1. Vocabulaire g´eom´etrique 1.1. Segments.
Notations. Siu, vPR, on note ru, vsl’intervalle ferm´e d’extr´emit´es u etv. SiA et B sont deux points de R2, on noterA, Bsle segment d’extr´emit´esA etB.
Lemme 1.1. (param´etrisation) (1) Soient u, vPR. Si xPR, alors
xP ru, vs ðñ DλP r0,1s : x“ p1´λqu`λv.
(2) Soient A“ pxA, yAq et B “ pxB, yBq deux points de R2. Si M “ pxM, yMq P R2, alors
M P rA, Bs ðñ DλP r0,1s : ÝÝÑ
AM “λÝÝÑ AB ðñ DλP r0,1s :
xM “ p1´λqxA`λxB et yM “ p1´λqyA`λyB. D´emonstration. (2) Par d´efinition :
M P rA, Bs ðñ DλP r0,1s : ÝÝÑAM “λÝABÝÑ (faire un dessin)
ðñ DλP r0,1s :xM´xA“λpxB´xAq et yM ´yA“λpyB´yAq ðñ ce qu’on veut.
(1) On applique (2) aux points A:“ pu,0q,B :“ pv,0q etM :“ px,0q.
Remarque. Dans (2), c’est lemˆeme λP r0,1spour xM et pour yM. 1.2. Au dessus, en dessous.
D´efinition 1.2. Soit E une partie de R2, et soit M PR2. On dit que M est au dessus de E si
r la droite verticale DM passant par M rencontre E, i.e. il existe au moins 1 point de E ayant la mˆeme abscisse que M;
r M est au dessus de tous les points de DM XE, i.e. l’ordonn´ee de M est sup´erieure ou ´egale a l’ordonn´ee de tout point de E ayant la mˆeme abscisse que M.
De mˆeme, on dit queM esten dessous de E siDMXE ‰ Het si M est en dessous de tous les points de DM XE.
Faire un dessin
75
Exemple. Soit f : I Ñ R o`u I est un intervalle de R, et soit M “ px, yq P R2. Alors
M est au dessus de graphe de f ðñ `
xPI et yěfpxq˘ , et M est en dessous de graphe def ðñ `
xPI etyďfpxq˘
Lemme 1.3. Soit ∆une droite non verticale deR2, et soient A, BPR2. SiAet B sont au dessus de ∆, alors tous les points derA, Bssont au dessus de ∆.
∆ A
B
D´emonstration. Soit M un point quelconque de rA, Bs. Notons A1, B1 et M1 les point de ∆ ayant mˆemes abscisses que A,B etM (ces points existent et sont uniques puisque ∆ est une droite non verticale ;faire un dessin). CommeAetB sont au dessus de ∆, on sait que yA ěyA1 et yB ě yB1. De plus, comme M P rA, Bs, on sait qu’on peut ´ecrire
xM “ p1´λqxA`λxB et yM “ p1´λqyA`λyB pour un certain λP r0,1s. De mani`ere ´equivalente,
ÝÝÑAM “λÝÝÑ AB.
D’apr`es le Th´eor`eme de Thal`es, on a ÝÝÝÑ
A1M1 “ λÝÝÑ
A1B1 pour le mˆeme λ. Donc yM1 “ p1´λqyA1`λyB1; et commeλet 1´λsontě0, on en d´eduit queyM1 ď p1´λqyA`λyB“
yM. DoncM est au dessus de ∆.
2. Fonctions convexes, fonctions concaves Dans ce qui suit, I est un intervalle deR. 2.1. D´efinitions g´eom´etriques.
Notation. Pour toute fonction f :I ÑR, on noteGf le graphe def : Gf “ px, fpxqq; xPI(
. D´efinition 2.1. Soitf :I ÑR.
(1) On dit que la fonctionf estconvexe sur I si “le graphe de f est en dessous de toutes ses cordes” ; autrement dit : si, pour tous A, B P Gf, le segment rA, Bs est au dessus de Gf.
I
Gf
2. FONCTIONS CONVEXES, FONCTIONS CONCAVES 77
(2) On dit que f est concave si, pour tous A, B PGf, le segment rA, Bs est en dessous de Gf.
