Fonctions usuelles : Exercices

Fonctions usuelles : Exercices

Exercice 1

Fonctionspolynˆomiales 1. ´Etudier les variations et les limites des fonctions polynˆomiales suivantes : f(x) = 2x²−4x+ 1 g(x) = x²

3 −x+ 1 h(x) =x³−2x²−x+ 2

2. `A l’aide de racines ´evidentes, ´etudier les variations et les limites des fonctions polynˆomiales suivantes :

f(x) =x⁴

2 −5x²+ 8x+ 2 g(x) =x⁶−12

5 x⁵−3x⁴+ 8x³−3x²+ 12x−5

Exercice 2

Soit(α, β, γ)∈R³et P la fonction polynˆomiale d´efinie par :

∀x∈R, P(x) = (x−α)(x−β)(x−γ) On suppose que :







α+β+γ= 0

1

α+_β¹ +¹_γ = ³₂ α²+β²+γ²= 6

1. Quel est le degr´e deP? Quelles sont ses racines ? D´evelopperP(x)pour toutx∈R. 2. D´eterminer les coefficients deP.

3. En d´eduireα,β etγ.

Exercice 3

fonctionsrationnelles

Soitf la fonction d´efinie par :

f(x) = x²−1 2x+ 1

1. Donner l’ensemble de d´efinition D de la fonction f et d´eterminer les limites de f aux bornes de cet ensemble.

2. D´emontrer qu’il existe(a, b, c)∈R³tel que :

∀x∈ D, f(x) =ax+b+ c 2x+ 1

3. (a) D´emontrer que la courbeCf repr´esentative de f admet une asymptote oblique d.

(b) ´Etudier la position relative deCf et d.

Exercice 4

Pour chacune des fonctions rationnelles suivantes, pr´eciser l’ensemble de d´efinition, simplifier si possible, puis

´

etudier les limites et variations :

f(x) =x²−1

x⁴−1 g(x) =x⁴+ 2x³−13x²+ 16x−6 x³+x²−5x+ 3

Fonctionexponentielle

Etudier les variations et les limites des fonctions suivantes :´

f(x) =e^x

x g(x) =xe^x+ 1 h(x) = e^−x2 i(x) = e^x−x

Exercice 6

1. ´Etudier la position de la courbe repr´esentative de la fonction exponentielle par rapport `a chacune de ses cordes.

2. En d´eduire que :

∀(a, b)∈R², e^a+b2 6 e^a+ e^b 2

Exercice 7

Fonctionsr´eciproques

1. (a) ´Etablir quef :x7→x²+ 5x−3est croissante sur un intervalleI `a pr´eciser.

(b) Calculer les limites def(x)aux bornes deI.

2. (a) Justifier quef admet une fonction r´eciproque surI.

(b) Quel est l’ensemble de d´efinition de cette fonction r´eciproque ? (c) Est-elle d´erivable ? Quelle est sa d´eriv´ee ?

Exercice 8

On consid`ere la fonctionf d´efinie parf(x) = ^x₂ + e^x+1.

1. (a) D´emontrer quef admet une fonction r´eciproque d´erivable.

(b) D´eterminer les limites def en−∞et+∞.

2. Calculerf⁻¹(¹₂), f⁻¹(¹₂),f⁻¹⁰(e)et f⁻¹⁰(e).

3. Donner les ´equations des tangentes `a la courbe repr´esentative de f⁻¹ au point d’abscisse ¹₂ et au point d’abscisse e.

Exercice 9

Fonction logarithmen´ep´erien

R´esoudre les ´equations suivantes :

e^x+ 6e^−x= 5 e^4x−13e^2x+ 36 = 0 4e^2x+ 15e^−x= 19

Exercice 10

R´esoudre dansR² le syst`eme

ß e^3x = 10y e^x = 5y

Exercice 11

1. R´esoudre dansRles ´equations :

ln(x−2) = 2 ln(x−1)−ln(x+ 1) ln ((x+ 3)(x+ 1)) = 2 ln(x−1) ln lnx= 1

2. R´esoudre dansRin´equations suivantes : 1

2ln(3x−1)<ln(x+ 1) ln(x²−4)>ln ((x−1)(2x−6))

Exercice 12

R´esoudre les syst`emes suivants : ß x+y= 8

lnx+ lny= ln 15

ß lnxy= 7 ln^x_y = 1

ß x²+y²= 13 ln|x|+ ln|y|= ln 6

Exercice 13

On consid`ere la fonctionf d´efinie ci-dessous dont on noteC la courbe repr´esentative : f(x) = ln(lnx)

1. Pr´eciser son ensemble de d´efinition et ´etudier son sens de variation.

2. Soit(a, b)∈R²tel que 1< a < b.

(a) `A l’aide de deux d´erivations successives, ´etudier les variations de :

g:x7→f(x)−f(b)−f(a)

b−a (x−a)−f(a)

(b) En d´eduire le signe deg puis ´etudier la position deC par rapport `a chacune de ses cordes.

