Sommes de Riemann

1. D´ecoupages point´es et sommes de Riemann

D´efinition1.1. Soitra, bsun intervalle ferm´e born´e deR. Und´ecoupage point´e de ra, bsest une suite finie D“`

pJ₀, t₀q, . . . ,pJ_N´1, t_N´1q˘ o`u

r les J_k sont des intervalles ferm´es formant un d´ecoupage de ra, bs; r t_kPJ_k pourk“0, . . . , N´1.

a b

t0 t1 t2 t_k t_N´1

J0 J1 J2 J_k JN´1

Exemple. Pour N P N^˚ donn´e, soit pJ0, . . . , JN´1q le d´ecoupage de ra, bs en N intervalles de mˆeme longueur.

a J₀ J₁ J₂ J₃ J_N´1 b

Par d´efinition, on a J_k“

”

a`kb´a

N , a` pk`1qb´a N

ı

pour k“0, . . . , N´1.

Si on pose

ξ_k :“a`kb´a

N pour k“0, . . . , N ,

de sorte queξk est la borne de gauche de Jk si 0ďkďN´1 et la borne de droite de J_k´1 si 1ďkďN, alors

D_N :“`

pJ₀, ξ₀q,pJ₁, ξ₁q, . . . ,pJ_N´1, ξ_N´1q˘ et D_N :“`

pJ0, ξ1q,pJ1, ξ2q, . . . ,pJN´1, ξNq˘

sont deux d´ecoupages point´es dera, bs, qu’on appellera dans la suite les d´ecoupages point´e r´eguliers d’ordre N de ra, bs.

Notation. On note DPpra, bsql’ensemble de tous les d´ecoupages point´es de l’in-tervalle ra, bs.

D´efinition 1.2. Soit D “ `

pJ0, t0q, . . . ,pJN´1, tN´1q˘

P DPpra, bsq, et soit f : ra, bs ÑC. Lasomme de Riemann pourf associ´ee `a D est la somme

Rpf,Dq:“

N´1

ÿ

k“0

fpt_kq |J_k| “ ÿ

pJ,tqPD

fptq |J|.

55

Exemple. Pour tout N PN^˚, on a D´emonstration. Par d´efinition, D_N “ `

pJ₀, ξ₀q, . . .pJ_N´1, ξ_N´1q˘ Remarque. D’apr`es les formules pr´ec´edentes, on a

Rpf,D_Nq ´Rpf,D_Nq “ b´a

N pfpbq ´fpaqq.

En particulier, pour n’importe quelle fonction f,

Rpf,D_Nq ´Rpf,D_Nq Ñ0 quand N Ñ 8.

2. Convergence des sommes de Riemann 2.1. Deux petits calculs.

Exemple 1. Soit f :ra, bs ÑRla fonction d´efinie par fptq:“t. Alors

2. CONVERGENCE DES SOMMES DE RIEMANN 57

Exemple 2. Soit f :ra, bs ÑRla fonction d´efinie par fptq:“e^t. Alors Rpf,D_NqÝ^NÝÝÝ^Ñ8Ñe^b´e^a et Rpf,D_NqÝ^NÝÝÝ^Ñ8Ñe^b´e^a. D´emonstration. Pour tout N PN^˚, on a

Rpf,D_Nq “ b´a N

N´1ÿ

k“0

e^a`kb´aN

“ b´a N e^aˆ

N´1

ÿ

k“0

`e^b´aN ˘_k

car e^a`kb´aN “e^aˆ pe^b´aN q^k

“ b´a

N e^aˆ1´e^b´a 1´e^b´aN

“ pe^b´e^aq ˆ

b´a N

e^b´aN ´1

¨

Comme ^eu_u^´1 Ñ 1 quandu Ñ0 (car e^u „1`u au voisinage de 0), on en d´eduit que

Rpf,D_Nq Ñe^b´e^a. Et de mˆeme pourRpf,D_Nq.