I
Gf
Reformulation.
(1) La fonctionf est convexe si et seulement si
@A, M, BPGf avec xM P rxA, xBs, le pointM est en dessous derA, Bs.
(2) La fonctionf est concave si et seulement si
@A, M, BPGf avecxM P rxA, xBs, le pointM est au dessus de rA, Bs.
Remarque 1. On a l’´equivalence (f convexe) ðñ (´f concave).
D´emonstration. Les graphes de f et de ´f sont sym´etriques par rapport `a l’axe des abscisses ; et quand on effectue cette sym´etrie, “au dessus” devient “en dessous”
et vice versa
Remarque 2. “En dessous” et “au dessus” sont pris au sens large : si on est sur le segmentrA, Bs(ou surGf), on est `a la fois au dessus et en dessous, et r´eciproquement.
Attention. Pour v´erifier qu’une fonctionf est convexe ou concave, il faut regarder tous les segmentsrA, Bsavec A, BPGf.
Fonction ni convexe ni concave
Exemple 1. Les fonctionsxÞÑx2 etxÞÑ |x|sont convexes sur R.
D´emonstration. C’est clair g´eom´etriquement (faire les dessins). On donnera une
preuve d´etaill´ee un peu plus tard.
Exemple 2. Une fonctionf :I ÑRest `a la fois convexe et concave si et seulement si elle est affine,i.e.de la formefpxq “ax`b.
D´emonstration. Par d´efinition,
f convexe et concave ðñ @A, B, M PGf avec xAďxM ďxB,
le pointM est en dessous et au dessus de rA, Bs ðñ @A, B, M PGf avec xAďxM ďxB, on a M P rA, Bs ðñ 3 points quelconques de Gf sont toujours align´es ðñ Gf est contenu dans une droite
ðñ f est affine.
2.2. Reformulations analytiques. La d´efinition g´eom´etrique de la convexit´e n’est pas toujours tr`es manipulable en pratique. Fort heureusement, elle se reformule
“analytiquement” de fa¸con tr`es simple :
Proposition 2.2. Une fonction f :I ÑR est convexe si et seulement si (2.1) @u, vPI @λP r0,1s : f`
p1´λqu`λv˘
ď p1´λqfpuq `λfpvq.
D´emonstration. Supposons f convexe, et montrons (2.1). Soient u, v P I et λ P r0,1s. Par le Lemme 1.1appliqu´e avec A“ pu, fpuqqetB “ pv, fpvqq, le point
Mλ :“ pp1´λqu`λv,p1´λqfpuq `λfpvqq
appartient au segmentrA, Bs. CommeA, BPGf et commef est convexe,Mλ est donc au dessus de Gf, autrement dityMλěfpxMλq, ou encore
p1´λqfpuq `λfpvq ěfpp1´λqu`λvq.
Inversement, supposons (2.1) v´erifi´ee. SoientA, BPGf, et soitM “ px, yqun point quelconque du segment rA, Bs. ´Ecrivons A “ pu, fpuqq etB “ pv, fpvqqavec u, vPI. Par le Lemme 1.1, on a
x“ p1´λqu`λv et y“ p1´λqfpuq `λfpvq
pour un certain λP r0,1s. D’apr`es (2.1), on a doncyěfpxq; autrement ditM est au
dessus de Gf.
Corollaire 2.3. Une fonction f :I ÑR est concave si et seulement si
@u, vPI @λP r0,1s : f`
p1´λqu`λv˘
ě p1´λqfpuq `λfpvq.
D´emonstration. C’est ´evident puisque (f concave) ðñ (´f convexe).
Remarque 1. Pour montrer qu’une fonctionf est convexe, il suffit de v´erifier (2.1) pour u, v tels queuăv et pour 0ăλă1.
D´emonstration. Si u“v ou λ“0 ou λ“1, alors (2.1) est satisfaite, avec mˆeme
´
egalit´e (exo). Donc il suffit de v´erifier (2.1) pour 0ăλă1 etu ‰v; etpar sym´etrie
(uØv etλØ1´λ) on peut supposer que uăv.
