ´EES 11

Exemple 4. Soit f : r0,1s Ñ R d´efinie par fp0q “ 0 et fpxq “ sinp1{xq pour 0ăxď1. Alorsf n’est pas r´egl´ee car elle ne poss`ede pas de limite `a droite en 0 (exo).

Th´eor`eme 3.2. Toute fonction r´egl´e peut ˆetre “approch´ee” par des fonctions en escalier. De fa¸con pr´ecise : si f :ra, bs Ñ R est une fonction r´egl´ee, alors, pour tout εą0, on peut trouver une fonction θPEpra, bsq telle que

@tP ra, bs : |θptq ´fptq| ďε.

Exemple. Faire un dessin pour fptq “t.

Preuve du Th´eor`eme 3.2. Supposons f r´egl´ee, et fixons εą0.

On notefpx<sup>`</sup>qetfpx<sup>´</sup>q les limites `a droite et `a gauche def en un pointxP ra, bs.

(Pour simplifier la r´edaction, on pose fpa^´q “fpaq etfpb^{`</sup>q “fpbq.) Par d´efinition, pour tout xP ra, bs, on peut trouver δ<sub>x</sub><sup>´</sup>, δ<sup>`}_x ą0 tels que (˚)

"

|fptq ´fpx^´q| ăε pour tout tP ra, bsv´erifiant x´δ_x^´ătăx,

|fptq ´fpx<sup>`</sup>q| ăε pour tout tP ra, bsv´erifiant xătăx`δ_x<sup>`</sup>. On pose alors V<sub>x</sub> “ sx´δ<sub>x</sub><sup>´</sup>, x`δ_x^`r. Ainsi, p˚q devient

(˚˚)

"

|fptq ´fpx^´q| ăε pour touttPVxX ra, bstel quetăx,

|fptq ´fpx^`q| ăε pour touttPVxX ra, bstel quetąx.

Par le Lemme de Cousin, il existe une subdivision S “ ps0, . . . , s_Nq de ra, bs telle que, pour toutkPJ0, N´1K, on ars_k, s_{k`1</sub>s ĎV<sub>xk</sub> pour un certain pointx<sub>k</sub>P rs<sub>k</sub>, s<sub>k`1}s.

Soit alors θ:ra, bs ÑRla fonction d´efinie comme suit : θptq:“

$

&

%

fptq si t est uns_k ou unx_k,

fpx^´_kq si skătăxk pour un certain k, fpx<sup>`</sup><sub>k</sub>q si x<sub>k</sub>ătăs<sub>k`1</sub> pour un certain k.

La fonction θ est en escalier (micro-exo) ; et elle convient par d´efinition. En effet : si t P ra, bs, alors ou bien t est un s_k ou un t_k, auquel cas θptq “ fptq; ou bien sk ă t ă xk ou xk ă t ă sk`1 pour un certain k, auquel cas t P Vxk et (˚˚) donne

|fptq ´θptq| ăε.

Remarque 3.3. On peut montrer que la r´eciproque de la proposition est vraie : si une fonction f peut ˆetre approch´ee au sens pr´ec´edent par des fonctions en escalier, alors f est r´egl´ee.

Chapitre 2

Int´ egrale sur un segment : th´ eorie “minimale”

1. Int´egrale des fonctions en escalier

Notation. Soit ϕ : ra, bs Ñ R une fonction en escalier, et soit S “ ps₀, . . . , s_Nq une subdivision adapt´ee `a ϕ. Pour k“0, . . . , N´1, on noteI<sub>k</sub> l’intervalle ss<sub>k</sub>, s<sub>k`1</sub>r et α_k la valeur constante deϕsur I_k :

ϕptq ”αk sur Ik“ ssk, sk`1r, 0ďkďN´1.

Avec ces notations, on pose Ipϕ, Sq:“

N´1

ÿ

k“0

α_k|I_k| “

N´1

ÿ

k“0

α_kps_k`1´s_kq.

Lemme 1.1. Si ϕPEpra, bsq, alors Ipϕ, Sq ne d´epend que de ϕ, et pas de la subdi- vision S de ra, bs adapt´ees `a ϕ.

Preuve “g´eom´etrique”. SoitS “ ps0, . . . , sNq une subdivision adapt´ee `aϕ: ϕptq ”α<sub>k</sub> sur I<sub>k</sub>“ ss<sub>k</sub>, s<sub>k`1</sub>r, 0ďkďN´1.

Faire un dessin !

En notant R_k le rectangle bas´e surI_k et de “hauteur” α_k, on a α_k|I_k| “

"

airepR_kq si α_k ě0,

´airepR_kq si α_k ă0.