Sur les deux exemples qu’on vient de traiter, on constate que les sommes de Rie-mannRpf,D_Nq etRpf,D_Nqtendent versş_b

afptqdtquandN Ñ 8. Mˆeme si les calculs qu’on a fait sont assez particuliers, on se doute que ceci ne peut pas ˆetre une simple co¨ıncidence...

2.2. Un r´esultat g´en´eral.

Notation. Pour tout D“`

pJ₀, t₀q, . . . ,pJ_N´1, t_N´1q˘

PDPpra, bsqs, on pose

|D|:“max`

|J₀|, . . . ,|J_N´1|˘ . On dit que |D|est le pas du d´ecoupage point´eD.

Exemple. Soit N PN^˚. Pour les d´ecoupages r´eguliersD_N etD_N, on a

|D_N| “ b´a

N “ |D_N|.

Th´eor`eme 2.1. Si f :ra, bs ÑC est une fonction int´egrable au sens de Riemann quelconque, alorsRpf,Dq tend versş_b

afptqdt quand|D| Ñ0. Autrement dit : pour tout εą0 donn´e, on peut trouver un δ ą0 tel que

ˇ ˇ ˇ ˇ

Rpf,Dq ´ ż_b

a

fptqdt ˇ ˇ ˇ

ˇďε pour tout DPDPpra, bsqv´erifiant|D| ăδ.

Preuve dans le cas o`uf est continue. On aura besoin du fait suivant (qui servira aussi dans la preuve du cas g´en´eral).

Fait. Pour tout D“`

pJ₀, t₀q, . . . ,pJ_N´1, t_N´1q˘

PDPpra, bsq, on a (2.1)

ˇ ˇ ˇ

ˇRpf,Dq ´ ż_b

a

fptqdt ˇ ˇ ˇ ˇď

N´1

ÿ

k“0

ż

Jk

|fptq ´fpt_kq|dt.

Preuve du Fait. Par Chasles, on peut ´ecrire

d’o`u le r´esultat par l’in´egalit´e triangulaire (micro-exo).

Maintenant, soitεą0 fix´e. On cherche : un δą0 tel que

Commef est continue surra, bs, elle estuniform´ement continue (Th´eor`eme1.6du Chapitre 1). Donc on peut trouver δą0 tel que

|fpvq ´fpuq| ďε{pb´aq pour tous u, vP ra, bsv´erifiant |v´u| ăδ.

On va montrer que ce δ convient.

Soit D“` Preuve dans le cas g´en´eral. On veut montrer la convergence des sommes de Rie-mann vers ş_b

afptqdt pour toute fonction (R)-int´egrablef :ra, bs ÑC. En consid´erant s´epar´ement Repfq et Impfq, on se ram`ene au cas d’une fonction f `a valeurs r´eelles.

Cas 1. On suppose quef est en escalier.

2. CONVERGENCE DES SOMMES DE RIEMANN 59

Soit S “ ps₀, . . . , s_Mq une subdivision dera, bsadapt´ee `a f :

fptq ”c_m surI_m“ ss_m, s_m`1r pour m“0, . . . , M ´1.

Soit ´egalement C une constante telle que

|fptq| ďC pour touttP ra, bs.

Fait. Si D “`

pJ₀, t₀q, . . . ,pJ_N´1, t_N´1q˘

est un d´ecoupage point´e quelconque de ra, bs, alors

Preuve du Fait. Par (2.1), on sait que ˇ

Donc, si on pose

K“ kPJ0, N ´1K; J_k contient un pointsm

Par cons´equent, on a en fait ˇ

ce qui termine la preuve du Fait.

Par le Fait, on voit que si on choisitδ tel que 4M Cδďε, alors

Donc on a le r´esultat souhait´e dans le cas d’une fonctionf en escalier.

Cas 2. On suppose seulement quef est (R)-int´egrable surra, bs.

