Stanislas
Exercices
Fonctions Convexes
Chapitre XVII MPSI 1
I - À propos des fonctions convexes
Exercice 1. (-)Une composée de deux fonctions convexes est-elle convexe ?
Exercice 2. (-)Soient f ∈F(R,R),p, q∈Retg : R→R, x7→f(x)−px−q. Montrer que g est convexe si et seulement sif est convexe.
Exercice 3. (!)Soitf une fonction convexe majorée sur R. Montrer quef est constante.
On pourra montrer quef est croissante et décroissante.
Exercice 4. (♥)Soientf une fonction convexe sur un intervalleI etaun point qui n'est pas une extrémité deI.
1. Montrer quef est dérivable à droite et à gauche ena.
2. Montrer quef est continue en tout point qui n'est pas une extrémité de I.
Exercice 5. (Épigraphe,♥)Soitf ∈F(I,R). On appelle épigraphe def l'ensembleEf ={(x, y)∈ R2 ; x∈I et f(x) ≤y}. Montrer que la fonction f est convexe sur I si et seulement si Ef est une partie convexe du plan, i.e. ∀M, N ∈Ef,[M N]⊂Ef.
Exercice 6. (!)Soient a < b deux réels, f ∈ C2([a, b]) telle que f(a) = f(b) = 0. On suppose quef00est bornée par un réel M ∈R+. Pour toutx∈[a, b], on poseP(x) =−M2 (x−a)(x−b). 1. Montrer que pour toutx∈[a, b],|f(x)| ≤P(x).
2. On suppose de plus qu'il existe un réel x0 ∈]a, b[ tel que f(x0) = P(x0). Montrer que pour toutx∈[a, b], f(x) =P(x).
3. Que dire sif0(a) = M2 (b−a)? II - Inégalités de convexité
Exercice 7. (-)Soientx1, x2 ∈]1,+∞[. Montrer que ln x1+x2 2
≥√
lnx1lnx2. Exercice 8. (♥)Soitn∈N? etx1, . . . , xn∈R?+. Montrer que
n
1
x1 +· · ·+x1
n
≤ √n
x1· · ·xn.
Exercice 9. (Inégalité de Hölder,♥,♥)Soientp, q∈]1,+∞[tels que 1p +1q = 1. 1. Soientu, v deux nombres réels strictement positifs. Montrer queln(uv)≤lnn
1
pup+1qvqo . 2. Soientn∈N?, a1, . . . , an, b1, . . . , bndes nombres réels strictement positifs. Montrer que
n
X
i=1
aibi≤
n
X
i=1
api
!1p
·
n
X
i=1
bqi
!1q .
Exercice 10. (!)Soitf : R→Rune fonction continue telle que pour tousx, y∈R,f x+y2
≤
f(x)+f(y)
2 .
1. Soitn∈N. Montrer que pour toutk∈[|0,2n|], f
k 2nx+
1− k
2n
y
≤ k
2nf(x) +
1− k 2n
f(y).
2. En déduire quef est convexe.