Remarque 2. On dit qu’une fonctionf :I ÑRest strictement convexesi
@u‰v dansI @λPs0,1r :f`
p1´λqu`λv˘
ăp1´λqfpuq `λfpvq.
2. FONCTIONS CONVEXES, FONCTIONS CONCAVES 79
Exemple. Montrons que les fonctions tÞÑ |t|ettÞÑt2 sont convexes.
rPourtÞÑ |t|: si u, vPR etλP r0,1s, alors
|p1´λqu`λv| ď |p1´λqu| ` |λv|
“ p1´λq |u| `λ|v| car λě0 et 1´λě0.
rPourtÞÑt2 : si u, vPR etλP r0,1s, alors
´
p1´λqu`λv
¯2
´
´
p1´λqu2`λv2
¯
“ p1´λq2u2`2λp1´λquv`λ2v2´
´
p1´λqu2`λv2
¯
“ p1´λqpp1´λq ´1qu2`2λp1´λquv`λpλ´1qv2
“ ´λp1´λq`
u2´2uv`v2˘
“ ´λp1´λqpu´vq2 ď0.
Donc on a l’in´egalit´e souhait´ee :`
p1´λqu`λv˘2
ď p1´λqu2`λv2. Corollaire 2.4. (propri´et´es de stabilit´e)
(i) Si f1, . . . , fn sont des fonctions convexes sur I et si α1, . . . , αnPR`, alors la fonction f “α1f1` ¨ ¨ ¨ `αnfn est convexe.
(ii) Si pfkqkPK est une famille de fonctions convexes sur I telle que fptq :“
supkPKfkptq est bien d´efini pour tout t PI, alors la fonction f “supkPKfk est convexe.
(iii) Si f :I Ñ R est convexe et si φ est une fonction convexe croissante sur un intervalleJ contenant fpIq, alors la fonction g d´efinie par gptq “φpfptqq est convexe.
D´emonstration. (i) Exo.
(ii) Si u, vPI etλP r0,1s, alors
@kPK : fk`
p1´λqu`λv˘
ď p1´λqfkpuq `λfkpvq car lesfk sont convexes.
Commef ěfk pour toutk et commeλet 1´λsontě0, on en d´eduit
@kPK : fk`
p1´λqu`λv˘
ď p1´λqfpuq `λfpvq;
et donc f`
p1´λqu`λv˘
“sup
kPK
fk`
p1´λqu`λv˘
ď p1´λqfpuq `λfpvq.
(iii) Si u, vPI etλP r0,1s, alors g`
p1´λqu`λv˘
“φ
´ f`
p1´λqu`λv˘¯ ďφ
´
p1´λqfpuq `λfpvq
¯
car f est convexe etφ est croissante ď p1´λqφpfpuqq `λφpfpvqq carφest convexe
“ p1´λqgpuq `λgpvq.
Exercice. Montrer que la fonction t ÞÑ t4 est convexe sur R. Plus g´en´eralement, montrer que pour toutkPN, la fonctiontÞÑt2k est convexe.
2.3. In´egalit´e de Jensen discr`ete.
Remarque. Soit I un intervalle de R. Si x1, . . . , xn PI et si λ1, . . . , λn sont des nombres ě0 v´erifiant řn
i“1λi “1, alors řn
i“1λixi PI.
D´emonstration. Supposons par exemple que I soit de la forme ra, bs. On a ainsi aďxi ďbpour touti, et doncλiaďλixi ďλibcarλiě0. En sommant ces in´egalit´es ce qui est la formulation analytique de la convexit´e.
Preuve de la proposition. On proc`ede par r´ecurrence surn.
Pour n “ 1, le r´esultat est clair : si x1 P I et λ1 “ 1, alors fpλ1x1q “ fpx1q “ λ1fpx1q!
Supposons le r´esultat ´etabli pour un certain n ě 1, et montrons le pour n`1.