Donc

Ipϕ, Sq “ ÿ

tk;α_kě0u

airepR_kq ´ ÿ

tk;α_kă0u

airepR_kq “A^`pϕq ´A^´pϕq,

o`u A<sup>`</sup>pϕq est l’aire de la partie du plan situ´ee au dessus de l’axe des abscisses et en dessous du graphe de ϕ, et A^´pϕq est l’aire de la partie du plan situ´ee en dessous de l’axe des abscisses et au dessus du graphe deϕ. Et ceci ne d´epend pas de la subdivision

S.

Exercice. Cette preuve est “malhonnˆete”. Pourquoi ?

Preuve “analytique”. SoientS etS¹ deux subdivisions adpat´ees `aϕ: on veut mon- trer que IpS, ϕq “IpS¹, ϕq.

Ecrivons´ S“ ps₀, . . . , s_NqetS¹“ ps¹₀, . . . , S_M¹ q, de sorte qu’il existe des constantes α0, . . . , αN´1, α¹₀, . . . , α¹_M´1 telles que

ϕptq ”αk sur Ik“ ssk, sk`1r, 0ďkďN ´1, ϕptq ”α<sup>1</sup><sub>l</sub> sur I<sub>l</sub><sup>1</sup> “ ss<sup>1</sup><sub>l</sub>, s<sup>1</sup><sub>l`1</sub>r, 0ďlďM ´1.

13

Fait 1. SikPJ0, N´1K, alors|I_k| “řM´1

l“0 |I_kXI_l¹|; et de mˆeme, silPJ0, M´1K, alors |I_l¹| “ř_N´1

k“0 |I_l¹XI_k|.

Preuve du Fait 1. LesI_kXI_l¹ non vides d´eterminent un d´ecoupage deI_k (faire un dessin). Donc

|Ik| “ ÿ

tl;I¹_lXIk‰Hu

|IkXI_l¹|

“

N´1

ÿ

l“0

|I_kXI_l¹| car|I_kXI_l¹| “0 siI_kXI_l¹ “ H.

Fait 2. Pour toutkPJ0, N´1Ket pour toutlPJ0, M´1K, on a

(˚) α_k|I_kXI_l¹| “α¹_l|I_l¹XI_k|.

Preuve du Fait 2. SiI_kXI_l¹“ H, c’est ´evident car |I_kXI_l¹| “0. SiI_kXI_l¹‰ H et si on choisit t0 PIkXI_l¹, alors αk“ϕpt0q “α¹_l; donc (˚) est vraie aussi.

Montrons maintenant que Ipϕ, Sq “Ipϕ, S¹q. On a Ipϕ, Sq “

N´1

ÿ

k“0

α_k|I_k|

“

N´1

ÿ

k“0

α_k

´^Mÿ^´1

l“0

|I_kXI_l¹|

¯

par le Fait 1

“

M´1ÿ

l“0 N´1

ÿ

k“0

α_k|I_kXI_l¹| (interversion de sommes)

“

M´1

ÿ

l“0 N´1

ÿ

k“0

α¹_l|I_l¹XIk| par le Fait 2

“

M´1

ÿ

l“0

α¹_l

´^N´1ÿ

k“0

|I_l¹XI_k|

¯

“

M´1

ÿ

l“0

α¹_l|I_l¹| par le Fait 1

“Ipϕ, S¹q.

D´efinition1.2. SiϕPEpra, bsq, on poseş_b

aϕ:“Ipϕ, Sq, o`uS est n’importe quelle subdivision de ra, bsadapt´ee `a ϕ. On dit que ş_b

aϕest l’int´egrale de ϕ sur ra, bs.

Redite. SiS “ ps0, . . . , sNq, et siϕptq ”αksurIk“ ssk, sk`1rpourk“0, . . . , N´

1, alors

ż_b

a

ϕ“

N´1

ÿ

k“0

α_k|I_k| “

N´1

ÿ

k“0

α_kps_k`1´s_kq.

1. INT ´EGRALE DES FONCTIONS EN ESCALIER 15

Autres notations. Au lieu de ş_b

aϕ, on peut ´ecrire ş

ra,bsϕ, ou bien ş_b

aϕptqdt, ş_b

aϕpxqdx,ş_b

aϕpuqdu, ... (la variable d’int´egration est “muette”), ou bien ş

ra,bsϕptqdt, ş

ra,bsϕpxqdx,ş

ra,bsϕpuqdu...

Exemple important. Siϕest constante surra, bs,ϕptq ”M, alors ż_b

a

M “Mˆ pb´aq.

Exemple idiot. Sia“b, on a ş_a

aϕ“0.

