Sup PCSI 2 — Colle n◦ 29 et 30 — Quinzaine du 29/5 au 9/6
Les points marqu´es d’un •peuvent faire l’objet de questions de cours avec d´emonstrations d´etaill´ees. Les points marqu´es d’unI se prˆetent particuli`erement `a des exercices.
1 Fonctions de plusieurs variables
•L’´etude a port´e essentiellement sur les fonctionshhr´eelles de deux variables r´eellesii, d´efinies sur un ouvert deR2.
•Ouverts deR2: d´efinition, exemples.
•Limite, limite directionnelle. Continuit´e.
•D´eriv´ee directionnelle, d´eriv´ees partielles.
•D´efinition du d´eveloppement limit´e `a l’ordre 1 ; existence admise lorsquef est de classeC1. D´efinition du gradient.
I•Extremums locaux : condition n´ecessaire d’existence.
2 Fonctions convexes
• I Brefs rappels sur la notion de barycentre de deux points. D´efinition du segment [A, B]. D´efinition d’une partie convexe du plan ; exemples de parties convexes.
• D´efinition d’une fonction convexe sur un intervalleI de R: l’ensemble des points situ´es au-dessus de la courbe repr´esentative est convexe. Exemples :x7→x2,x7→ |x|.
•Une fonction est convexe ssi sa courbe repr´esentative est situ´ee hhsous ses cordesii.
•I Caract´erisation des fonctions convexes par l’in´egalit´e de convexit´ef (1−λ)x+λy
6(1−λ)f(x)+λf(y).
Equivalence avec l’in´egalit´e `´ anpoints.
•Caract´erisation des fonctions convexes d´erivables, puis deux fois d´erivables (d´emonstration non exigible).
La continuit´e et la d´erivabilit´e `a droite et `a gauche en tout point int´erieur `aI ont ´et´e prouv´ees, mais ne sont pas exigibles.
I D´emonstration d’in´egalit´es en faisant appel `a des fonctions convexes.
3 R´ evision
Calculs de sommes deRiemann, de d´eveloppements limit´es.
Les ´etudiantes et les ´etudiants de la Sup PCSI2, ainsi que leur professeur de math´ematiques, remercient les interrogatrices et les interrogateurs de leur efficace collaboration, et leur souhaitent de tr`es agr´eables vacances.
N’oubliez pas d’indiquer sur la fiche de colle votre nom, et surtout le num´ero de la semaine en cours !
MPB : AC : 15 CP : 130 FT : 23