Soitεą0 donn´e. Commef est int´egrable surra, bs, on peut trouver deux fonctions en escalier ϕetψ telles que

ϕďf ďψ et

ż_b

a

pψ´ϕq ďε{2.

On a alors en particulier żb

Donc, si DPDPpra, bsqalors Rpϕ,Dq ´

et donc a fortiori

(˚) ´ pour tout DPDPpra, bsq.

Par le Cas 1 appliqu´e `a ϕet `aψ, on peut ensuite trouverδą0 tel que

En combinant p˚q etp˚˚q, on obtient

´εďRpf,Dq ´

D´emonstration. C’est clair par le th´eor`eme puisque les sommes consid´er´ees sont les sommes de Riemann “r´eguli`eres”Rpf,D_NqetRpf,D_Nqet que|D_N| “ ^b´a_N “ |D_N|

tend vers 0 quand N Ñ 8.

3. R ´ECIPROQUE 61

Remarque. Explication de la notationş_b

afptqdt.

Soit T “ pt₀, . . . , t_Nq une subdivision de ra, bset soit pJ₀, . . . , J_N´1q le d´ecoupage de ra, bsassoci´e (Jk“ rtk, tk`1s). Pourk“0, . . . , N´1, posons

δt_k:“t_k`1´t_k“ |J_k|.

Alors, pour le d´ecoupage point´eD“`

pJ0, t0q, . . . ,pJN´1, tN´1q˘ , on a

Rpf,Dq “

N´1

ÿ

k“0

fpt_kqδt_k

“S_a^bfptqδt,

o`u S<sub>a</sub><sup>b</sup> veut dire “somme pour tous les t dans ra, br appartenant `a la subdivision T”.

Avec ces notations, le Th´eor`eme 2.1s’´enonce comme suit : S_a^bfptqδtÑ

ż_b

a

fptqdt quandδtÑ0.

Ainsi, on peut dire que ş_b

afptqdt est ce qu’on obtient quand, dans la sommeS_a^bfptqδt, leδtdevient un “dt infinit´esimal”. Le symbole de sommeS est remplac´e par un “S al-long´e”ş

, qu’on peut interpr´eter comme un symbole de “somme continue” (on “somme”

une infinit´e non d´enombrable d’“infinit´esimaux”). Que ceci soit ou non convaincant, il est important de retenir le “slogan” suivant :

Une int´egrale, c’est une limite de sommes.

3. R´eciproque

Le th´eor`eme suivant montre que la convergence des sommes de Riemanncaract´erise l’int´egrabilit´e au sens de Riemann.

Th´eor`eme 3.1. Soit f : ra, bs Ñ C. On suppose que Rpf,Dq admet une limite quand |D| Ñ0; autrement dit, qu’il existe un nombre LPC tel que la chose suivante ait lieu : pour tout εą0 donn´e, on peut trouver un δą0 tel que

|Rpf,Dq ´L| ďε pour tout DPDPpra, bsq v´erifiant |D| ăδ.

Alors on peut conclure que f est (R)-int´egrable sur ra, bs et queL“ş_b

afptqdt.

D´emonstration. En consid´erant s´epar´ement Refpfq et Impfq, on se ram`ene au cas o`uf est `a valeurs r´eelles (et donc LPR).

(i) Montrons d’abord que f est born´ee.

Si on prend ε :“ 6, on peut trouver δ ą 0 tel que |Rpf,Dq ´L| ď 6 pour tout DPDPpra, bsqv´erifiant |S| ăδ. On a alors

|Rpf,Dq ď6` |L| pour toutDPDPpra, bsqv´erifiant |D| ăδ.