Signification g´eom´etrique. La preuve “g´eom´etrique” du Lemme1.1a montr´e que si ϕ P Epra, bsq, alors şb

aϕ est l’aire alg´ebrique d´etermin´ee par le graphe de ϕ (entre aetb).

a“s₀ s1 s2 s3 s4 s5 sN´1 s_N “b

şb

aϕ“aire verte´aire jaune

Exercice. Soit ϕ P Epra, bsq, et soit ϕr : ra, bs Ñ R. Montrer que si l’ensemble ttP ra, bs; ϕptq ‰r ϕptquest fini, alorsϕrPEpra, bsqetş_b

aϕr“ş_b

aϕ.

Proposition 1.3. L’int´egrale des fonctions en escalier poss`ede les propri´et´es sui- vantes.

(1) Positivit´e. Si ϕPEpra, bsqet ϕě0, alors ş_b

aϕě0.

(2) Lin´earit´e. Si ϕ, ψPEpra, bsq etλPR, alors żb

a

pϕ`ψq “ żb

a

ϕ` żb

a

ψ et

żb a

pλϕq “λ żb

a

ϕ.

(3) Additivit´e. Si ϕPEpra, bsqet si aďuďb, alors ż_b

a

ϕ“ ż_u

a

ϕ` ż_b

u

ϕ (relation de Chasles).

Remarque. Dans (3), on tient pour acquis le fait que siϕest en escalier surra, bs, alors ses restrictions aux intervalles ra, us et ru, bs sont en escalier (Exercice 2.3 du Chapitre 1). Par ailleurs, on devrait en fait ´ecrire ş_u

aϕ_|ra,us`ş_b

uϕ_|ru,bs; mais on ne le fait pas, pour ne pas alourdir les notations.

Preuve de la proposition. (1) est ´evident (micro-exo).

(2) SoitS “ ps0, . . . , sNq une subdivision adapt´ee `aϕet `aψ :

ϕptq ”α_k et ψptq ”β_k sur I_k“ ss_k, s_k`1r pour k“0, . . . , N´1.

Alors S est adapt´ee `aϕ`ψ etϕ`ψ”αk`βk sur chaque intervalle Ik; donc żb

a

pϕ`ψq “ÿ_N´1

k“0 pα_k`β_kq |I_k| “

N´1

ÿ

k“0

α_k|I_k| `

N´1

ÿ

k“0

β_k|I_k| “ żb

a

ϕ` żb

a

ψ.

La preuve pour ş_b

apλϕq est laiss´ee en exo.

(3) SoitS “ ps0, . . . , sNq une subdivision adapt´ee `aϕ,

ϕptq ”α_k surI_k“ ss_k, s_k`1r pour k“0, . . . , N´1.

Quitte `a rajouter le pointu`aS, on peut supposer queufait partie deS, disonsu“sk0. Alors ps0, . . . , s_k0q est une subdivision de ra, us adapt´ee `a ϕ<sub>|ra,us</sub>, et ps<sub>k0</sub>, . . . , s<sub>N</sub>q est une subdivision de ru, bsadapt´ee `a ϕ_|ru,bs. Donc

ż_u

a

ϕ` ż_b

u

ϕ“

k0´1

ÿ

k“0

αk|Ik| `

N´1

ÿ

k“k0

αk|Ik|

“

N´1

ÿ

k“0

α_k|I_k|

“ ż_b

a

ϕ.

Corollaire 1.4. L’int´egrale est croissante : siϕ, ψ PEpra, bsq et si ϕďψ (i.e.

ϕptq ďψptq pour tout tP ra, bs), alorsşb aϕďşb

aψ.

D´emonstration. On a ψ“ϕ` pψ´ϕq etψ´ϕě0. Commeψ´ϕPEpra, bsq, on en d´eduit, par lin´earit´e et positivit´e :

ż_b

a

ψ“ ż_b

a

ϕ` ż_b

a

pψ´ϕq ě ż_b

a

ϕ.

Corollaire 1.5. Si ϕP Epra, bsq et ϕ ě0 sur ra, bs, alors ş_v

uϕďş_b

aϕ pour tout sous-intervalle ru, vs Ď ra, bs.

D´emonstration. Par Chasles et positivit´e : ż_b

a

ϕ“ ż_u

a

ϕ` ż_v

u

ϕ` ż_b

v

ϕě ż_v

u

ϕ.

2. FONCTIONS INT ´EGRABLES AU SENS DE RIEMANN 17

2. Fonctions int´egrables au sens de Riemann 2.1. D´efinitions.

Notation. Sif etg sont des fonctions surra, bs, `a valeurs r´eelles, on ´ecriraf ďg pour signifier que fptq ďgptqpour touttP ra, bs:

f ďg ðñ @tP ra, bs : fptq ďgptq.

Rappel. Une fonction f :ra, bs ÑR est diteborn´ee s’il existe une constante M telle que

@tP ra, bs : |fptq| ďM.