Soient x1, . . . , xn`1PI etλ1. . . λn`1 ě0 tels queřn`1
Suposons queřn
i“1λi ą0, et posons s:“řn
Par hypoth`ese de r´ecurrence, on a donc f
2. FONCTIONS CONVEXES, FONCTIONS CONCAVES 81
De plus,
n`1
ÿ
i“1
λixi“
n
ÿ
i“1
sµixi`λn`1xn`1
“s
n
ÿ
i“1
µixi` p1´sqxn`1. Commef est convexe, on en d´eduit
f
˜n`1 ÿ
i“1
λixi
¸ ďs f
˜ n ÿ
i“1
µixi
¸
` p1´sqfpxn`1q ďs
n
ÿ
i“1
µifpxiq ` p1´sqfpxn`1q
“
n
ÿ
i“1
psµiq loomoon
λi
fpxiq `λn`1fpxn`1q
“
n`1ÿ
i“1
λifpxiq.
2.4. In´egalit´e des 3 pentes. Le lemme suivant joue un rˆole essentiel dans toutes les preuves `a venir.
Lemme 2.6. Soit f :I ÑR une fonction convexe. Pour tous u, v, w PI v´erifiant uăwăv, on a
fpwq ´fpuq
w´u ď fpvq ´fpuq
v´u ď fpvq ´fpwq v´w ¨
u w v
pente bleueďpente verteďpente rouge Gf
D´emonstration. Soient A “ pu, fpuqq, B “ pv, fpvqq et M “ pw, fpwqq les points de Gf d’abscisses u, v et w. Comme f est convexe, le point M est en dessous du segment rA, Bs. Donc, le segment rA, Ms joint un point situ´e sur rA, Bs `a un point situ´e en dessous de rA, Bs. Comme on se d´eplace vers la droite pour aller de A `a M, on en d´eduit que la pente du segment rA, Ms est inf´erieure `a celle du segment rA, Bs; autrement dit fpwq´fw´upuq ď fpvq´fpuqv´u ¨ De mˆeme, le segment rM, Bs joint un point situ´e en dessous de rA, Bs `a un point situ´e sur rA, Bs, et on se d´eplace vers la droite pour aller deM verB; donc la pente derM, Bsest sup´erieure `a celle de rA, Bs,
i.e. fpvq´fv´upuq ď fpvq´fpwqv´w ¨
Corollaire 2.7. Si f :I ÑR est concave et si uăwăv, alors fpwq ´fpuq
w´u ě fpvq ´fpuq
v´u ě fpvq ´fpwq v´w ¨
Remarque. Si f est strictement convexe ou strictement concave, les in´egalit´es pr´ec´edentes sontstrictes.
3. Cas des fonctions d´erivables
Notation. SiIest un intervalle deR, on note˚Il’intervalleouvertayant les mˆemes extr´emit´es que I. On dit que ˚I est l’int´erieur de I.
Exemples. SiI “ r0,1s, alors ˚I “ s0,1r. Si I “ r0,8r, alors ˚I “ s0,8r. Si I “R, alors ˚I “R.
Th´eor`eme 3.1. Soitf :I ÑRune fonctioncontinue surI etd´erivable sur ˚I. Les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes :
(i) f est convexe sur I;
(ii) Le graphe de f est “au dessus de toutes ses tangentes”, autrement dit
@x0 P˚I @xPI : fpxq ěfpx0q `f1px0qpx´x0q;
x0 I
Gf
(iii) f1 est croissante sur ˚I.
D´emonstration. (i) ùñ (iii). Supposons f convexe, et montrons que f1 est crois-sante sur ˚I. Soientu, vP˚I avec uăv. Par l’in´egalit´e des 3 pentes, on a
@wP su, vr : fpwq ´fpuq
w´u ď fpvq ´fpuq
v´u ď fpvq ´fpwq v´w ¨
En faisant w Ñ u`, on obtient f1puq ď fpvq´fpuqv´u ; et en faisant w Ñ v´, on obtient
fpvq´fpuq
v´u ďf1pvq. Doncf1puq ďf1pvq, ce qui prouve que f1 est croissante.
(iii) ùñ (ii). Supposons que f1 soit croissante sur ˚I et fixons x0 P˚I etx PI. Par le Th´eor`eme des accroissements finis, on peut trouver cP˚I entrex0 etx tel que
fpxq ´fpx0q “f1pcqpx´x0q.
