Devoir de math´ ematiques
Exercice 1 On consid`ere l’´equation diff´erentielle
(E) : y′+ 2y=−5e−2x
o`u y est une fonction inconnue de la variable r´eelle x, d´efinie et d´erivable sur IR, et y′ est la fonction d´eriv´ee de y.
1. D´eterminer les solutions de l’´equation diff´erentielle (E0) :y′+ 2y = 0.
2. Soitg la fonction d´efinie sur IR par g(x) =−5xe−2x. D´emontrer que la fonction g est une solution de (E).
3. En d´eduire les solutions de l’´equation diff´erentielle (E).
Exercice 2 On consid`ere la fonction f d´efinie sur [0; +∞[ par l’expression f(x) = (30−2x)e0,1x. 1. Calculer lim
x→+∞f(x).
2. Calculer la fonction d´eriv´ee f′ de f.
Montrer que pour tout r´eel x>0,f′(x) = (1−0,2x)e0,1x.
3. D´eterminer le signe de f′(x). En d´eduire le sens de variation de la fonction f. 4. Quel est le maximum sur [0; +∞[ de la fonction f.
5. Tracer l’allure de la courbe repr´esentative de la fonctionf.