Point cl´e :M ne doit pas d´ependre detP ra, bs.

Reformulation. Une fonctionf :ra, bs ÑRest born´ee si et seulement si il existe deux constantes C1 etC2 telles que

C1 ďfptq ďC2 pour touttP ra, bs.

D´emonstration. Exo.

Exemple 1. Toute fonction en escalier est born´ee.

D´emonstration. SiϕPEpra, bsq, alors ϕne prend qu’un nombre fini de valeurs. En notantC1 la plus petite de ces valeurs etC2 la plus grande, on aC1 ďϕptq ďC2 pour

tout tP ra, bs.

Exemple 2. Toute fonctioncontinue f :ra, bs ÑRest born´ee.

D´emonstration. C’est un th´eor`eme connu (et non trivial).

Exemple 3. Toute fonctionmonotone f :ra, bs ÑRest born´ee.

D´emonstration. Si par exemplef est croissante, alorsfpaq ďfptq ďfpbqpour tout

tP ra, bs.

Exemple 4. Soit α ą0. La fonction f :r0,1s Ñ R d´efinie par fp0q “6 et fptq “ 1{t^α pour 0ătď1 n’est pas born´ee, carfptq Ñ 8 quand tÑ0^`.

Exercice 2.1. En utilisant le Th´eor`eme 3.2 du Chapitre 1, montrer que toute fonction r´egl´eef :ra, bs ÑRest born´ee.

Remarque. Sif :ra, bs ÑRest born´ee, alors r l’ensemble Ipfq “

!ş_b

aϕ; ϕPEpra, bsq, ϕďf )

estnon vide et major´e; r l’ensemble Ipfq “

!şb

aϕ; ψPEpra, bsq, ψěf )

estnon vide et minor´e D´emonstration. Soient C1 et C2 deux constantes telles que C1 ď f ď C2. La fonction constante ϕ“C1 est en escalier ( !) et v´erifieϕěf, donc l’ensemble Ipfqest non vide. Si ϕPEpra, bsqv´erifieϕďf, alorsϕďC₂ et doncş_b

aϕďş_b

aC₂ “C₂pb´aq, qui est une constante ind´ependante de ϕ. Donc Ipfq est major´e par C2pb´aq. On montre de mˆeme queIpfq est non vide et minor´e par C1pb´aq.

D´efinition 2.2. Pour toute fonction born´ee f :ra, bs ÑR, on pose ż_b

a

f :“sup

!ż_b

a

ϕ; ϕPEpra, bsq, ϕďf )

et

ż_b

a

f :“inf

!ż_b

a

ϕ; ψPEpra, bsq, ψěf )

. On dit que ş_b

af est l’int´egrale inf´erieuredef sur ra, bs, et que ş_b

af est l’int´egrale sup´erieure def sur ra, bs.

Fait 2.3. On a toujours ş_b

af ď ş_b

af. Plus pr´ecis´ement : (˚)

żb a

ϕď żb

a

f ď żb

a

f ď żb

a

ψ pour toutes ϕ, ψPEpra, bsq v´erifiantϕďf ďψ.

D´emonstration. Par croissance de l’int´egrale des fonctions en escalier, si ϕ, ψ P Epra, bsq v´erifient ϕďf ď ψ, alors ş_b

aϕďş_b

aψ. En fixant ψ et en prenant le “sup en ϕ”, on en d´eduit ş_b

af ďş_b

aψpour touteψPEpra, bsqtelle queψěf; d’o`u ş_b

af ď ş_b

af en prenant maintenant l’“inf en ψ”.

Fait 2.4. Si f :ra, bs ÑRest en escalier, alors ş_b

af “ş_b

af “ ş_b

af.

D´emonstration. On peut prendreϕ“f “ψ dansp˚q.

D´efinition 2.5. Soit f : ra, bs Ñ R. On dit que f est int´egrable au sens de Riemann sur ra, bs sif est born´ee et si on a ş_b

af “ ş_b

af. Dans ce cas, on note ş_b

af cette valeur commune, et on dit que ş_b

af est l’int´egrale de f sur ra, bs. On a ainsi ż_b

a

f “ ż_b

a

f “ ż_b

a

f.

Autres notations. Au lieu de ş_b

af, on peut ´ecrire ş

ra,bsf; ou bien ş_b

afptqdt, ş_b

afpxqdx,ş_b

afpuqdu... ; ou bien ş

ra,bsfptqdt,ş

ra,bsfpxqdx,ş

ra,bsfpuqdu ...

Remarque 1. Au lieu de “int´egrable au sens de Riemann”, on ´ecrira souvent “(R)- int´egrable”, ou mˆeme seulement “int´egrable”.