Fixons un d´ecoupage point´e D “ `

pJ₀, t₀q, . . . ,pJ_N´1, t_N´1˘

tel que |D| ă δ. Alors, pour tout k P J0, N ´1K et pour tout t P J_k, le d´ecoupage point´e D_t obtenu en rempla¸cantt_kpartdansDv´erifie|D_t| “ |D| ăδ; donc|Rpf,D_tq| ď |L| `6. On a ainsi

ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

fptq |Jk| ` ÿ

l‰k

fptlq |Jl| ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

ď6` |L|,

et donc

|fptq| |J_k| ď6` |L| `ÿ

l‰k

|fpt_lq| |J_l| pour toutk et pour touttPJ_k. Par cons´equent, si on pose

M :“6` |L| ` max

0ďkďN´1

ÿ

l‰k

|fpt_lq| |J_l| et α:“minp|J0|, . . . ,|JN´1|q, alors

|fptq| ď M

α pour touttP ra, bs.

(ii) Montrons maintenant que pour tout εą0 donn´e, on peut trouver deux fonc-tions en escalier ϕetψ telles que

ϕďf ďψ et

ż_b

a

pψ´ϕq ďε.

Par hypoth`ese, on peut trouverδ ą0 tel que

|Rpf,Dq ´L| ďε{2 pour toutDPDPpra, bsqv´erifiant |D| ăδ.

Dans la suite, on fixe un d´ecoupagepJ₀, . . . , J_N´1q de ra, bs en intervalles ferm´es tels que |Jk| ăδ pour k“0, . . . , N´1. On ´ecrit Jk“ rsk, sk`1s, et on pose

m_k:“inf

J_k f et M_k :“sup

Jk

f.

Comme la fonction f est born´ee,mk etMk sont des nombres r´eels bien d´efinis.

Fait. On a

N´1

ÿ

k“0

pM_k´m_kq |J_k| ďε.

Preuve du Fait. Soit η ą 0. Pour tout k PJ0, N ´1K, on peut trouver des points t_k, t_kPJ_k tels que

fpt_kq ďm_k`η et fpt_kq ěM_k´η.

Alors D :“ `

pJ₀, t₀q, . . . ,pJ_N´1, t_N´1q˘

et D :“ `

pJ₀, t₀q, . . . ,pJ_N´1, t_N´1q˘

sont des d´ecoupages point´es dera, bsv´erifiant|D| ăδ et|D| ăδ. Par d´efinition deδ, on a donc

|Rpf,Dq ´L| ďε{2et|Rpf,Dq ´L| ďε{2, et donc

|Rpf,Dq ´Rpf,Dq| ď2ε{2“ε.

Mais par le choix des t_k et dest_k, on a aussi Rpf,Dq “

N´1ÿ

k“0

fpt_kq |J_k| ď

N´1

ÿ

k“0

pm_k`ηq |J_k| “

N´1ÿ

k“0

m_k|J_k| `ηpb´aq;

et de mˆeme

Rpf,Dq ě

N´1

ÿ

k“0

M_k|J_k| ´ηpb´aq.

Donc

Rpf,Dq ´Rpf,Dq ě

N´1

ÿ

k“0

pM_k´m_kq |J_k| ´2ηpb´aq.

3. R ´ECIPROQUE 63

On obtient ainsi

N´1

ÿ

k“0

pM_k´m_kq |J_k| ďε`2ηpb´aq pour toutηą0;

d’o`u le Fait.

Soient maintenant ϕ etψles fonctions en escalier d´efinies comme suit :

"

ϕptq ”mk et ψptq ”Mk sur Ik “ ssk, sk`1r, ϕps_kq “fps_kq “ψps_kq pour k“0, . . . , N.

Par d´efinition, on a

ϕďf ďψ et

ż_b

a

pψ´ϕq “

N´1

ÿ

k“0

pMk´mkq |Jk| ďε.

Ainsi, on a montr´e que f est (R)-int´egrable sur ra, bs. Enfin, on a n´ecessairement L“ş_b

afptqdt d’apr`es le Th´eor`eme2.1.

Chapitre 5

Dans le document Analyse 2 Int´egrale de Riemann, fonctions convexes Licence de math´ematiques, 1`ere ann´ee (Page 55-65)