On distingue alors 2 cas :
r Six0 ďx, alorsx0ďcďx, doncf1pcq ěf1px0q carf1 est croissante, et donc f1pcqpx´x0q ěf1px0qpx´x0q car x´x0 ě0.
r Si x0 ě x, alors x ď c ď x0, donc f1pcq ď f1px0q, et donc f1pcqpx´x0q ě f1px0qpx´x0q `a nouveau, car cette fois x´x0 ď0.
3. CAS DES FONCTIONS D ´ERIVABLES 83
Dans les 2 cas on obtient fpxq ´fpx0q “f1pcqpx´x0q ěf1px0qpx´x0q, ce qui prouve (ii).
(ii)ùñ(i). Supposons (ii) v´erifi´ee, et montrons que f est convexe. SoientA, B, M trois points de Gf tels que xAďxM ďxB. Il s’agit de montrer que M est en dessous du segment rA, Bs. C’est ´evident sixM “xAou xB (car alors M “A ouB) ; donc on peut supposer que xA ăxM ăxB, ce qui entraine que xM P˚I. Notons ∆ la tangente
`
a Gf au point M (qui est bien d´efinie puisque xM P ˚I). Par (ii), les points A et B sont situ´es au dessus de ∆. Donc tout le segmentrA, Bsest au dessus de ∆ d’apr`es le Lemme 1.3; et doncM est en dessous de rA, Bspuisque M appartient `a ∆.
Corollaire 3.2. Sous les mˆemes hypoth`eses (f continue sur I et d´erivable sur
˚I), la fonction f est concave sur I si et seulement si f1 est d´ecroissante sur ˚I.
Corollaire 3.3. Supposons f continue sur I et 2 fois d´erivable sur˚I. Alors f convexe sur I ðñ f2 ě0 sur ˚I et
f concave sur I ðñ f2 ď0 sur ˚I.
Remarque. On montre de mˆeme quef eststrictement convexe surI si et seule-ment si f1 est strictement croissantesur ˚I. En particulier, sif est 2 fois d´erivable sur I, alors
f2ą0 sur ˚I ùñ f strictement convexe.
Exercice. La r´eciproque est-elle vraie ?
Exemples.
(1) Soit αě0. La fonction fptq:“tα est convexe sur I “ r0,8r siα ě1, et concave si 0ďαď1 (carf2ptq “αpα´1qtα´2 est du signe deα´1 sur ˚I“ s0,8r).
(2) La fonction fptq:“et est convexe sur R(carf1ptq “et est croissante).
(3) La fonction fptq:“lnptqest concave sur s0,8r(carf1ptq “1{t est d´ecroissante).
(4) La fonctionfptq:“1{test convexe surs0,8ret concave surs´8,0r(carf2ptq “2{t3 est du signe det).
Corollaire 3.4. Si f est une fonction convexe sur I, alors ef est convexe, et fα est convexe pour tout αě1 sif ě0.
D´emonstration. Les fonctions x ÞÑ ex et x ÞÑ xα sont convexes croissantes, res-pectivement sur R et surR`; donc le r´esultat d´ecoule des propri´et´es de stabilit´e des
fonctions convexes (Corollaire 2.4).
Exercice. Montrer que la fonctionf d´efinie par fptq:“max
´
5et2`3|t´6|,|t´1|3{2`6pe2t`et{2q4{3
¯
est convexe sur R.
4. R´egularit´e des fonctions convexes ; droites d’appui
Proposition 4.1. Si f :I ÑR est une fonction convexe, alors f est d´erivable `a gauche et `a droite en tout point de ˚I. De plus, les fonctions fg1 et fd1 sont croissantes sur ˚I, et on a fg1ptq ďfd1ptq pour tout tP˚I.
Exemple. Pour fptq “ |t|, on a fg1ptq “
$
&
%
´1 si tă0
´1 si t“0 1 si tą0
et fd1ptq “
$
&
%
´1 si tă0 1 si t“0 1 si tą0 Donc, en effet, fg1 et fd1 sont croissantes avec fg1 ďfd1.
Preuve de la proposition. (i) Soitt0P˚I fix´e. Montrons quef est d´erivable `a gauche et `a droite ent0, avec fg1pt0q ďfd1pt0q.