Remarque 2. Toute fonction en escalier est int´egrable au sens de Riemann.

D´emonstration. C’est le Fait2.4.

Remarque idiote. Si a “ b, alors toute fonction f : ra, as Ñ R est int´egrable sur ra, as, avec ş_a

af “0.

Interpr´etation g´eom´etrique. Si une fonction f : ra, bs Ñ R est int´egrable sur ra, bs, alorsş_b

af s’interpr`ete comme l’“aire alg´ebrique d´etermin´ee par le graphe de f” (entre a et b). C’est une intuition utile, qui permet parfois de deviner la valeur d’une int´egrale sans faire aucun calcul ; mais cela ne peut pas constituer une fondation rigoureuse de la th´eorie, car on n’a pas donn´e de d´efinition pr´ecise de ce qu’est l’aire d’une partie “quelconque” du plan.

2. FONCTIONS INT ´EGRABLES AU SENS DE RIEMANN 19

a b

ş_b

af “aire verte´aire jaune

Exercice 2.6. Utiliser l’interpr´etation g´eom´etrique de l’int´egrale pour calculer ş_b

at dt. (Distinguer les cas “aet bde mˆeme signe” et “aă0ăb”.)

2.2. Exemples et contre-exemples. Le th´eor`eme suivant donne une vaste classe de fonctions int´egrables.

Th´eor`eme 2.7. Toute fonction r´egl´ee f : ra, bs Ñ R est int´egrable au sens de Riemann sur ra, bs. En particulier :

r toute fonction continuesur ra, bs est(R)-int´egrable surra, bs; r toute fonction monotonesur ra, bs est(R)-int´egrable surra, bs.

D´emonstration. Soit f :ra, bs ÑR une fonction r´egl´ee. D’apr`es l’Exercice 2.1, on sait d´ej`a quef est born´ee. Il s’agit de voir que şb

af “ şb af.

Soitεą0 quelconque. Commef est r´egl´ee, on sait qu’on peut trouver une fonction en escalier θtelle que

@tP ra, bs : |θptq ´fptq| ďε.

On a alors

θ´ε loomoon

ϕ

ďf ď θ`ε loomoon

ψ

.

Comme les fonctions ϕetψ sont en escalier, on en d´eduit que ż_b

a

pθ´εq ď ż_b

a

f ď ż_b

a

f ď ż_b

a

pθ`εq.

Donc

0ď ż_b

a

f´ ż_b

a

f ď ż_b

a

pθ`εq ´ ż_b

a

pθ´εq “ ż_b

a

2ε“2εpb´aq.

Ceci ´etant vraipour tout εą0, on a donc ş_b

af “ ş_b

af.

Contre-exemple 1. Soit α ą 0, et soit f : r0,1s Ñ R d´efinie par fp0q “ 6 et fptq “1{t^α pour 0 ăt ď 1. Alors f n’est pas (R)-int´egrable sur r0,1s, car elle n’est pas born´ee.

Contre-exemple 2. Soit 1_Q : R Ñ R la fonction fonction indicatrice des rationnels, qui est d´efinie par

1_Qptq “

"

1 sitPQ 0 sitRQ

Alors 1_Q n’est (R)-int´egrable sur aucun intervalle ra, bsnon trivial.

D´emonstration. Soit ϕ : ra, bs Ñ R une fonction en escalier quelconque telle que ϕď1_Q surra, bs, et soitS“ ps₀, . . . , s_Nqune subdivision adapt´ee `a ϕ,

ϕptq ”α_k surI_k “ ss_k, s_k`1r.

Pour tout kPJ0, N´1K, l’intervalle ouvertI_kcontient au moins unirrationnel t_k. On a donc α_k“ϕpt_kq ď1_Qpt_kq “0, pourk“0, . . . , N´1 ; et donc

żb a

ϕ“

N´1

ÿ

k“0

α_k|I_k| ď0ˆ

N´1

ÿ

k“0

|I_k| “0ˆ pb´aq “0.

Ceci ´etant vrai pour toute ϕPEpra, bsq v´erifiant ϕď1_Q, on en d´eduit que ż_b

a

1_Q ď0ˆ pb´aq “0.

En utilisant le fait que tout intervalle ouvert I ‰ H contient au moins un rationnel, on montre de la mˆeme fa¸con (exo) que

ż_b

a

1_Qě1ˆ pb´aq “b´a.

Donc ş_b

a1_Q‰ ş_b

a1_Q puisqueaăb.

2.3. Reformulations de la d´efinition.

Lemme 2.8. Pour une fonction f : ra, bs Ñ R, les propri´et´es suivantes sont

´

equivalentes.

(1) f estpRq-int´egrable sur ra, bs.

