F5 - Fonctions affines
1 Fonctions lin´ eaires, fonctions affine
1.1 D´ efinition
D´efinition 1. On appelle fonction affine toute fonction d´efinie sur R, de la forme f :x7→ax+b, o`u aet b sont deux coefficient r´eel constant.
Dans le cas o`ub= 0, on parle aussi de fonction lin´eaire.
Exemple Lesquelles de ces fonctions sont des fonctions affines ? Lin´eaires ?
f(x) =πx+√
2 g(x) =x2+7x+19 h(x) =x√
x+3x+2 i(x) =xπ+2 j(x) = q
π+√ 2
x k(x) = 3(x−2)−2(x−1)
1.2 Propri´ et´ es; coefficient directeur
Proposition 1.1. La courbe repr´esentative d’une fonction affine est une droite. Cette droite passe par l’origine si et seulement si b= 0 (i.e si c’est une fonction lin´eaire).
Enfin, l’image de 0 par f est f(0) = b, donc la courbe passe par le point de coordonn´ees (0;b) : autrement dit, elle coupe l’axe des ordonn´ees (axe y) au point d’ordonn´ee 0.
Proposition 1.2. Soitf :x7→ax+b une fonction affine. Quels que soient les nombres distincts x1 et x2, le nombre
f(x2)−f(x1)
x2−x1 est constant, ´egal `aa.
Cette propri´et´e caract´erise les fonctions affines.
Proof. f(x2) =ax2+bet f(x1) =ax1+b, doncf(x2)−f(x1) =a(x2−x1).
1.3 Repr´ esentation graphique
D´efinition 2. a est appel´e le coefficient directeur (ou pente) de la droite qui repr´esente f. On peut le d´eterminer graphiquement (faire sur un exemple).
D´efinition 3. b est l’image de 0 par f : on l’appelle l’ordonn´ee `a l’origine.
Exemple Tracerf :x7→2x+ 1; d´eterminer une m´ethode pour trouver le coefficient directeur def graphiquement.
Exercice 1 : Tracer rapidement :
f(x) = 2x−1 g(x) =−x−1 h(x) =−3x l(x) = 3x Proposition 1.3. Graphiques de f :x7→ax+bselon signe de aet sib= 0oub6= 0.
1.4 Variations
Proposition 1.4. Pour les variations de f :x7→ax+b, on distingue trois cas :
• a <0 : f d´ecroissante
• a= 0 : f constante
• a >0 : f croissante
Exercice 2 : Tracer le tableaux de variations def :x7→ax+bpour chacun des trois cas.
1.5 Etude du signe ´
Probl´ematique : on cherche `a savoir le signe def, c’est `a dire r´esoudref(x)>0.
Exercice 3 : Etudier le signe de´ f :x7→x+ 1,g:x7→ −x+ 1 eth:x7→0x+ 1.
A partir de ces exemples, pour traiter le cas g´en´eral :x7→ax+b, il semble que l’on doive s´eparer les casa >0 eta <0.
Cas a >0
1. ax+b= 0 ⇐⇒ x=−ab (cara6= 0).
2. ax+b >0 ⇐⇒ ax >−b ⇐⇒ x >−ba (cara >0) 3. ax+b <0 ⇐⇒ ax <−b ⇐⇒ x <−ba (cara >0)
Cas a <0
1. ax+b= 0 ⇐⇒ x=−ab (cara6= 0).
2. ax+b >0 ⇐⇒ ax >−b ⇐⇒ x <−ab (cara <0) 3. ax+b <0 ⇐⇒ ax <−b ⇐⇒ x >−ab (cara <0) Tracer le tableau de signe (casa >0 eta <0).
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