Par l’in´egalit´e des 3 pentes, on a fptq ´fpt0q
t´t0
ď fpt1q ´fpt0q t1´t0
sit0 ďtăt1. Donc fptq´fptt´t 0q
0 d´ecroitquandtd´ecroit verst0, et donc fptq´ft´tpt0q
0 admet une limitedans RY t´8uquandtÑt`0. De plus, si on choisitαPI tel queαăt0 (ce qui est possible car t0P˚I), alors, toujours par l’in´egalit´e des 3 pentes, on a
fptq ´fpt0q
t´t0 ě fpt0q ´fpαq
t0´α pour touttąt0, et donc
lim
tÑt`0
fptq ´fpt0q
t´t0 ě fpt0q ´fpαq
t0´α ą ´8.
Ainsi, f est d´erivable `a droite en t0, avec fd1pt0q ě fpt0q ´fpαq
t0´α pour toutαăt0. On montre de mˆeme quef est d´erivable `a gauche ent0, avec
fg1pt0q ď fpβq ´fpt0q β´t0
pour toutβąt0.
Enfin, en faisantβ Ñt`0 dans la derni`ere in´egalit´e (ouαÑt´0 dans la pr´ec´edente), on obtient fg1pt0q ďfd1pt0q.
(ii) Montrons maintenant que les fonctionfd1 etfg1 sont croissantes. Soient u, vP˚I tels que uăv. Par l’in´egalit´e des 3 pentes, on a
fpwq ´fpuq
w´u ď fpvq ´fpuq
v´u ď fpvq ´fpwq
v´w pour tout wP su, vr.
En faisant wÑu` etwÑv´ dans ces in´egalit´es, on obtient fd1puqď fpvq ´fpuq
v´u ďfg1pvq.
Donc a fortiori fd1puq ďfd1pvq etfg1puq ďfg1pvq puisquefg1 ďfd1.
4. R ´EGULARIT ´E DES FONCTIONS CONVEXES ; DROITES D’APPUI 85
Corollaire 4.2. Si f :I ÑR est une fonction convexe (ou concave), alorsf est continue en tout point de ˚I. En particulier, toute fonction convexe (ou concave) sur un intervalle ouvertest continue.
D´emonstration. Par la proposition, f est d´erivable `a gauche et `a droite en tout point de ˚I, donc continue `a gauche et `a droite en tout point de ˚I.
Corollaire 4.3. Toute fonction convexe sur un intervalle ferm´e born´e ra, bs est r´egl´ee, et donc int´egrable au sens de Riemann sur ra, bs.
D´emonstration. Si f est convexe sur ra, bs, alors f est continue sur sa, br par le corollaire pr´ec´edent. Donc il suffit de montrer quef admet une limite `a droite en aet une limite `a gauche enb.
Par l’in´egalit´e des 3 pentes, la fonctionxÞÑ fpxq´fpaqx´a est croissante sursa, bs(exo).
Donc fpxq´fx´apaq admet une limitelquandxÑb´, et doncfpxq Ñfpaq `lpb´aqquand xÑb´. De mˆeme,f admet une limite `a droite en a.
Corollaire 4.4. Soit f :I ÑRune fonction convexe. Pour tout point x0 P˚I, on peut trouver une fonction affine α telle que
αpx0q “fpx0q et αpxq ďfpxq pour tout xPI.
D´emonstration. Fixonsx0P˚I. Tout repose sur le fait suivant.
Fait. On a
fpxq ´fpx0q
x´x0 ěfd1px0q pour toutxąx0, et fpxq ´fpx0q
x´x0 ďfg1px0q pour toutxăx0. Faire un dessin
Preuve du Fait. Si xąx0, l’in´egalit´e des trois pentes donne fpwq ´fpx0q
w´x0 ď fpxq ´fpx0q x´x0
pour toutx0 ăwăx;
et en faisant wÑx`0, on en d´eduit
fpxq ´fpx0q
x´x0 ěfd1px0q.
L’autre in´egalit´e se d´emontre de la mˆeme fa¸con (exo).
Soit maintenantc n’importe quel nombre tel que fg1px0q ďcďfd1px0q,
et soit α la fonction affine telle queαpx0q “fpx0qet de “coefficient directeur” c : αpxq “fpx0q `cpx´x0q.