(2) Pour tout εą0, on peut trouver deux fonctions en escalier ϕ et ψ telles que ϕďf ďψ et

ż_b

a

pψ´ϕq ďε.

(3) Il existe deux suites pϕ_nq et pψ_nq de fonctions en escalier telles que ϕnďf ďψn pour tout nPN et

ż_b

a

pψn´ϕnqÝÝÝÑ^nÑ8 0.

2. FONCTIONS INT ´EGRABLES AU SENS DE RIEMANN 21

De plus, si pϕ_nq et pψ_nq sont comme dans (3), on a ż_b

a

fptqdt“ lim

nÑ8

ż_b

a

ϕ_n“ lim

nÑ8

ż_b

a

ψ_n.

D´emonstration. p1q ùñ p2q. Supposons que f soit (R)-int´egrable sur ra, bs, et fixons ε ą 0. Par d´efinition de ş_b

af, le nombre ş_b

af ´ε{2 n’est pas un majorant de l’ensemble ş_b

aϕ; ϕPEpra, bsq, ϕďf(

; autrement dit, on peut trouver ϕPEpra, bsq telle que

ϕďf et

ż_b

a

ϕą ż_b

a

f ´ε{2.

De mˆeme, on peut trouverψPEpra, bsq telle que ψěf et

ż_b

a

ψă ż_b

a

f`ε{2.

Comme ş_b

af “ş_b

af “ ş_b

af (par hypoth`ese sur f), on a alors ż_b

a

pψ´ϕq “ ż_b

a

ψ´ ż_b

a

ϕď ˆż_b

a

f `ε{2

˙

´ ˆż_b

a

f ´ε{2

˙

“2ε{2“ε;

et donc (2) est v´erifi´ee puisqueϕďf ďψ.

p2q ùñ p3q. Supposons (2) v´erifi´ee. Alors, pour tout nPN, on peut trouver des fonctions en escalier ϕn etψn telles que

ϕ_nďf ďψ_n et

ż_b

a

pψ_n´ϕ_nq ďε_n:“2^´n. Donc (3) est v´erifi´ee.

p3q ùñ p1q. Soient pϕ_nq et pψ_nq v´erifiant (3). Comme ϕ₀ ď f ď ψ₀ et comme les fonctions ϕ0 etψ0 sont born´ees, on voit que f est born´ee (micro-exo). Pour tout nPN, on a

ż_b

a

ϕnď ż_b

a

f ď ż_b

a

f ď ż_b

a

ψn. Comme şb

aψn´şb

aϕn“şb

apψn´ϕnq Ñ 0, on en d´eduit (exo) que şb

af “ şb

af et que les deux suite `ş_b

aϕ_n˘ et `ş_b

aψ_n˘

convergent toutes les deux vers ş_b

af “ ş_b

af. Donc f est (R)-int´egrable sur ra, bsetşb

afptqdt“limnÑ8

şb

aϕn“limnÑ8

şb

aψn.

Remarque 1. Sipϕ_nq etpψ_nq sont comme dans (3), on dit que la suite pϕ_n, ψ_nq est une suite approximante pourf.

Remarque 2. Sif est (R)-int´egrable surra, bset si C1 etC2 sont deux constantes telles queC₁ ďf ďC₂, alors on peut trouver une suite approximante pϕ_n, ψ_nq pourf telle que C1 ďϕn ďf ďψn ďC2. De mˆeme, pourεą0 donn´e, les fonctions ϕet ψ de (2) peuvent ˆetre choisies telles queC₁ ďϕďf ďψďC₂.

D´emonstration. Soit pϕĂn,ψĂnq une suite approximante quelconque pour f. Si on pose ϕn“ maxpC1,ϕĂnptqq etψnptq “minpC2,ψĂnptqq, alors C1 ďϕn ďf ďψn ďC2. De plus,ψ_n´ϕ_nďψĂ_n´ϕĂ_n carψ_nďψĂ_netϕ_něϕĂ_n, doncş_b

apψ_n´ϕ_nq ďş_b

apψĂ_n´ϕĂ_nq et donc ş_b

apψ_n´ϕ_nq Ñ0. Ainsi, la suitepϕ_n, ψ_nq convient. Mˆeme preuve pour la 2`eme

partie de la remarque.

Voici une variante du Lemme 2.8qui a ´egalement son utilit´e.

Lemme 2.9. Une fonction born´ee f :ra, bs ÑR est (R)-int´egrable sur ra, bs si et seulement si la propri´et´e suivante est satisfaite :

(2’) Pour tout εą0, on peut trouver deux fonctions en escalier θ et e telles que

|θ´f| ďe et

żb a

eďε.

De plus, si M est une constante telle que |f| ď M, alors on peut imposer que la fonction θ de (2’) v´erifie ´egalement |θ| ďM.