(c) En d´eduire que :

∀(a, b)∈]1,+∞[², lna+b 2 >

√ lnalnb

Exercice 14

Pour toutm∈R, on consid`ere la fonctionfmd´efinie par : f_m(x) = e^x−mx

1. ´Etudier les variations et limites def_m.

2. TracerΓm, courbe repr´esentative de fmpourm= 2.

3. On suppose dor´enavant quefm admet un minimum atteint enxm. (a) D´eterminer les coordonn´ees deAm∈Γmd’abscisse xm. (b) D´eterminer l’ensemble des pointsAm.

Exercice 15

On consid`ere la fonctionf d´efinie par :

f(x) = ln(1 +x)−x

1. (a) D´eterminer l’ensemble de d´efinition def puis ´etudier ses variations.

2. D´emontrer que :

∀n∈N^∗,∀x∈]−n, n[, 1 + x

n n

6e^x6 1−x

n −n

Exercice 16

Exponentielleet logarithmen´ep´erienenbasea

1. ´Etudier les limites et variations def :x7→x^x. 2. ´Etudier les limites et variations def :x7→2^x−2x.

Exercice 17

R´esoudre le syst`eme

ß xy= e

2 log_xy+ 2 log_yx=−5

D´emontrer que le nombre de chiffres dans l’´ecriture d´ecimale d’un entiern∈N^∗ est E(logn) + 1.

Exercice 19

Soitn∈N^∗ eta∈R+.

1. ´Etudier les variations de la fonction f d´efinie sur[a,+∞[ par :

f(x) = √ⁿ x−√ⁿ

a−√ⁿ x−a

2. En d´eduire que :

∀(a, b)∈R²+, |√ⁿ b−√ⁿ

a|6 ⁿ

»

|b−a|

Exercice 20

Calculsdelimites

1. Calculer les limites suivantes :

x→0lim e^x

lnx lim

x→0

x

lnx lim

x→+∞x²e^−x lim

x→+∞

ln 2^x x+ 1 2. Mˆeme question :

x→+∞lim e^x

ln(x²+ 1) lim

x→0

√xlnx³ lim

x→−∞

e^x

1 +x lim

x→+∞

√

e^x−lnx

3. Calculer les limites en+∞et−∞des trois expressions suivantes :

(x⁴−1)e^−x2 e^2x

2x²−2 x^x1

Exercice 21

Fonctionscirculaires

1. ´Etablir que :

∀x∈R+, x−x³

6 6sinx6x 2. Que dire six∈R−?

Exercice 22

1. R´esoudre les ´equations suivantes :

sinx=1

2 2 cosx−√

3 = 0 sin 2x= 0 cos 2x−1 = 1 2 2. R´esoudre les in´equations suivantes :

cosx60 1 +√

2 sinx >0 tanx> 1

√3

Exercice 23

1. Transformer les fonctions ci-dessous sous la forme Acos(x+ϕ), Aetϕ´etant des r´eels `a d´eterminer :

f(x) = cosx+ sinx g(x) =√

3 cosx−sinx h(x) = 3 cosx+ 4 sinx 2. (a) R´esoudref(x) = 0.

(b) Mˆeme question avecget h.

Exercice 24

Etudier (ensemble de d´´ efinition, p´eriodicit´e, variation, courbe) les fonctions suivantes :

f(x) =√

cosx f(x) = ln(1 + 2 cosx) f(x) = e^sin2x

Exercice 25

Fonctionscirculairesr´eciproques

Simplifier arccos cosxpourx∈[0,2π]et arcsin sinxpourx∈_π

2,^5π₂ .

Exercice 26

Exprimer arcsin¹₃+ arcsin¹₄ sous la formearcsinθo`uθ∈R.

Exercice 27

R´esoudre dansRles ´equations suivantes :

arcsin 1 = arcsin 5

13+ arcsinx arccosx²= arcsin(2x)

Exercice 28 – Formules d’addition et de duplication

fonctionshyperboliques

Etablir que :´

∀x∈R+, x−x³

3 6thx6x

Exercice 29

1. Simplifier l’expression :ch lnx+xsh lnx.

2. R´esoudre l’´equationch lnx+xsh lnx=_x¹.

Exercice 30

On consid`ere la fonctionf d´efinie parf(x) = ^ch_ch^x+1_x−1. 1. (a) D´eterminer l’ensemble de d´efinition def.

(b) ´Etudier la parit´e de f et ses limites aux bornes de son ensemble de d´efinition. Pr´eciser la pr´esence d’asymptotes.

(c) ´Etudier les variations de f.

(d) Donner l’allure de sa courbe repr´esentative.

2. Mˆemes questions avecgd´efinie parg(x) = _sh²_x+ thx.

Exercice 31

1. (a) Simplifier l’expressionch argshxpour toutx∈R. (b) Simplifier l’expressionth argshxpour toutx∈R. 2. Donner la valeur exacte deargsh¹₃+ argsh¹₄.