Il s’agit de montrer qu’on a αpxq ď fpxq pour tout x ‰ x0 dans I (on sait d´ej`a que αpx0q “fpx0q).
Sixąx0, on a par le Fait :
fpxq ´fpx0q
x´x0 ěfd1px0q ěc;
et donc fpxq ěcpx´x0q `fpx0q “αpxq puisquex´x0 ą0.
De mˆeme, sixăx0alorsfpxq´fpxx´x 0q
0 ďfg1px0q ďc, et doncfpxq ěcpx´x0q`fpx0q “
αpxq puisquex´x0 ă0.
Remarque 1. On dit que la droite d’´equation y “ αpxq est une droite d’appui pour le graphe de f au point Mfpx0q “ px0, fpx0qq.
Remarque 2. Si f est d´erivable en x0, la seule droite d’appui pour Gf au point Mfpx0q est la tangente `aGf enMfpx0q.
D´emonstration. Siαpxq “cx`dest une fonction affine v´erifiant αpx0q “fpx0q et α ďf, alors
@xąx0 : fpxq ´fpx0q
x´x0 ě αpxq ´fpx0q
x´x0 “ αpxq ´αpx0q x´x0 “c.
En faisant xÑx`0, on obtient donc
cďfd1px0q.
On montre de mˆeme (exo) que
cěfg1px0q.
Donc, si f est d´erivable en x0, alors n´ecessairement c “f1px0q. Et comme on impose αpx0q “fpx0q, on voit qu’il n’y a qu’une seule fonction α possible, qui correspond `a
la tangente `a Gf au point Mfpx0q.
Remarque 3. Si f n’est pas d´erivable en x0, il y a une infinit´e de droites d’appui pour Gf au point Mfpx0q : n’importe quelle droite d’´equation y “ fpx0q `cpx´x0q avec fg1px0q ďcďfd1px0qconvient. Faire un dessin pour fptq “ |t|.
5. Fonctions convexes et fonctions croissantes Sif :I ÑRest une fonction de classeC1 et si on fixe x0 PI, alors
@xPI : fpxq “fpx0q ` żx
x0
f1ptqdt.
Donc, toute fonction convexe de classe C1 est de la forme “constante + int´egrale ind´efinie d’une fonction croissante”. Inversement, si une fonction f est de la forme fpxq “ c`şx
x0ϕptqdt o`u ϕ est une fonction croissante continue, alors f est convexe car elle est de classe C1 et f1 “ ϕ est croissante. Le r´esultat suivant g´en´eralise ces remarques.
Proposition 5.1. Soit I un intervalle ouvert de R, et soit f : I Ñ R. Soit
´
egalement x0 PI. Alorsf est convexe sur I si et seulement si elle est de la forme fpxq “c`
żx
x0
ϕptqdt, o`uc est une constante et ϕest une fonction croissante.
La preuve de ce r´esultat n’est pas imm´ediate. Pour une des deux implications, on aura besoin du lemme suivant.
Lemme 5.2. Soit Φ : I Ñ R une fonction continue. On suppose qu’il existe un ensemble d´enombrable D ĎI tel que Φ est d´erivable `a droite en tout point x P IzD avec Φ1dpxq ď0. AlorsΦ est d´ecroissante surI.
5. FONCTIONS CONVEXES ET FONCTIONS CROISSANTES 87
D´emonstration. Il s’agit de montrer qu’on a Φpbq ďΦpaqpour tousa, bPIv´erifiant aăb. On fixe donc aetb.
Fait 1. Il existe une fonction croissante S :RÑR qui n’est continue `a droite en aucun point de D,i.e.@zPD : Spz`q ąSpzq.
Preuve du Fait 1. CommeDest d´enombrable, on peut ´ecrireD“ tzi; iPNu. On pose alors
Spxq:“
8
ÿ
i“0
2´i1szi,8rpxq “ ÿ
tiPN:ziăxu
2´i.
La fonction S est visiblement croissante. Par d´efinition, siz“zi0 PD, alors @xąz : Spxq ěSpzq `2´i0 (exo) ; doncSpz`q ěSpzq `2´i0.