D´emonstration. Supposons f int´egrable, et soit εą0. Par le Lemme2.8, on peut trouverϕ, ψPEpra, bsqtelles que ϕďf ďψetş_b

apψ´ϕq ďε. Alors|ϕ´f| ďψ´ϕet ş_b

apψ´ϕq ďε, donc (2’) est satisfaite avecθ:“ϕ ete:“ψ´ϕ. De plus, si |f| ďM, i.e. ´M ďf ďM, on a vu (Remarque 2 apr`es le Lemme 2.8) qu’on peut imposer `a θ“ϕ de v´erifier ´egalement ´M ďθďM,i.e.|θ| ďM.

Inversement, supposons (2’) v´erifi´ee. Soit ε ą 0 quelconque. Par (2’), on peut trouver θ,ePEpra, bsqtelles que|θ´f| ďeetş_b

aeďε{2. Alors θ´e

loomoon

ϕ

ďf ď θ`e loomoon

ψ

et

żb a

pψ´ϕq “ żb

a

2eď2ε{2“ε.

Donc f est int´egrable sur ra, bsd’apr`es le Lemme2.8.

Exercice. Utiliser le Lemme2.9pour montrer que toute fonction r´egl´eef :ra, bs Ñ R est int´egrable au sens de Riemann surra, bs.

2.4. Propri´et´es de l’int´egrale.

Notation. On note Rpra, bsq l’ensemble de toutes les fonctions f : ra, bs Ñ R int´egrables au sens de Riemann sur ra, bs.

Th´eor`eme 2.10. L’int´egrale poss`ede les propri´et´es suivantes.

(1) Positivit´e. Si f PRpra, bsq et si f ě0, alors ş_b

af ě0.

(2) Lin´earit´e. Si f, g P Rpra, bsq et λ P R, alors f `g et λf sont int´egrables, avec ş_b

apf `gq “ş_b

af`ş_b

ag etş_b

apλfq “λş_b

af.

(3) Additivit´e. Soit u tel que a ď u ď b, et soit f : ra, bs Ñ R. Alors f est int´egrable surra, bssi et seulement si elle est int´egrable surra, uset surru, bs, et dans ce cas on a ş_b

af “ş_u

af `ş_b

uf (relation de Chasles).

D´emonstration. (1) C’est ´evident : si f ě0, alorsşb

af “ şb af ěşb

a0“0 puisque 0 est une fonction en escalier minorant f.

(2) (i) Montrons que f `g PRpra, bsq et ş_b

apf `gq “ş_b

af`ş_b

ag. Soit pϕ_n,1, ψ_n,1q une suite approximante pour f, et pϕn,2, ψn,2q une suite approximante pour g. Si on pose

ϕn:“ϕn,1`ϕn,2 et ψn:“ψn,1`ψn,2, alors

ϕnďf `gďψn pour toutnPN;

2. FONCTIONS INT ´EGRABLES AU SENS DE RIEMANN 23

et par lin´earit´e de l’int´egrale pour les fonctions en escalier : ż_b

a

pψ_n´ϕ_nq “ ż_b

a

`pψ<sub>n,1</sub>´ϕ<sub>n,1</sub>q ` pψ_n,2´ϕ_n,2q˘

“ ż_b

a

pψ_n,1´ϕ_n,1q ` ż_b

a

pψ_n,2´ϕ_n,2qÝÝÝÑ^nÑ8 0.

Par le Lemme 2.8, on en d´eduit quef`gest (R)-int´egrable sur ra, bset que pϕn, ψnq est une suite approximante pour f`g. De plus,

ż_b

a

pf`gq “ lim

nÑ8

ż_b

a

ϕ_n

“ lim

nÑ8

ż_b

a

pϕ_n,1`ϕ_n,2q

“ lim

nÑ8

ˆż_b

a

ϕ_n,1` ż_b

a

ϕ_n,2

˙

par lin´earit´e de ş_b

a sur Epra, bsq

“ ż_b

a

f ` ż_b

a

g puisque ş_b

aϕ_n,1 Ñş_b

af etş_b

aϕ_n,2 Ñş_b

ag.

(ii) On montre de mˆeme que si f P Rpra, bsq et λ P R, alors λf P Rpra, bsq avec ş_b

apλfq “λş_b

af. Les d´etails sont laiss´es enexo. (Ce n’est pas totalement imm´ediat : Il faut distinguer les cas λě0 etλă0.)