Dans la suite, on note θ:ra, bs ÑR la fonction d´efinie par θpxq:“x`Spxq.
Fait 2. Pour toutuP ra, bret pour toutεą0, on peut trouver un pointv tel que uăvăbet Φpvq ďΦpuq `ε`
θpvq ´θpuq˘ .
Preuve du Fait 2. Si u R D, alors Φ est d´erivable `a droite en u avec Φ1dpuq ď 0 ; donc on a Φpvq ď Φpuq `εpv ´ uq pour tout v ą u assez proche de u, et donc Φpvq ďΦpuq `εpv´uq `ε`
Spvq ´Spuq˘
“Φpuq `ε`
θpvq ´θpuq˘
carSpvq ´Spuq ě0.
Si u PD, alors Spu`q ´Spuqą0 par d´efinition de S. Comme Φ est continue au point u, on a donc Φpvq ďΦpuq `εpSpu`q ´Spuqqpour toutv assez proche deu. Si de plus v ąu, alorsSpvq ěSpu`qet donc Φpvq ďΦpuq `εpSpvq ´Spuqq ďΦpuq `εpv´uq ` ε`
Spvq ´Spuq˘
“Φpuq `ε`
θpvq ´θpuq˘
.
Soit maintenantεą0, et posons
E :“ xP ra, bs; Φpxq ďΦpaq `ε`
θpxq ´Spaq˘(
.
L’ensemble E est non vide car aPE; etE est major´e parb. On peut donc d´efinir c:“supE.
Fait 3. Le pointc appartient `a E.
Preuve du Fait 3. Par d´efinition dec, on peut trouver une suite pxnq de points de E telle que (xnďcpour toutnPNet)xnÑc. Comme la fonctionθest croissante, on a Φpxnq ďΦpaq `ε`
θpxnq ´θpaq˘
ďΦpaq `ε`
θpcq ´θpaq˘
pour toutnPN; et comme Φ est continue, on en d´eduit Φpcq ďΦpaq `ε`
θpcq ´θpaq˘
en faisantnÑ 8.
Fait 4. On a c“b.
Preuve du Fait 4. Supposons que c ă b. Alors, par le Fait 2, on peut trouver un point vtel quecăvăbet Φpvq ďΦpcq `ε`
θpvq ´θpcq˘
. CommecPE d’apr`es le Fait 3, on en d´eduit
Φpvq ďΦpaq `ε`
θpcq ´θpaq˘
`ε`
θpvq ´θpcq˘
“Φpaq `ε`
θpvq ´θpaq˘ . On voit ainsi que vPE, ce qui contredit la d´efinition de cpuisque vąc.
La preuve du lemme est maintenant termin´ee : Par les Faits 3 et 4, on a b P E; donc Φpbq ďΦpaq `ε`
θpbq ´θpaq˘
pour toutεą0, et donc Φpbq ďΦpaq.
Preuve de la Proposition 5.1. (i) Supposons que f soit convexe sur I. Comme I est un intervalle ouvert, la fonction f est alors d´erivable `a droite en tout point, et la fonction ϕ:“fd1 est croissante surI. Pour montrer que f est de la forme souhait´ee, il suffit donc de prouver que la fonction Φ d´efinie par
Φpxq:“fpxq ´ żx
x0
fd1ptqdt
est constante sur I. Et d’apr`es le Lemme5.2 appliqu´e `a Φ et `a ´Φ, il suffit pour cela de montrer qu’il existe un ensemble d´enombrableDĎI tel que Φ et d´erivable `a droite en tout pointxPIzDavec Φ1dpxq “0.
On prend pourDl’ensemble des points de discontinuit´e de la fonctionfd1 ; commefd1 est croissante, l’ensembleDest bien d´enombrable. Par d´efinition deD, sixPIzD, alors la fonctionfd1 est continue au pointxet donc, par la preuve du Th´eor`eme fondamental
On prend pourDl’ensemble des points de discontinuit´e de la fonctionfd1 ; commefd1 est croissante, l’ensembleDest bien d´enombrable. Par d´efinition deD, sixPIzD, alors la fonctionfd1 est continue au pointxet donc, par la preuve du Th´eor`eme fondamental