(3) Supposons que f soit (R)-int´egrable sur ra, bs, et soit pϕ_n, ψ_nq une suite ap- proximante pour f. Alors les ϕn et les ψn sont en escalier sur ra, us, avec ϕn ď f ď ψ_n sur ra, us. De plus ş_u

apψ_n ´ ϕ_nq ď ş_b

apψ_n ´ϕ_nq car ψ_n ´ϕ_n ě 0, donc ş_u

apψ_n´ϕ_nq Ñ0. Par le Lemme 2.8, on en d´eduit quef est (R)-int´egrable surra, us, avec şu

af “ limnÑ8

şu

aϕn “ limnÑ8

şu

aψn. De mˆeme, f est (R)-int´egrable sur ru, bs avec şb

uf “limnÑ8

şb

uϕn“limnÑ8

şb

uψn. Enfin, ż_u

a

f ` ż_b

u

f “ lim

nÑ8

ż_u

a

ϕn` lim

nÑ8

ż_b

u

ϕn

“ lim

nÑ8

ˆż_u

a

ϕn` ż_b

u

ϕn

˙

“ lim

nÑ8

ż_b

a

ϕ_n par Chasles pourEpra, bsq

“ ż_b

a

f.

Inversement, supposons quef soit int´egrable surra, uset surru, bs. Soitpϕn,1, ψn,1q une suite approximante pour f sur ra, us et pϕ_n,2, ψ_n,2q une suite approximante pour f surru, bs:

"

ϕ_n,1 ďf ďψ_n,1 sur ra, us et ş_u

apψ_n,1´ϕ_n,1q Ñ0 ϕn,2 ďf ďψn,2 surru, bs et ş_b

upψn,2´ϕn,2q Ñ0 Pour nPN, soient ϕ_n, ψ_n:ra, bs ÑR les fonctions d´efinies par

"

ϕ_n“ϕ_n,1 surra, us et ϕ_n“ϕ_n,2 sursu, bs ψn“ψn,1 surra, us et ψn“ψn,2 sursu, bs

Les fonctions ϕ_netψ_nsont en escalier (micro-exo), et on aϕ_nďf ďψ_n surra, bspar d´efinition. De plus

ż_b

a

pψ_n´ϕ_nq “ ż_u

a

pψ_n´ϕ_nq ` ż_b

u

pψ_n´ϕ_nq par Chasles pourEpra, bsq

“ ż_u

a

pψ_n,1´ϕ_n,1q ` ż_b

u

pψ_n,2´ϕ_n,2q par d´efinition deϕ_n etψ_n ÝÝÝÑnÑ8 0.

Doncf est (R)-int´egrable surra, bsetpϕn, ψnqest une suite approximante pourf. Remarque. La propri´et´e (2) signifie queRpra, bsqest unespace vectorielet que l’application f ÞÑş_b

af est une forme lin´eaire surRpra, bsq.

Corollaire 2.11. L’int´egrale est croissante : si f, g PRpra, bsq et f ďg, alors ş_b

af ďş_b

ag.

D´emonstration. Identique `a celle donn´ee pour les fonctions en escalier (cf Corol-

laire 1.4).

Corollaire 2.12. Si f P Rpra, bsq, alors la fonction |f| est (R)-int´egrable sur ra, bs, et on a

ˇ ˇ ˇ ˇ

ż_b

a

fptqdt ˇ ˇ ˇ ˇď

ż_b

a

|fptq|dt.

D´emonstration. (i) Int´egrabilit´e de |f|. Soit ε ą 0 donn´e. Comme f est (R)- int´egrable sur ra, bs, le Lemme 2.9 permet de trouver deux fonctions θ0,e P Epra, bsq telles que

|θ0´f| ďe et

żb a

eďε.

D’apr`es l’in´egalit´e triangulaire, on a ˇ

ˇ|f| ´ |θ₀|ˇ

ˇď |f ´θ₀|; donc ˇ

ˇ|θ₀| ´ |f|ˇ

ˇďe et

ż_b

a

eďε.

Comme θ :“ |θ₀| PEpra, bsq, on en d´eduit que |f|est (R)-int´egrable sur ra, bs d’apr`es le Lemme 2.9.

(ii) Majoration.Comme´|f| ďf ď |f|, on a (par croissance et lin´earit´e)

´ ż_b

a

|f|“ ż_b

a

p´|f|q ď ż_b

a

f ď ż_b

a

|f|;

d’o`u le r´esultat.

Corollaire 2.13. Si f est int´egrable sur ra, bset si M est une constante telle que

@tP ra, bs : |fptq| ďM, alors ˇ ˇ ˇ ş_b

afptqdt ˇ ˇ

ˇďMpb´aq.

D´emonstration. On a ˇ ˇ ˇ ş_b

afptqdt ˇ ˇ ˇďş_b

a|fptq|dtďş_b

aM “Mpb´aq.

Corollaire 2.14. Sif est une fonction int´egrable surra, bs, alorsf est int´egrable sur tout sous-intervalle ru, vs Ď ra, bs.